结构力学(龙驭球)第7章-位移法讲解课件

第

7章位移法第7章位移法1FpFP12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平衡条件变形条件§7-1位移法的基本概念1、关于位移法的简例BFpFP12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平2⑴位移法的基本未知量是结构的独立结点位移（B结点的竖向位移）。⑵位移法的基本方程

是用位移表示的平衡方程（B结点的竖向投影平衡方程式）。第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。位移法的要点如下：Fp12345B将图中尺寸代入，设各杆EA相同，可得⑶建立基本方程的过程分两步：第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。⑷杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。⑴位移法的基本未知量是结构的独立结点位移（B结点的竖向3用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。ABCAB2、位移法计算刚架的基本思路位移法的基本作法：先拆散，后组装。FPACFP①把结构拆成杆件，进行杆件分析－－杆件在巳知端点位移和巳知荷载作用下的计算。②把杆件组装成刚架，进行整体分析－－利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量。用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。ABCA4§7-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩⑴由杆端弯矩

MAB和

MBA引起的θA和θB。MABMBA

如图示等截面杆件AB，EI=常数。已知端点A和B的角位移分别θA,θB，两端垂直杆轴的相对位移为Δ。拟求杆端弯矩MAB和MBA。MABMBAEIl杆端力和杆端位移的正负规定：①杆端转角θA,θB

，以顺时针为正。②杆端弯矩

MAB和

MBA

，对杆端以顺时针方向为正，对结点或支座以逆时针方向为正。利用单位荷载法可求得MBA1MAB1§7-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩⑴5MABMBAEIl以上两过程的叠加

要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：1MBA利用单位荷载法同理可求得设:⑵由于相对线位移引起的A和BMAB1MABMBAEIl以上两过程的叠加要由杆端6由平衡条件求杆端剪力FQAB和FQBA：MABMBAEIl将上式写成矩阵形式：弯曲杆件刚度矩阵

刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚度系数是只与杆件尺寸和材料性质有关的常数，又称为形常数。由平衡条件求杆端剪力FQAB和FQBA：MABMBAEI7ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=8AMAB几种不同远端支座的刚度方程⑴远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得⑵远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得MAB⑶远端为滑动支座因代入（2）式可得lEIlEIMBAlEIAAMAB几种不同远端支座的刚度方程⑴远端为固定支座9单跨超静定梁简图MABMBAFQAB=FQBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i-i0单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAFQAB=FQBA4i2iθ10二、由荷载求固端弯矩和剪力

单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为固端弯矩和固端剪力，因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数。P230表7-1。qABABABlABABFPqFPq单跨超静定梁简图MABFMBAFFQABFFQBAF二、由荷载求固端弯矩和剪力单跨超静定杆在荷载11三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：EIlMBAMABqM’BAqEIEIM’AB将两过程的叠加引用前述的刚度方程：（转角位移方程）⑴两端为固定的杆件三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：EI12⑵一端固定另一端铰支的杆件：增加荷载共同作用，叠加可得：引用前述的刚度方程：lEIqMAB⑶一端固定另一端滑动支承的杆件：lEIqMBAMAB⑵一端固定另一端铰支的杆件：增加荷载共同作用，叠加可得：13§7-3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。MBAMAB1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设:4、位移法基本方程（平衡条件）FP=20kNq=2kN/mC3m3m6mABEIEIqBFPEIBMBCBBMBAMBC§7-3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结143.215、各杆端弯矩及弯矩图M图（kNm）位移法的基本作法：先拆散，后组装。组装的原则：①在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）②组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。16.72

15.853011.5793.215、各杆端弯矩及弯矩图M图（kNm）位移法的基本作15例7-1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量

B、C（2）杆端弯矩Mi

j计算线性刚度i，设EI

0=1，则梁4m4m5m4

m2

mABCDFE4I05I04I03I03I0q=20kN/m柱例7-1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量B、16(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图(kNm)(3)位移法方程(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图ABCD17小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元181、基本未知量的选取§7-4有侧移刚架的计算

⑴基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。

⑵杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。⑶在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容：结构独立线位移：为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：结点角位移数：

结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。⑴忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；⑵变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。1、基本未知量的选取§7-4有侧移刚架的计算⑴19ABCD如何确定结构的独立线位移?①用观察的方法判定：②用几何构造分析的方法确定：

CD21

将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。ABCD如何确定结构的独立线位移?①用观察的方法判定：②20结构力学(龙驭球)第7章_位移法讲解课件212、基本方程的建立用位移法分析图示刚架：解：⑴基本未知量B、。⑵单元分析：由转角位移方程q=3kN/mq=3kN/m8m4mii2iABCDBCMBCFQABFQBAMBAMABFQCDFQDCMDC2、基本方程的建立用位移法分析图示刚架：解：⑴基本未知量22B⑶位移法方程：MBCMBAFQBAFQCDBC如何求杆端剪力?q=3kN/mFQABFQBAMBAMAB求剪力的通用公式：qMBAMABEIlMBAMABq简支杆上荷载作用的剪力杆端弯矩作用的剪力B⑶位移法方程：MBCMBAFQBAFQCDBC如何求杆端23⑷解位移法方程：⑸求杆端弯矩，作弯矩图。=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）ABCD1.420.553FQ图（kN）⑹求杆端剪力，作剪力图。10.581.421.42⑷解位移法方程：⑸求杆端弯矩，作弯矩图。=-13.8924练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵单元分析：⑶位移法方程及求解：BDFQBAFQDCF

=1.5qhqF

=1.5qh求剪力的通用公式：ABCDiih⑷求杆端弯矩，作弯矩图。AC解：⑴基本未知量：Δ练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵单元分析25例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵各柱的杆端弯矩和剪力：FPFQABFQCDFQEF⑶位移法方程解：⑴基本未知量：各柱的线刚度：ACEh1h2h3I1I2I3ACEBDFF

P例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵各柱的杆26结点荷载FP作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各柱，得各柱剪力，即可作出弯矩图。⑷杆端弯矩和剪力：⑸根据杆端弯矩作M图。⑹讨论：FPM图各柱柱顶剪力

与(称为排架柱的侧移刚度)成正比。根据这一性质，可用下述方法求此排架的内力：剪力分配法MBAMDCMFE结点荷载FP作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各27练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。⑵单元分析：⑶位移法方程及求解：FQBAFQDC求剪力的通用公式：解：⑴基本未知量：ABCDiihqBD⑷求杆端弯矩，作弯矩图。ABCD练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。⑵单元分析：⑶28例7-3.用位移法分析图示刚架思路MBAMBCMCB基本未知量为：ABCDEFq()()()qqMCDMFCMCFMEBMBEBCFQBEFQCF例7-3.用位移法分析图示刚架思路MBAMBCMCB基本未29基本未知量为：FQCAFQCE()(),FPABCDEFqCFQCEFQCAFQDBMCDMCEqMCAMACFQDBMBD练习3：用位移法分析图示刚架。(思路)FP基本未知量为：FQCAFQCE()(30§7-5位移法的基本体系超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁§7-5位移法的基本体系超静定结构计算的总原则:力法的特点31通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法试用位移法的基本体系分析图示刚架：解：⑴基本未知量

1、

2。q=3kN/m8m4mii2iABCD位移法的基本体系ii2iABCDq=3kN/m基本结构ii2iABCD⑵位移法的基本体系：在刚结点B上附加约束控制结点的转角，在结点

C上附加水平支杆约束控制结点C的水平位移。基本体系增加了与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的位移。通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法试用位移法的基本32⑶建立基本方程基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁。加了人工控制的约束之后原结构被分隔成若干杆件

(

这些杆件各自单独变形，且已知其转角位移方程

)。基本体系ii2iABCDq=3kN/m实现位移状态可分两步完成：①控制附加约束，使结点位移Δ1和Δ2全部为零，这时基本结构处于锁住状态，施加荷载后，可求出基本结构中的内力，同时附加约束上产生附加约束力F1P

和F2P。②再控制附加约束，使基本结构发生结点位移Δ1和Δ2，这时附加约束中的约束力F1

和F2将随之改变。如果控制结点位移Δ1和Δ2

与原结构的实际结点位移值相等，则约束力F1

和F2

完全消失。基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载及结点位移Δ1和Δ2共同作用下，在附加约束中产生的总约束力F1和F2

应等于零。即建立位移法基本方程的条件：F1=0F2=0⑶建立基本方程基本体系是用来计算原结构的33F1PABCDABCDF11F12F11+F12+F1P=0…………(1a)F21+F22+F2P=0…………(2a)q=3kN/m基本体系ii2iABCDq=3kN/m利用叠加原理，把基本体系中的总约束力F1和F2

分解为几种情况分别计算：F21F22F2P荷载单独作用Δ1

=1单独作用Δ2

=1单独作用叠加原理以上结果，则基本体系中的总约束力F1和F2

为：ABCD1F1PABCDABCDF11F12F11+F12+F1P=342i4i1.5i3(2i)F11+F12+F1P=0……(1a)F21+F22+F2P=0……(2a)1iABCDi2i=1k11k21=1k12k22k2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5iF11F21ABCDF12F220M1M22i4i1.5i3(2i)F11+F12+F1P=0……35F1PF2P4kN·m4kN·mMPF2P040F1P-

6F1P=4

kN·mF2P=-

6

kN位移法方程：⑸绘制弯矩图4.4213.905.691.4M(kN·m)ABCD⑷计算结点位移q=3kN/mABCD4.42F1PF2P4kN·m4kN·mMPF2P040F1P-636k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

具有n个独立结点位移的超静定结构：

位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。刚度矩阵中的系数称为刚度系数：对称方阵主系数副系数约束的地点产生反力的原因结构的刚度矩阵k111+k122+·······37§7-6位移法对称结构由第六章力法中讨论过的情况可知，作用于对称结构上的任意荷载，可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图是正对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，剪力图是正对称的，而弯矩图、轴力图及变形图是反对称的。利用这些规则，计算对称连续梁或对称刚架时，我们只需计算这些结构的半边结构就可以。这里对第九章讲的“半刚架”法做些相应的补充。一、半边结构的取法1、奇数跨§7-6位移法对称结构由第六章力法中讨论过的情况可知38图7-22所示对称结构，在对称荷载(图a)和反对称荷载(图c)作用下，可取图b、d所示半边结构进行计算。(a)qCABDE图7-22(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位移法计算时，图b有一个基本未知量，而图d有两个基本未知量。图7-22所示对称结构，在对称荷载(图a)和反对称荷载(图c392、偶数跨图7-23a所示对称结构在对称荷载作用下，可取图b所示半边结构进行计算。(a)CDBAEFIq图7-23(b)CBAq图7-24a所示对称结构在反对称荷载作用下，在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移，但是有弯矩和弯曲变形。(a)CDBAEFI2P2P图7-242、偶数跨图7-23a所示对称结构在对称荷载作用下，可取图b40(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图7-24故图a可简化为图b所示的结构，中间两根分柱的抗弯刚度为原柱的一半。成为奇数跨的结构，中间跨的跨度为零。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时的半边结构可如图c、d所示，有三个基本未知量。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和，即CD柱的总弯矩和总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍，总轴力为零。(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图7-24故41二、举例确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)CBPP(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD二、举例确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)42(d)PP(d)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD(e)PPCB(e)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD例7-4

求作图7-25a所示吊桥结构的内力图，吊杆的EA等2201m于横梁EI的。(d)PP(d)PCB基本未知量4个AD(e)PPCB(e43图7-25(a)DABCEIq=10kN/m20m20m20m20EIEA=15m解：(1)基本未知量图7-25a是一个受对称荷载的对称结构，在对称轴上的截面C没有转角。计算时取半边结构如图7-25b所示。DABCq(b)取结点B的转角和竖向位移为基本未知量(参看图7-25c)。DABC(c)C´B´图7-25(2)求固端力在结点B加约束，固定转角和位移(图7-25d)。图7-25(a)DABCEIq=10kN/m20m20m244DABCq(d)图7-25查表7-1求出在荷载作用下的固端弯矩和剪力如下：33331010322-=-=-=BCmkNqlm16761010622-=-=-=CBmkNqlm(3)求杆端力先求由位移和所产生的杆端力。对有荷载作用的杆，再叠加上固端力，即得杆端力如下：AB杆：D-=D-=220620262EIEIliiMABABABqq1001010===BCkNqlQ0=CBQDABCq(d)图7-25查表7-1求出在荷载作用下的固端弯45D-=D-=220620464EIEIliiMABABBAqqD+-=+-==322012206EIEIlMMQQBAABBAABq杆BC：33310333-=-=BCEIiMqq16710167--=--=CBEIiMqq100=BCQ注意：因为C端为滑动支承，B端有竖向线位移时，并不引起杆端弯矩。D-=D-=220620464EIEIliiMABABBAq46杆BD：当B端有竖向线位移移至时B´时(图7-25e)，杆BD伸长3/5。所以，链杆BD的轴力为DB(e)B´D53图7-25D=252053EID=D=)53(2520)53(EIlEANBD(4)列位移法方程考虑结点B的平衡(图7-25f，其中梁的轴力未画出)：B(f)NBDMBCMBAQBAQBC00，=+=BCBABMMM0，=053=-+BCBABDQQNY杆BD：当B端有竖向线位移移至时B´时(图7-25e)，杆47将前面求出的杆端力代入上面两式，得01002012206)252053(5332=-D+-DEIEIEIq0333102062042=-+D-EIEIEIqq整理后，得EI10000222.0015.0=D+-qEI333015.03.0=D-q(5)解位移法方程EI79400=DEI5080=q将前面求出的杆端力代入上面两式，得01002012206)248(6)求杆端力将求得、的代回第3步，得mkNMAB682)79400(206)5080(1012-=-=mkNMBA174)79400(206)5080(2042-=-=kNQQBAAB8.42)79400(2012)5080(2063=+-==mkNMBC174333)5080(101=-=mkNMCB675167)5080(101-=--=kNQBC100=kNNBD2.95)79400(25003==(6)求杆端力将求得、的代回第3步，得mkNMAB6849(7)绘内力图(图7-26)图7-26(a)DABC682174675174682M图(kN·m)(b)DABC42.810010042.8Q图(kN)(7)绘内力图(图7-26)图7-26(a)DABC68250§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析一、支座位移时的计算超静定结构当支座产生已知位移(移动或转动)时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，例如由荷载作用产生的固端弯矩变为由已知位移作用产生的“固端弯矩”。具体计算通过下面的例题说明。例7-5求作图7-27a所示连续梁支座C下沉C时的弯矩图，设两杆的i相等。解：(1)基本未知量为B(2)求杆端弯矩§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析一、支座位移时51(a)lliiABCC图7-27iMBBA=3qliiMCBBCD-=33q因为没有荷载作用，只有支座C下沉C，上式中第二项就是由已知下沉C引起的“固端弯矩”。(3)列位移法方程MMBCBA=+0liiiCBB=D-+0333qqlCBD=2q计算可得：(a)lliiABCC图7-27iMBBA=3qliiMC52(4)计算杆端弯矩lliMCCBAD=D=5i.1)2(3lliliMCCCBCD-=D-D=5i.13)2(3(5)作弯矩图(图7-27b)(b)ABCCliD5.1图7-27(4)计算杆端弯矩lliMCCBAD=D=5i.1)2(353二、温度改变时的计算温度改变时的计算，与支座产生位移时基本相同。但要注意一点：除了杆件内外温差使杆件弯曲而产生一部分“固端弯矩”外；杆件的轴向变形也会使结点产生已知位移，从而又产生另一部分“固端弯矩”。具体计算通过下面的例题说明。例7-6当温度升高T℃时，求图7-28各排架的弯矩。各横梁截面尺寸相同，各立柱截面也相同，温度膨胀系数为。(a)lllllDCH图7-28二、温度改变时的计算温度改变时的计算，与支座产生位移时基本相54(b)C图7-28llllH解：图7-28a为奇数跨情况，图7-28b为偶数跨情况。因为排架对称，荷载(温度变化也是一种广义荷载)也对称，因此在对称轴上的C点没有转角和水平位移。温度升高T℃时的变形如图中虚线所示。立柱伸长时，由于不受约束，故不产生内力。横梁伸长时，使柱顶各点产生的水平位移为TLa=D式中L为结点到对称轴的距离。(b)C图7-28llllH解：图7-28a为奇数跨情况，图55根据结点位移，可求柱底端弯矩如下：HTLiHiMa313-=D-=弯矩图在7-28中的右半部分画出。计算结果表明，排架愈长，温度变化产生的内力也愈大。所以当结构长度过大时，应设置温度缝，将结构分开，以减小温度内力。例7-7求图7-29a所示刚架由于温度改变而产生的弯矩。图中所标温度为温度变化值，各杆截面尺寸相同。(a)BCFEDAt1=10℃t1=10℃t2=-30℃l=6ml=6mH=4m0.6m0.4m0.4m0.6mt2=-30℃图7-29根据结点位移，可求柱底端弯矩如下：HTLiHiMa313-=56(b)BCDAt2=-30℃t1=10℃t2=-30℃t1=10℃图7-29解：本题原有三个结点角位移和一个独立的结点线位移。由于结构对称，温度也对称，因此可取半边结构计算(图7-29b)。这时只有一个基本未知量B。在这里因为要考虑轴向变形的影响，所以图7-29b中CD杆仍要画出。为了求“固端弯矩”，可将温度变化分为两部分：轴线平均温度变化t0(图7-29c)和杆两侧温度差变化t(图7-29d)。(c)BCDAt0=-10℃t0=-10℃t0=10℃ABBC2210ttt+=(d)BCDAt=0℃t=40℃t=40℃t=t1-t2杆轴线平均温度变化使杆长发生变化，但变化值为已知值(图7-29c)：(b)BCDAt2=-30℃t1=10℃t2=-30℃t1=57柱AB缩短t0H=40柱CD伸长t0H=40柱BC缩短t0l=60这些长度变化使各杆端结点产生相对位移：a60=DABaaa80)4040(-=+-=DBC上述位移使杆端产生的固端弯矩为：EIEIHimmBCCBBCaa3.13)80(6662=--=D-==EIEIHimmABBAABaa5.22)60(4662-=-=D-==(a)杆件两侧的温度差t使杆端产生的固端弯矩为(查表7-1)：柱AB缩短58EIEIhtEImmCBBCaaa7.666.040==D==-EIEIhtEImmBAABaaa7.666.040==D==-(b)最后固端弯矩等于式(a)和(b)式之和。杆端弯矩为：EIEImiMBCBBBCCBaqq0.8033.02+=+=EIEImiMBBCBBCBCaqq3.5367.04-=+=EIEImiMBBABABBAaqq2.440.14+=+=EIEImiMBABBABABaqq2.895.02-=+=(c)位移法方程为：0，=+MMBCAB01.967.1=-EIEIBaqEIEIhtEImmCBBCaaa7.666.040==D=59由此求得：aq4.5=B代回(c)式，得杆端弯矩为：EIEIMABaa5.86)2.894.55.0(-=-=EIEIMBAaa6.49)2.444.5(=+=EIEIMBCaa7.49)3.534.567.0(-=-=EIEIMCBaa8.81)0.804.533.0(=+=弯矩图如图7-29e所示。(e)BCFEDA81.8EI86.5EI49.6EIM图图7-29由此求得：aq4.5=B代回(c)式，得杆端弯矩为：EIEI60第

7章位移法第7章位移法61FpFP12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平衡条件变形条件§7-1位移法的基本概念1、关于位移法的简例BFpFP12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平62⑴位移法的基本未知量是结构的独立结点位移（B结点的竖向位移）。⑵位移法的基本方程

是用位移表示的平衡方程（B结点的竖向投影平衡方程式）。第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。位移法的要点如下：Fp12345B将图中尺寸代入，设各杆EA相同，可得⑶建立基本方程的过程分两步：第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。⑷杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。⑴位移法的基本未知量是结构的独立结点位移（B结点的竖向63用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。ABCAB2、位移法计算刚架的基本思路位移法的基本作法：先拆散，后组装。FPACFP①把结构拆成杆件，进行杆件分析－－杆件在巳知端点位移和巳知荷载作用下的计算。②把杆件组装成刚架，进行整体分析－－利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量。用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。ABCA64§7-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩⑴由杆端弯矩

MAB和

MBA引起的θA和θB。MABMBA

如图示等截面杆件AB，EI=常数。已知端点A和B的角位移分别θA,θB，两端垂直杆轴的相对位移为Δ。拟求杆端弯矩MAB和MBA。MABMBAEIl杆端力和杆端位移的正负规定：①杆端转角θA,θB

，以顺时针为正。②杆端弯矩

MAB和

MBA

，对杆端以顺时针方向为正，对结点或支座以逆时针方向为正。利用单位荷载法可求得MBA1MAB1§7-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩⑴65MABMBAEIl以上两过程的叠加

要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：1MBA利用单位荷载法同理可求得设:⑵由于相对线位移引起的A和BMAB1MABMBAEIl以上两过程的叠加要由杆端66由平衡条件求杆端剪力FQAB和FQBA：MABMBAEIl将上式写成矩阵形式：弯曲杆件刚度矩阵

刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚度系数是只与杆件尺寸和材料性质有关的常数，又称为形常数。由平衡条件求杆端剪力FQAB和FQBA：MABMBAEI67ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=68AMAB几种不同远端支座的刚度方程⑴远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得⑵远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得MAB⑶远端为滑动支座因代入（2）式可得lEIlEIMBAlEIAAMAB几种不同远端支座的刚度方程⑴远端为固定支座69单跨超静定梁简图MABMBAFQAB=FQBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i-i0单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAFQAB=FQBA4i2iθ70二、由荷载求固端弯矩和剪力

单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为固端弯矩和固端剪力，因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数。P230表7-1。qABABABlABABFPqFPq单跨超静定梁简图MABFMBAFFQABFFQBAF二、由荷载求固端弯矩和剪力单跨超静定杆在荷载71三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：EIlMBAMABqM’BAqEIEIM’AB将两过程的叠加引用前述的刚度方程：（转角位移方程）⑴两端为固定的杆件三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：EI72⑵一端固定另一端铰支的杆件：增加荷载共同作用，叠加可得：引用前述的刚度方程：lEIqMAB⑶一端固定另一端滑动支承的杆件：lEIqMBAMAB⑵一端固定另一端铰支的杆件：增加荷载共同作用，叠加可得：73§7-3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。MBAMAB1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设:4、位移法基本方程（平衡条件）FP=20kNq=2kN/mC3m3m6mABEIEIqBFPEIBMBCBBMBAMBC§7-3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结743.215、各杆端弯矩及弯矩图M图（kNm）位移法的基本作法：先拆散，后组装。组装的原则：①在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）②组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。16.72

15.853011.5793.215、各杆端弯矩及弯矩图M图（kNm）位移法的基本作75例7-1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量

B、C（2）杆端弯矩Mi

j计算线性刚度i，设EI

0=1，则梁4m4m5m4

m2

mABCDFE4I05I04I03I03I0q=20kN/m柱例7-1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量B、76(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图(kNm)(3)位移法方程(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图ABCD77小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元781、基本未知量的选取§7-4有侧移刚架的计算

⑴基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。

⑵杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。⑶在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容：结构独立线位移：为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：结点角位移数：

结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。⑴忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；⑵变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。1、基本未知量的选取§7-4有侧移刚架的计算⑴79ABCD如何确定结构的独立线位移?①用观察的方法判定：②用几何构造分析的方法确定：

CD21

将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。ABCD如何确定结构的独立线位移?①用观察的方法判定：②80结构力学(龙驭球)第7章_位移法讲解课件812、基本方程的建立用位移法分析图示刚架：解：⑴基本未知量B、。⑵单元分析：由转角位移方程q=3kN/mq=3kN/m8m4mii2iABCDBCMBCFQABFQBAMBAMABFQCDFQDCMDC2、基本方程的建立用位移法分析图示刚架：解：⑴基本未知量82B⑶位移法方程：MBCMBAFQBAFQCDBC如何求杆端剪力?q=3kN/mFQABFQBAMBAMAB求剪力的通用公式：qMBAMABEIlMBAMABq简支杆上荷载作用的剪力杆端弯矩作用的剪力B⑶位移法方程：MBCMBAFQBAFQCDBC如何求杆端83⑷解位移法方程：⑸求杆端弯矩，作弯矩图。=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）ABCD1.420.553FQ图（kN）⑹求杆端剪力，作剪力图。10.581.421.42⑷解位移法方程：⑸求杆端弯矩，作弯矩图。=-13.8984练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵单元分析：⑶位移法方程及求解：BDFQBAFQDCF

=1.5qhqF

=1.5qh求剪力的通用公式：ABCDiih⑷求杆端弯矩，作弯矩图。AC解：⑴基本未知量：Δ练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵单元分析85例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵各柱的杆端弯矩和剪力：FPFQABFQCDFQEF⑶位移法方程解：⑴基本未知量：各柱的线刚度：ACEh1h2h3I1I2I3ACEBDFF

P例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。⑵各柱的杆86结点荷载FP作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各柱，得各柱剪力，即可作出弯矩图。⑷杆端弯矩和剪力：⑸根据杆端弯矩作M图。⑹讨论：FPM图各柱柱顶剪力

与(称为排架柱的侧移刚度)成正比。根据这一性质，可用下述方法求此排架的内力：剪力分配法MBAMDCMFE结点荷载FP作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各87练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。⑵单元分析：⑶位移法方程及求解：FQBAFQDC求剪力的通用公式：解：⑴基本未知量：ABCDiihqBD⑷求杆端弯矩，作弯矩图。ABCD练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。⑵单元分析：⑶88例7-3.用位移法分析图示刚架思路MBAMBCMCB基本未知量为：ABCDEFq()()()qqMCDMFCMCFMEBMBEBCFQBEFQCF例7-3.用位移法分析图示刚架思路MBAMBCMCB基本未89基本未知量为：FQCAFQCE()(),FPABCDEFqCFQCEFQCAFQDBMCDMCEqMCAMACFQDBMBD练习3：用位移法分析图示刚架。(思路)FP基本未知量为：FQCAFQCE()(90§7-5位移法的基本体系超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁§7-5位移法的基本体系超静定结构计算的总原则:力法的特点91通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法试用位移法的基本体系分析图示刚架：解：⑴基本未知量

1、

2。q=3kN/m8m4mii2iABCD位移法的基本体系ii2iABCDq=3kN/m基本结构ii2iABCD⑵位移法的基本体系：在刚结点B上附加约束控制结点的转角，在结点

C上附加水平支杆约束控制结点C的水平位移。基本体系增加了与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的位移。通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法试用位移法的基本92⑶建立基本方程基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁。加了人工控制的约束之后原结构被分隔成若干杆件

(

这些杆件各自单独变形，且已知其转角位移方程

)。基本体系ii2iABCDq=3kN/m实现位移状态可分两步完成：①控制附加约束，使结点位移Δ1和Δ2全部为零，这时基本结构处于锁住状态，施加荷载后，可求出基本结构中的内力，同时附加约束上产生附加约束力F1P

和F2P。②再控制附加约束，使基本结构发生结点位移Δ1和Δ2，这时附加约束中的约束力F1

和F2将随之改变。如果控制结点位移Δ1和Δ2

与原结构的实际结点位移值相等，则约束力F1

和F2

完全消失。基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载及结点位移Δ1和Δ2共同作用下，在附加约束中产生的总约束力F1和F2

应等于零。即建立位移法基本方程的条件：F1=0F2=0⑶建立基本方程基本体系是用来计算原结构的93F1PABCDABCDF11F12F11+F12+F1P=0…………(1a)F21+F22+F2P=0…………(2a)q=3kN/m基本体系ii2iABCDq=3kN/m利用叠加原理，把基本体系中的总约束力F1和F2

分解为几种情况分别计算：F21F22F2P荷载单独作用Δ1

=1单独作用Δ2

=1单独作用叠加原理以上结果，则基本体系中的总约束力F1和F2

为：ABCD1F1PABCDABCDF11F12F11+F12+F1P=942i4i1.5i3(2i)F11+F12+F1P=0……(1a)F21+F22+F2P=0……(2a)1iABCDi2i=1k11k21=1k12k22k2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5iF11F21ABCDF12F220M1M22i4i1.5i3(2i)F11+F12+F1P=0……95F1PF2P4kN·m4kN·mMPF2P040F1P-

6F1P=4

kN·mF2P=-

6

kN位移法方程：⑸绘制弯矩图4.4213.905.691.4M(kN·m)ABCD⑷计算结点位移q=3kN/mABCD4.42F1PF2P4kN·m4kN·mMPF2P040F1P-696k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

具有n个独立结点位移的超静定结构：

位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。刚度矩阵中的系数称为刚度系数：对称方阵主系数副系数约束的地点产生反力的原因结构的刚度矩阵k111+k122+·······97§7-6位移法对称结构由第六章力法中讨论过的情况可知，作用于对称结构上的任意荷载，可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图是正对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，剪力图是正对称的，而弯矩图、轴力图及变形图是反对称的。利用这些规则，计算对称连续梁或对称刚架时，我们只需计算这些结构的半边结构就可以。这里对第九章讲的“半刚架”法做些相应的补充。一、半边结构的取法1、奇数跨§7-6位移法对称结构由第六章力法中讨论过的情况可知98图7-22所示对称结构，在对称荷载(图a)和反对称荷载(图c)作用下，可取图b、d所示半边结构进行计算。(a)qCABDE图7-22(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位移法计算时，图b有一个基本未知量，而图d有两个基本未知量。图7-22所示对称结构，在对称荷载(图a)和反对称荷载(图c992、偶数跨图7-23a所示对称结构在对称荷载作用下，可取图b所示半边结构进行计算。(a)CDBAEFIq图7-23(b)CBAq图7-24a所示对称结构在反对称荷载作用下，在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移，但是有弯矩和弯曲变形。(a)CDBAEFI2P2P图7-242、偶数跨图7-23a所示对称结构在对称荷载作用下，可取图b100(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图7-24故图a可简化为图b所示的结构，中间两根分柱的抗弯刚度为原柱的一半。成为奇数跨的结构，中间跨的跨度为零。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时的半边结构可如图c、d所示，有三个基本未知量。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和，即CD柱的总弯矩和总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍，总轴力为零。(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图7-24故101二、举例确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)CBPP(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD二、举例确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)102(d)PP(d)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD(e)PPCB(e)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD例7-4

求作图7-25a所示吊桥结构的内力图，吊杆的EA等2201m于横梁EI的。(d)PP(d)PCB基本未知量4个AD(e)PPCB(e103图7-25(a)DABCEIq=10kN/m20m20m20m20EIEA=15m解：(1)基本未知量图7-25a是一个受对称荷载的对称结构，在对称轴上的截面C没有转角。计算时取半边结构如图7-25b所示。DABCq(b)取结点B的转角和竖向位移为基本未知量(参看图7-25c)。DABC(c)C´B´图7-25(2)求固端力在结点B加约束，固定转角和位移(图7-25d)。图7-25(a)DABCEIq=10kN/m20m20m2104DABCq(d)图7-25查表7-1求出在荷载作用下的固端弯矩和剪力如下：33331010322-=-=-=BCmkNqlm16761010622-=-=-=CBmkNqlm(3)求杆端力先求由位移和所产生的杆端力。对有荷载作用的杆，再叠加上固端力，即得杆端力如下：AB杆：D-=D-=220620262EIEIliiMABABABqq1001010===BCkNqlQ0=CBQDABCq(d)图7-25查表7-1求出在荷载作用下的固端弯105D-=D-=220620464EIEIliiMABABBAqqD+-=+-==322012206EIEIlMMQQBAABBAABq杆BC：33310333-=-=BCEIiMqq16710167--=--=CBEIiMqq100=BCQ注意：因为C端为滑动支承，B端有竖向线位移时，并不引起杆端弯矩。D-=D-=220620464EIEIliiMABABBAq106杆BD：当B端有竖向线位移移至时B´时(图7-25e)，杆BD伸长3/5。所以，链杆BD的轴力为DB(e)B´D53图7-25D=252053EID=D=)53(2520)53(EIlEANBD(4)列位移法方程考虑结点B的平衡(图7-25f，其中梁的轴力未画出)：B(f)NBDMBCMBAQBAQBC00，=+=BCBABMMM0，=053=-+BCBABDQQNY杆BD：当B端有竖向线位移移至时B´时(图7-25e)，杆107将前面求出的杆端力代入上面两式，得01002012206)252053(5332=-D+-DEIEIEIq0333102062042=-+D-EIEIEIqq整理后，得EI10000222.0015.0=D+-qEI333015.03.0=D-q(5)解位移法方程EI79400=DEI5080=q将前面求出的杆端力代入上面两式，得01002012206)2108(6)求杆端力将求得、的代回第3步，得mkNMAB682)79400(206)5080(1012-=-=mkNMBA174)79400(206)5080(2042-=-=kNQQBAAB8.42)79400(2012)5080(2063=+-==mkNMBC174333)5080(101=-=mkNMCB675167)5080(101-=--=kNQBC100=kNNBD2.95)79400(25003==(6)求杆端力将求得、的代回第3步，得mkNMAB68109(7)绘内力图(图7-26)图7-26(a)DABC682174675174682M图(kN·m)(b)DABC42.810010042.8Q图(kN)(7)绘内力图(图7-26)图7-26(a)DABC682110§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析一、支座位移时的计算超静定结构当支座产生已知位移(移动或转动)时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，例如由荷载作用产生的固端弯矩变为由已知位移作用产生的“固端弯矩”。具体计算通过下面的例题说明。例7-5求作图7-27a所示连续梁支座C下沉C时的弯矩图，设两杆的i相等。解：(1)基本未知量为B(2)求杆端弯矩§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析一、支座位移时111(a)lliiABCC图7-27iMBBA=3qliiMCBBCD-=33q因为没有荷载