中考数学专题冲刺【专题分析+解题方法+知识结构+典例精选+能力评估检测】：专题六 四边形与多边形

专题六四边形与多边形【专题分析】四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；中考中四边形与多边形所占比重约为10%～15%.【解题方法】解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.【知识结构】【典例精选】：如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为()A．13B．14C．15D．16【思路点拨】设出新多边形的边数，根据多边形内角和公式求出新的边数，新边数减1即原多边形的边数．答案：B规律方法：解答此类问题，如果题目中没有给出图形及剪法要根据题意画出图形，按照截线位置的不同分情况讨论.如图，△ABC中，ACB＝90°，D，E分别是BC，BA的中点，连结DE，F在DE的延长线上，且AF＝AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)若四边形ACEF是菱形，求B的度数．【思路点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角可得F＝CED，再根据同位角相等，两直线平行求出CEAF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；(2)根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，即得CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余可得B的度数．【自主解答】(1)证明：如图，ACB＝90°，E是BA的中点，CE＝AE＝BE.AF＝AE，AF＝CE.在△BEC中，BE＝CE且D是BC的中点，ED是等腰△BEC底边上的中线和顶角平分线，1＝2.AF＝AE，F＝3.1＝3，2＝F，CEAF.又CE＝AF，四边形ACEF是平行四边形．(2)解：四边形ACEF是菱形，AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，AC＝CE＝AE，形，CAE＝60°，在RtABC中，B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.AEC是等边三角如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【思路点拨】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得ADB＝90°，即可得出结论；(2)由等腰直角三角形的性质得AD＝BD＝CD，再结合(1)中结论可得出结论．【自主解答】(1)证明：点O为AB的中点，AO＝BO.又OE＝OD，四边形AEBD是平行四边形．AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，ADBC，ADB＝90°，平行四边形AEBD是矩形．(2)解：当BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，AD＝BD＝BC.由(1)知四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形．规律方法：牢记平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是解决此类问题的关键，一般证明步骤为先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形或菱形，最后证四边形为正方形.如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．(1)求证：△ADPECP；(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；(3)作BMAE于点M，作KNAE于点N，连结MO，NO，如图②所示．请证明△MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数．【思路点拨】(1)由四边形ABCD是菱形及点P是CD的中点，可证ADPECP；(2)过点P作PHCE交DE于点H，可得＝＝，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以＝＝，可得BP＝3PK，从而得出n＝3；(3)过点O作OGAE于点G，又由BMAE，KNAE可得BMOGKN，进而可得＝＝1，又点O是线段BK的中点，所以MG＝NG，进而可证△MON是等腰三角形；假设BC＝2，由已知条件可求得BP＝，AP＝，利用面积法可求BM＝，在RtBMP中，利用勾股定理可求PM＝，再由(2)可得PB＝3PO，则OG＝BM＝，MG＝MP＝，在RtMOG中，求出tanMOG的值，即得MOG的度数，MON的度数即可求．【自主解答】(1)证明：四边形ABCD是菱形，ADBC，即ADBE，DAP＝CEP，ADP＝ECP.又点P是ADPCD的中点，DP＝CP，ECP(AAS)．(2)解：如图，过点P作PHCE交DE于点H，点P是CD的中点，＝＝.又由(1)知ADPECP，AD＝CE.四边形ABCD是菱形，AD＝BC＝CE，BE＝2CE.即BK＝4PK，BP＝3PK，即n＝3.＝＝，(3)解：如图，过点O作OGAE于点G，又BMAE，KNAE，BMOGKN.点O是线段BK的中点，OG是线段MN的中垂线．OM＝ON，即△MON是等腰三角形．＝＝1，MG＝NG，即由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC＝2，则CP＝1，由勾股定理，得BP＝，则AP＝，根据三角形面积公式，得BM＝，由(2)得PB＝3PO，OG＝BM＝，MOG＝60°.MON＝120°.，MG＝MP＝，tanMOG＝＝规律方法：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角，利用菱形的性质可以解决有关线段的计算求值、推理证明等问题.【能力评估检测】一、选择题1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是(C)A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是(B)A．当AD＝BC，ABDC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，ACBD时，四边形ABCD是正方形3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EFBC，HGAB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为(A)A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定4．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为(A)A．2B.C.D．65．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF，若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为(C)＝A．4B．4C．4D．286．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC为(C)A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，在△ABC中，AD平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结DE，DF.若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是(D)A．2C．6B．4D．8【解析】由作图可知MN是AD的垂直平分线，AE＝ED，AF＝FD.又AD平分BAC，MNAD，设AD与MN的交点为O，AOEAOF，AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，四边形AFDE为菱形，EDAF，BEDBAC，＝.BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，＝，得BE＝8.故选D.8．如图，菱形ABCD中，AB＝4，B＝60°，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连结EF，则AEF的面积是()A．4B．3C．2D.【解析】如图，连结AC，BD，则△ABC与△ADC都是等边三角形．AEBC，AFDC，BE＝CE，CF＝DF.SABE＝SACE＝SACF＝SADF＝S菱形ABCD.EFBD，CEFCBD，＝2＝，即SCEF＝S菱形ABCD，则SAEF＝S菱形ABCD.sin60°＝＝，AB＝4，AE＝2.则S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2AEF＝S菱形ABCD＝3答案:B＝8，S.故选B.9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEC．EF＝2B．△ABEAGFD．AF＝EF【解析】如图，由折叠得1＝2.ADBC，3＝1，2＝3，AE＝AF，故选项A正确；由折叠得CD＝AG，C＝G＝90°.AB＝CD，AB＝AG.AE＝AF，RtABERtAGF(HL)，故选项B正确；设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在RtAGF中，根据勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，AF＝8－x＝5，则AE＝AF＝5，BE＝＝＝3.过点F作FMBC于点M，则EM＝5－3＝2.在RtEFM中，根据勾股定理，得EF＝＝＝＝2，故选项C正确．AF＝5，EF＝2，AF≠EF，故选项D错误．答案:D10．如图，在矩形ABCD中，AD＝长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：－CF＝2HE；AB＝HF.AB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连结BH并延AED＝CED；OE＝OD；BH＝HF；BC其中正确的有()A．2个C．4个B．3个D．5个【解析】在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAE＝DAE＝45°，ABE是等腰直角三角形，AE＝AD＝AB，AE＝AD.AB.在△ABE和△AHD中，AHD(AAS)，BE＝DH，AB＝BE＝AH＝HD，ABEADE＝AED＝(180°－45°)＝67.5°，CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，AED＝CED，故①正确；AB＝AH，AHB＝(180°－45°)＝67.5°，OHE＝AHB，OHE＝67.5°＝AED.OE＝OH.DHO＝90°－67.5°＝22.5°，ODH＝67.5°－45°＝22.5°，DHO＝ODH，OH＝OD，OE＝OD＝OH，故②正确；EBH＝90°－67.5°＝22.5°，EBH＝OHD.在△BEH和△HDF中，BEHHDF(ASA)，BH＝HF，故③正确；HE＝AE－AH＝BC－CD，BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝(BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正确；AB＝AH，BAE＝45°，ABH不是等边三角形，AB≠BH，即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C.答案:C二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AECF，AEB＝FCB，CFD＝EAD等)，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为.【解析】由矩形的性质，易得△AEMCFN，平行四边形BEMN与平行四边形DMNF全等，＝2S阴影＝答案:2S矩形ABCD＝×2×2.13．如图，在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连结EF，CF.则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)．DCF＝BEC＝2SCEF；【解析】F是AD的中点，AF＝FD.在ABCD中，AD＝2AB，AF＝FD＝CD，DFC＝DCF.BCD；EF＝CF；SDFE＝3AEF.ADBC，DFC＝FCB，DCF＝BCF，DCF＝的延长线于点M，四边形ABCD是平行四边形，BCD，故①正确；如图，延长EF交CDABCD，A＝MDF.F为AD的中点，AF＝FD.在△AEF和△DMF中，A＝FDM，AF＝DF，AFE＝DFM，DMF，FE＝MF.CEAB，AEC＝90°，ECD＝AEC＝90°.FM＝EF，CF＝EF，故②正确；AEFEF＝FM，SEFC＝SCFM＝SECM.MC＞BE，SBEC<SECM＝2SEFC，即SBEC＜2SEFC，故③错误；设FEC＝x°，则FCE＝x°，DCF＝DFC＝90°－x°，EFC＝180°－2x°，DFE＝90°－x°＋180°－2x°＝270°－3x°.AEF＝90°－x°，DFE＝3AEF，故④正确．故答案为①②④.答案:14．(2015·杭州春蕾中学模拟)如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB＝60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使FAC＝60°.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使HAE＝60°……按此规律所作的第n个菱形的边长是.【解析】如图，连结DB，交AC于点M.四边形ABCD是菱形，AD＝AB，ACDB.DAB＝60°，ADB是等边三角形，DB＝AD＝1，BM＝，AM＝)2，AG＝)3，AE＝3＝(，AC＝.同理可得AE＝AC＝(按此规律所作的第n个菱形的边长为()n－1.答案:()n－1三、解答题15．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE.(1)求证：DEBE;(2)如果OECD，求证：BD·CE＝CD·DE.证明：(1)OB＝OE，OEB＝OBE.四边形ABCD是平行四边形，OB＝OD.OD＝OE.OED＝ODE.在△BED中，OEB＋OBE＋ODE＋OED＝180°，2(OEB＋OED)＝180°.OEB＋OED＝90°，即BED＝90°.DEBE.(2)如图，设OE交CD于点H.OECD于点H，CHE＝90°.CEH＋HCE＝90°.CED＝90°，CDE＋DC