人教版八年级数学下册第18章菱形正方形创新题及解析

人教版八年级数学下册第18章菱形、正方形创新题及解析一、操作题例1．在数学活动中，小明为了求11111的值（结果用n22324n222表示），设计如图1－1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求11111的值为__________．2222324n2（2）请你利用图2－2，再设计一个能求11111223242n的值的几何图22形．解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形均分，获取1，1的一个矩形均分获取12，第三次把面积为122第二次把面积为的一个正方形等222分获取13，第四次把面积为13的一个等腰直角三角形均分获取14，，最后把222面积为1的一个等腰直角三角形的面积均分获取两个1n1n，从而易知221111112234n=1n，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以22222后每次均为均分前一次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参照，事实上，方法还有很多，不再列举，答案以下：1（1）1n．（2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．11111222213121111222112242422312323222图2－1图2－2图2－3图2－4二、拼图题例2．如图3，是由四个形状大小完好相同的长方形拼成的图形，利用面积的不相同表示法，写出一个代数恒等式：．解析：如何显现一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近来几年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，可列出(ab)2(ab)24ab，或(ab)24ab(ab)2，或(ab)2(ab)24ab．三、研究题例3．如图4甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．(1)求四边形ABCD四个内角的度数；(2)试试究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明原因；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大体的表示图．图4解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，因此3∠1=360°，即∠1=120°．因此梯形的上底角均为120°，下底角均为60°(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，因此梯形的腰等于上底．连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．1从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．因此NH=AH．2因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．(3)能拼出菱形．如图5：(拼法不唯一)．评析：本题是观察学生观察能力和综合解析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很简单看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很简单获取解决了．四、猜想题例4．如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．1）如图6－2，当EF与AB订交于点M，GF与BD订交于点N时，经过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的地址时，线段FE的延长线与AB的延长线订交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线订交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因．FNDCD(F)CNFOOOGEAABMA(G)MBB(E)EG图6－3图6－1图6－2解析：本题是以正方形为背景的操作研究题，以学生特别熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要着手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．解：（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN．2）BM=FN依旧成立．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．议论：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它实行旋转角度的变化，来研究图形的规律，搜寻出不变量，并证明猜想的开放题．五、方案设计题例5．正方形经过剪切可以拼成三角形，方法以下：仿上用图7（1）示的方法，解答以下问题：操作设计：1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．②②①①图（71）图（72）解析：本题经过对图形的剪裁拼接，观察学生的创新求索，发散思想，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，略举几例：（1）方案1．方案2．中点①①中点①中点①中点（2）方案1．方案2．中点中点①②①②中点中点①②①②课后自测小练习1、如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．第1题图解析：如图，延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH∥AB.11∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝(3－1)＝1.∵Rt22△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理可得HE＝PH＝1.∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2.∴在Rt△PHG中，PG＝PH2＋HG2＝12＋22＝5.故答案是5.、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启示，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，AH＝2AE，求AE的长．2、解析：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAH＝∠GCF＝90°.∵BF＝DH，∴AH＝CF.AE＝CG，在△AEH和△CGF中，∠EAH＝∠GCF，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)∴EH＝FG.(4分)同理EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x＋1.在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF.∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2.在Rt△AEH中，AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.3、如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上搬动时，折痕的端点P、Q也随之搬动．①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；②若限制P、Q分别在边BA、BC上搬动，求出点E在边AD上搬动的最大距离.解析：3、(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm.在Rt△CDE中，DE＝CE2－CD2＝4cm，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．5在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－EP，∴EP2＝12＋(3－EP)2，∴EP＝cm，35∴菱形BFEP的边长为cm.3②当点Q与点C重合时，如图②所示．点E离点A近来，由①知，此时AE＝1cm.当点P与点A重合时，如图③所示．点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上搬动的最大距离为2cm.4、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边向来经过点B，直角极点P在射线AC上搬动，另一边交DC于Q.如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．图1图2解：(1)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PFQ＝90°.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC均分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)．∴PB＝PQ.(2)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，PF⊥CD，交DC的延长线于点F.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC均分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∴BE∥PF.∴∠EBP＝∠BPF.∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠Q＋∠QPF＝90°，∴∠BPF＝∠Q.∴∠EBP＝∠Q.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(AAS)．∴PB＝PQ.5、先阅读下面题目及解题过程再依照要求回答以下问题：已知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的均分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF订交于O，则四边形ABEF为菱形，说明原因．原因：（1）由于四边形ABCD为平行四边形，（2）因此AD//BC（3）因此∠ABE+∠BAF=180（4）由于AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的均分线（5）因此∠1=∠2=1∠BAF，∠3=∠4=1∠ABE22（）因此∠1+∠1（∠BAF+∠ABE）=1180=9063=22（7）因此∠AOB=90（8）因此AE⊥BF（