北京平谷区2021届高三数学高考一模试卷(含详解)

平谷区2020-2021学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.若集合4={#一啜k2|,8={x|x>l},则4nB等于（）A.{幻A.{幻1<凡,2}B.{x|x>l} C.2.设复数z满足(l-i)z=l+i,则z等于()A.-i B.i C.-2i3.(x+2)的展开式中的系数是()A.28 B.56 C.112D.{x|-囹k2}D.2iD.256.一个几何体三视图如图所示，该几何体的表面积是（）D.D.14万.设P是圆*2+丁-10》-6丫+25=0上的动点，。是直线X=T上的动点，贝1］忸。|的最小值为（）A.6A.6 B.4C.3D.2.函数/（x）=ln（x+l）的图象与函数g（x）=x2-4x+4的图象的交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3TT.已知函数/（x）=Asin（0x+e）（A>O,3>O,OGR）.则“/（x）是偶函数”是"°=一”的（）2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 28.已知耳（一。,0），E（c,O）分别是双曲线C:二-当=1（4>0/>0）的两个焦点，双曲线。和圆

b~。2：/+>2=92的一个交点为「，且？尸入打工，那么双曲线G的离心率为（）A.曲 B.6 C.2 D.V3+1,x 2 q4〃“4-29.已知数列应｝满足q=£,且对任意〃wN*，都有工='0,那么为为（）TOC\o"1-5"\h\zA.— B.7 C.— D.10\o"CurrentDocument"7 1010.某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,秒针绕点。匀速旋转，当时间：，=0时，点A与钟面上标12的点8重合，当f€[0,60],A8两点间的距离为d（单位：cm）,则d等于（）A.5sin- B.lOsin— C.5sin— D.lOsin卫2 2 30 60第〃卷非选择题（共no分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）.函数/（x）=jn+ln（x—1）的定义域是..若抛物线V=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为..已知在直角三角形ABC中，NA=90°,AB=l,BC=2,那么荏.元等于:若AM是边上高，点P在aABC内部或边界上运动，那么丽7.而的最大值是..已知函数f（x）=sinox（o>0）,在一7，等上单调递增，那么常数。的一个取值—..从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是一①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；2--20092010201120122013201420152016

年份三、解答题(本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.).如图，在四棱维P-A8CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面2钻，底面ABC。，PM=MD.(1)求证：PB〃平面ACM；(2)求二面角的余弦值.在锐角aABC中，角A8,C对边分别为a,b,c,且Jic一2bsinC=0.(1)求角B大小；(2)再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求aABC的面积.条件①b=3K，a=2：条件②：a=2,A=—.4注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分..随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表(单位：人次)：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(1)从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；(2)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0」，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？(直接写结果).2 2 1.已知椭圆。：++2=1(。>0,6>0)的离心率为5,并且经过尸仅，点.(1)求椭圆C方程；(2)设过点尸的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为8,点8关于x轴的对称点为B'，直线P8'交x轴于点求证：|3/卜|。叫为定值.nx~+X+1.已知函数f(x)=ex(1)当a=0时，求函数y=/(x)的单调区间；(2)当a=l时，过点P(-1,0)可作几条直线与曲线y=/(x)相切？请说明理由..已知数列a2,L,an(O<ai<a2<L<an,n>3),具有性质p：对任意i，j(l<i<j<n)%+q与两数中至少有一个是该数列中的一项，S“为数列A的前〃项和.(1)分别判断数列0,1,3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P：nci(2)证明：4=0,且s.=一；(3)证明：当〃=5时，,。2,。4,。5成等差数歹人平谷区2020-2021学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）.若集合4={#一啜k2|,8={x|x>l},则AA3等于（）A.{A.{幻1<凡,2}B.{x|x>l}1x|x..11{x|-囹k2}【答案】A【解析】【分析】直接利用交集的定义求解.【详解】因为4={x|-啜k2|,B={x|x>l},所以AD8={x|l<x,2}.故选：A.设复数z满足（l-i）z=l+i,则z等于（）A.A.-i B.i C.-2iD.2i【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算法则运算求解即可故选：c.【详解】由题知：Z=(1+/)2(1-0(1+0【详解】由题知：Z=(1+/)2(1-0(1+01+z2+2z. =i2（x+2）的展开式中X’的系数是（）A.28 B.56C.112D.256【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项公式可得【详解】c】f.（2）2=28x4=112.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A.3乃 B.84 C.12乃 D.14%【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体原图是一个圆柱即得解.【详解】由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，所以几何体的表面积为万xFx2+2万x1x3=8tf.故选：B【点睛】方法点睛：由三视图找几何体原图常用的方法有：（1）观察法；（2）模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解..设P是圆产+>2-104-6丫+25=0上的动点，。是直线x=T上的动点，则|尸。|的最小值为（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据圆心到直线的距离减半径即可得答案.【详解】解：由题知圆的标准方程为：（x-5）2+（y-3）2=9,故圆心为（5,3）,半径为r=3,圆心（5,3）到直线％=-4的距离为</=|5-（-4）|=9,所以|PQ|的最小值为d—r=9—3=6.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于将问题转化为圆心到直线的距离与半径差的问题..函数/（x）=ln（x+l）图象与函数g（x）=V-4x+4的图象的交点个数为（）A.O B.1 C.2 D.3【解析】【分析】作出函数图像，数形结合即可得答案.【详解】解：由于函数/(x)=ln(x+l)图像是由函数y=lnx图像向左平移1个单位得到，进而函数/(x)=ln(x+l)在定义域内单调递增，且过定点(0,0),渐近线为x=—1,函数g(x)=f-4x+4=(x-2)2,故函数对称轴为x=2,顶点坐标为(2,0),开口向上，所以作出〃x),g(x)的图像如图，故图像有两个交点.故选：C【点睛】本题考查对数函数图像，考查数形结合思想，解题的关键在于根据函数性质作出函数图像，是基础题.TT.已知函数/(x)=Asin(0x+e)(A>O,3>O，eeR).贝i]“/(x)是偶函数”是"°=一”的()2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.详解】若夕=—,则/(x)=Asin(3x+])=Acos5,f(-x)=Acos(—^yx)=Acoscox—f(x),所以/(x)为偶函数;

TT TT若，(x)=Asin(0x+0)为偶函数，则°=%r+—,keZ,。不一定等于一.2 2TT所以“f(X)是偶函数"是“0=一”的必要不充分条件.2故选：B【点睛】关键点点睛：掌握必要不充分条件概念是解题关键..已知《(一c,0)，K(c,O)分别是双曲线C:二-W■=l(a>O,b>O)的两个焦点，双曲线和圆a~tr7T。2：*2+〉2=，的一个交点为尸，且？「鸟耳？，那么双曲线G的离心率为()A.@ B.V3 C.2 D.6+1【答案】D【解析】【分析】由题知，N£PK=90。，计算得期=百c,"=c,由双曲线定义列出由c-c=2a，计算可得离心率.【详解】由题知，NF/K=9(T,又？PFJ]且可鸟=2c,则M=gc,P6=c由双曲线定义得，y/3c-c=2a，得0=£=6+1a故选：Danan4a+2都有工=C，那么。4为（）%%+21C.— D.1010.已知数列｛4｝满足q=g,且对任意〃gN*，一A.— B.77【答案】A【解析】【分析】依次计算出%，%，。4的值.2an 1 2 1【详解一】化简可得。“,小温=,则%=屋%=?包=7故选：A.某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,秒针绕点。匀速旋转，当时间：f=0时，点A与钟面上标12的点5重合，当fe[0,60],AB两点间的距离为d(单位：cm),则d等于(D.lOsinD.lOsin—605sin—2lOsin—25sin—30【答案】D【解析】【分析】由题知圆心角为盘，过。作48的垂线，通过计算可得小t冗【详解】由题知，圆心角为桑过。作他的垂线，则M=2x5xsin药=10sin”2 60故选：D第〃卷非选择题(共no分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上).函数/(x)=jn+ln(x—1)的定义域是.【答案】。,3]【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案.f3—x0,【详解】解：由题意得八，解得1<xW3,[x-1>0,二函数f(x)的定义域为(1,3],故答案为：(1,3]..若抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为.【答案】2【解析】【详解】抛物线V=4x上一点M到焦点的距离为3,则抛物线V=4x上一点M到准线x=-l得距离为3,则点M到y轴的距离为3—1=2..已知在直角三角形ABC中，ZA=90°,AB=\,BC=2,那么通.觉等于；若AM是边上的高，点P在aABC内部或边界上运动，那么祝.丽的最大值是—.【答案】 ①.-1 ②.0【解析】【分析】利用向量数量积的运算求得福.元.利用向量数量积的运算判断出㈤沅丽的最大值.【详解】由于直角三角形ABC中，ZA=90°,AB=1,BC=2,所以NB=60°,ZC=30°,AC=G,ABBC=|ab||bc|-cos120°=1x2x（—!-）=-1.i i /a由于 所以一A3AC=-BCAM=AM=上.2 2 2AMBP=|AAf|•|胡•cos（AM,丽）=李•1•cos（AM,8户），由于90。4（AM；丽）4150。，所以R0.而的最大值是0.故答案为：一1：0兀27r14.已知函数f(x)=sing(<y>0),在一7，三上单调递增，那么常数0的一个取值—.【答案】CD=-(答案不唯一)2【解析】TOC\o"1-5"\h\zz.)iJI. JI,【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得。•二42,。•(一々)2-々，由此求得正数3的范围，任取此3 2 4 2范围内常数即可.2【详解】/(x)=2sin(0x)(<w>O)在上单调递增，乃71 71 71贝lj@ <———)>——,2 4 21.♦.0<。<一，取一个该范围内的值即可，如口=一.\o"CurrentDocument"2故答案：CD=--.2.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是—①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；EHEH出R驰现，亚【解析】【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.【详解】①看2014,2015年对应的纵坐标之差小于2-1.5=0.5,故①错误；②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确：③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.三、解答题(本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.).如图，在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，旦侧面必记，底面ABC。，PM=MD.(1)求证：P8〃平面ACM；（2）求__面角Af—8C—£）余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）二巳2【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的性质定理、正三角形的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连接3D,与AC交于。，在中，因为。，M分别为80，PO的中点，所以BP//OM.因为平面ACM,QMu平面CAM,所以8P〃平面CAM.（2）设E是AB的中点，连接PE，因为△PA8为正三角形，所以又因为面以8,底面A8CC,面243c底面=所以PE_L平面ABC。过E作斯平行于CB与CD交于F.以E为原点,分别以尸为x,y,z轴，建立空间直角坐标系七一旧，则£（0,0,0）,8（1,0,0）,P（O,O,73）,c（i,2,o）,D（-l,2,0）.M I3 x/3i皿叫所以CM=一,,T，T，BC=（0,2,0）,设平面CBM的法向量为〃=（x,y,z）,则jn-CM=-—x-y+—z=0 r--r< 2 2 1尸°，令x=l.则2=百得〃=（l,0,6）.卜•品=2y=0因为P瓦L平面ABCD,所以平面ABCD的法向量〃7=（0,0,1）,/nm>/3所以cos〈〃,m〉=| ।==-.号网 2所以二面角M—8C—O的余弦值为力.217.在锐角aABC中，角ABC的对边分别为a,b,c,且Jic一2bsinC=0.（1）求角8的大小；（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求aABC的面积.条件①人=3&a=2;条件②：a=2,A=—.4注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.TT【答案】（1）B=--,（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】/?【分析】（1）由正弦定理边角互化得由sinC-2sin8sinC=0,进而得$亩8=二，再结合锐角三角形2即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得c2—2c—23=0,解方程得c=l+2«，进而根据三角形面积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得b=#,再结合内角和定理和正弦的和角公式得sinC=®^，进而4根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1）因为由c-2hsinC=0,由正弦定理GsinC-2sin3sinC=0.因为Ce（0,3，sinCH0,所以sin8=]'.

因为Be因为Be0,5],所以8=乡.7C（2）条件①：h=3>/3,。=2;因为h= =2,由（1）得3=所以根据余弦定理得〃=c2+a2-2cacosZ?»化简整理为c?—2c—23=0,解得c=l+2«.TOC\o"1-5"\h\z所以△ABC的面积S=工厂asin8=叵g叵.2 27T条件②：a=2,A=一4\o"CurrentDocument"TT 7T由（1）知8=；,A=一,3 4根据正弦定理得-^―=，sinBsinA所以6=生电叫=6sinA51因为C=%一4一8=—,12TOC\o"1-5"\h\z所以sinC=sinm=sin（乙+ ,12 （46） 4所以△ABC的面积S=L岳asinC=t!l叵.2 2【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得sinB=@，进而结合锐角三角形即可得8=勺；此外，\o"CurrentDocument"2 3第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.18.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(1)从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；(2)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0」，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？(直接写结果).【答案】(1)—：(2) ；(3)青年人.50 125【解析】【分析】(1)用频率估计概率，直接计算；(2)先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意”分成一老年人、一青年人满意和两老年人满意讨论，进行计算即可；(3)直接判断出青年人.【详解】解：(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,总人次为500人，共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以。(1)=—=—.(2)由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为。(6)= 抽取青年人满意度的概率为3P(C)=-,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率P(D),5656125所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为空.125(3)青年人.【点睛】(1)实际问题中一般用频率估计概率:(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.2 2. «19.已知椭圆C:三+2r=1(。>0,6>0)的离心率为并且经过尸(。，6)点.(1)求椭圆。的方程；(2)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为8,点8关于x轴的对称点为£，直线P8'交x轴于点M,求证：为定值.

【答案】（1）—+^=1；（2）证明见解析.4 3【解析】4=1【分析】（1）由"I可得答案；C1a2（2）设直线总的方程为了=履+百（攵工0）,与椭圆方程联立利用韦达定理可得3点坐标，及直线PB'的【详解】（1）由已知〈1】h2,解得《c_1【详解】（1）由已知〈1】h2,解得《c_1a2a=2 r2v2厂所以椭圆C：—+^-=1.b=6 4 3（2）证明：由已知斜率存在以下给出证明:由题意，设直线心的方程为y=fcv+6（Z*0）,P（0,6）,8（石,凶），则3'（不一M），由3x2+4/=12,<―y=kx+>j3,得0+止江+双后二。，所以Auezjjy>0,八8kC 8k下)x' *=一/充8k6-4辰2+3行3+4/'-3+4左2~直线P8'的方程为y-令丫=令丫=0得》=4k—所以M令y=令y=O由y=kx+小得X=-Bkr/?a所以N—1,0,I4，所以QmHON卜所以QmHON卜㈠辰2-3回4k

3(3+4公)=4【点睛】本题考查了椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理表示出3点坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.nx~+x+120.已知函数y(x)=(1)当。=0时，求函数y=/(x)的单调区间;(2)当。=1时，过点尸(一1,0)可作几条直线与曲线y=/(x)相切？请说明理由.【答案】(1)〃X)的递减区间为(0,+8)；递增区间为(-8,0)；(2)只能作一条曲线/(X)的切线；答案见解析.【解析】【分析】(1)当a=0时，求得/")=三，结合导数的符号，即可求解；(2)当。=1时，求得函数的导数6")=三二，进而得出切线方程，根据切线过点P(-1,0),化简得到ex£+片+1=0,构造新函数g(x)=x3+f+i,求得函数的单调性，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】(1)【详解】(1)当。=0时，可得/(x)=X+1，则小)寸令r(x)=0,解得x=0,则/'(X)及/(x)的情况如下:X(-oo,0)0(0,+oo)/'(X)十0—fM/极大值所以函数/(X)的递减区间为(0,+8);递增区间为(-00,0).(2)当。=1时，/(幻/+4+1,所以/“)=三匕ex ex设切点为4(%,%),则切线方程为：y—%="员(工一毛)，又因为切线过P(-I,o),所以一%=配乎(_1_七)，所以_Xo+：o+l=誓五(_]_/),化简得片+片+1=0,令g(x)=丁+f+1,所以g'(x)=3]2+2x,则g'(X)及g(X)的情况如下：X, 2、_2-3(-|'0)0(0,4-oo)g'(x)+0—0+g(x)731极大值二；27极小值12 2所以函数g(x)的递减区间为(-§,0)；递增区间为(。,+8),又由g(-2)=-3<0,g(_|)=|^>o,所以g(x)在(-2,0)有唯一一个零点,.所以方程£+片+1=0有唯一一个解.所以过P(-1,O)只能作一条曲线f(x)的切线.【点睛】解题技巧：利用导数的几何意义，求