高三数学一轮复习课件2：87-立体几何中的向量方法(二)-求空间角和距离

第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(二)【知识梳理】1.

(1)异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0,π]求法cosθ=|cosβ|=【知识梳理】a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0,π](2)直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.(2)直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为(3)二面角的求法:a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=.b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=__________或___________.cos<n1,n2>-cos<n1,n2>(3)二面角的求法:a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β2.

(1)利用可以求空间中有向线段的长度．(2)点面距离的求法.已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为＝.2.3.

(1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法.(2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.3.考点1

向量法求异面直线所成的角【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1⊥面ABC,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

.考点1向量法求异面直线所成的角(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4.①证明:PQ⊥平面ABCD.②求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥【解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底则故异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°【解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底(2)①如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OP,OQ.因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.从而P,O,Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.②由题设知,四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.(2)①如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OP,O由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,由条件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以于是从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,【规律方法】1.向量法求异面直线所成角的思路及关注点(1)思路:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|=求解.(2)关注点:两异面直线所成角的范围是θ∈(0,],两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.【规律方法】2.建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系.2.建立空间直角坐标系的策略考点2

向量法求直线与平面所成的角【典例2】(2014·福建高考)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD.(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.考点2向量法求直线与平面所成的角【解答】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.【解答】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面B(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),则设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则即依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).【易错警示】解答本题有三点容易出错:(1)在第(1)问证明AB⊥CD时,易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD⊂平面BCD.(2)将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错.(3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角.【易错警示】解答本题有三点容易出错:【规律方法】1.平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设平面的法向量为n=(x,y,z).(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(3)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.【规律方法】2.向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可构成一个法向量.2.向量法求线面角的两大途径考点3向量法计算与应用二面角的大小知·考情利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2)或(3)问的形式出现.考点3向量法计算与应用二面角的大小明·角度命题角度1:计算二面角的大小【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.明·角度【解答】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.【解答】(1)连接AD1,(2)因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角,在四边形ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,(2)因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,在Rt△D1CN中，所以D1N=,所以cos∠D1NC=在Rt△D1CN中，令y1=2,所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以显然二面角为锐二面角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为令y1=2,所以n1=(0,2,1),命题角度2:应用二面角的大小或范围【典例4】(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.命题角度2:应用二面角的大小或范围【解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为CA,BD的中点,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB,且EG在平面AEC内,所以PB∥平面AEC.(2)设CD=m,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,,0),所以【解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为CA,设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则解得一个n1=(1,0,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则解得一个设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为=解得m=.设F为AD的中点，连接EF，则PA∥EF,且EF=,EF⊥平面ACD,所以EF为三棱锥E-ACD的高.所以所以三棱锥E-ACD的体积为因为悟·技法1.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.悟·技法2.向量法应用二面角大小(范围)的技巧建立恰当的空间直角坐标系,将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求解.2.向量法应用二面角大小(范围)的技巧考点4向量法计算空间距离【典例5】(1)(2013·北京高考)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为

.考点4向量法计算空间距离(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交点.若点C到平面AB1D1的距离为,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱【解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，

=(-1,-2,2).设P(x,y,z),λ∈［0,1］,则=(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=λ(-1,-2,2).【解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．P(1-λ,2-2λ,2λ)．设点P在直线CC1上的垂足为Q，得Q(0,2,2λ),当λ=时，答案：解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．方法二:取B1C1的中点E1,连接D1E1,E1E,则CC1∥平面D1EE1.所以点P到直线CC1的距离的最小值即为CC1与平面D1EE1的距离.过点C1作C1F⊥D1E1于F,线段C1F的长即为所求.在直角△C1D1E1中,C1F=答案:方法二:取B1C1的中点E1,连接D1E1,E1E,(2)建立如图空间直角坐标系，设AA1=h,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0)，C(1,1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).设平面AB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),因为所以所以取z=1，得n=(h,h,1),所以点C到平面AB1D1的距离为(2)建立如图空间直角坐标系，设AA1=h,有A(0,0,h【规律方法】1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.【规律方法】2.求点P到平面α的距离的三个步骤:(1)在平面α内取一点A,确定向量的坐标.(2)确定平面α的法向量n.(3)代入公式d=求解.2.求点P到平面α的距离的三个步骤:【解析】取CD中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，-，0)，A(0，-，2).【解析】取CD中点O,连接OB,OM,设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，由n⊥,得x+y=0;由n⊥,得取n=(,-1,1),=(0,0,2),则答案：则设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则把握规则争取满分1.恰当建系,准确确定相关点的坐标在解题过程中,要充分利用题设中的垂直关系,尽量使相关点在轴上,建立空间直角坐标系,看清题目中给出的各线段的长度,根据图形的性质,准确求出相关点的坐标.把握规则争取满分2.准确求出直线的方向向量或平面的法向量在解题过程中,应熟练运用求方向向量及法向量的方法,准确计算,如本例中,,n,n1,n2的坐标.确定一定要准,否则前功尽弃.3.关注所求为空间的什么角及范围解题过程中,要随时关注是二面角还是线面角,特别求cos<n1,n2>后应结合实际验证二面角的具体取值如何,如本例(3).2.准确求出直线的方向向量或平面的法向量ThankYou!ThankYou!第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(二)【知识梳理】1.

(1)异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0,π]求法cosθ=|cosβ|=【知识梳理】a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0,π](2)直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.(2)直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为(3)二面角的求法:a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=.b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=__________或___________.cos<n1,n2>-cos<n1,n2>(3)二面角的求法:a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β2.

(1)利用可以求空间中有向线段的长度．(2)点面距离的求法.已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为＝.2.3.

(1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法.(2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.3.考点1

向量法求异面直线所成的角【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1⊥面ABC,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

.考点1向量法求异面直线所成的角(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4.①证明:PQ⊥平面ABCD.②求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥【解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底则故异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°【解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底(2)①如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OP,OQ.因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.从而P,O,Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.②由题设知,四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.(2)①如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OP,O由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,由条件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以于是从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,【规律方法】1.向量法求异面直线所成角的思路及关注点(1)思路:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|=求解.(2)关注点:两异面直线所成角的范围是θ∈(0,],两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.【规律方法】2.建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系.2.建立空间直角坐标系的策略考点2

向量法求直线与平面所成的角【典例2】(2014·福建高考)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD.(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.考点2向量法求直线与平面所成的角【解答】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.【解答】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面B(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),则设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则即依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).【易错警示】解答本题有三点容易出错:(1)在第(1)问证明AB⊥CD时,易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD⊂平面BCD.(2)将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错.(3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角.【易错警示】解答本题有三点容易出错:【规律方法】1.平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设平面的法向量为n=(x,y,z).(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(3)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.【规律方法】2.向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可构成一个法向量.2.向量法求线面角的两大途径考点3向量法计算与应用二面角的大小知·考情利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2)或(3)问的形式出现.考点3向量法计算与应用二面角的大小明·角度命题角度1:计算二面角的大小【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.明·角度【解答】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.【解答】(1)连接AD1,(2)因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角,在四边形ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,(2)因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,在Rt△D1CN中，所以D1N=,所以cos∠D1NC=在Rt△D1CN中，令y1=2,所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以显然二面角为锐二面角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为令y1=2,所以n1=(0,2,1),命题角度2:应用二面角的大小或范围【典例4】(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.命题角度2:应用二面角的大小或范围【解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为CA,BD的中点,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB,且EG在平面AEC内,所以PB∥平面AEC.(2)设CD=m,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,,0),所以【解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为CA,设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则解得一个n1=(1,0,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则解得一个设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为=解得m=.设F为AD的中点，连接EF，则PA∥EF,且EF=,EF⊥平面ACD,所以EF为三棱锥E-ACD的高.所以所以三棱锥E-ACD的体积为因为悟·技法1.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.悟·技法2.向量法应用二面角大小(范围)的技巧建立恰当的空间直角坐标系,将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求解.2.向量法应用二面角大小(范围)的技巧考点4向量法计算空间距离【典例5】(1)(2013·北京高考)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为

.考点4向量法计算空间距离(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交点.若点C到平面AB1D1的距离为,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱【解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，

=(-1,-2,2).设P(x,y,z),λ∈［0,1］,则=(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=λ(-1,-2,2).【解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．P(1-λ,2-2λ,2λ)．设点P在直线CC1上的垂足为Q，得Q(0,2