高中数学选修231离散型随机变量均值人教版课件

2.3.1离散型随机变量的均值2.3.1离散型随机变量的均值

引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg

的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？定价为可以吗？引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg(如果混合糖果中的每一颗质量都相等,你能解释权数的实际意义吗?)从混合糖果中任取一颗,它单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分别是用X表示糖果价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为:问题1.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?权数恰好就是概率(如果混合糖果中的每一颗质量都相等,你能解释权数的实际意义吗18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？

而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？

样本平均值权数加权平均18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×

则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为它反映了离散型随机变量取值的平均水平。1、离散型随机变量均值的定义平均水平：反复队这个随机变量进行独立观测，随着观测次数的增加，所得到的各个观测值的算术平均值越来越接近于这个随机变量的均值则称归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。③、求出均值(期望)。归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随例1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？例1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子解：随机变量X的取值解：随机变量Y的取值为3，5，7，9，11，13其分布列为所以随机变量Y的均值为E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E（X）+1Y35791113变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？解：随机变量Y的取值为3，5，7，9，11，13其分布列为所设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是离散型随机变量且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b2、随机变量的期望值（均值）的线性性质设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y······························特别地：E(c)=c(其中c为常数)······························1、随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ=.

2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.

5.8Eξ=7.5,则a=

b=

.0.40.1练习：1、随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ=解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？3、几个特殊分布的期望1-PPP1-PP结论1：两点分布的期望：若X～B（1，p），则EX=p解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(

求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8.5例3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球10次时进球个数ξ的均值？结论2：二项分布的期望：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np变式1：罚球10次的得分ξ的均值？变式2：若罚球命中得2分，罚不中得0分，罚球10次的得分X的均值？由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8.5变式3：若罚球命中得3分，罚不中得-1分，罚球10次的得分Y的均值？由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8练习：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是

.3练习：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有例3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。

例3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选解：

设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题例4：根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:

方案1:运走设备,搬运费为3800元;

方案2:建保护围墙,建设费为2000元,

但围墙只能防小洪水;

方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好?例4：根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大例5、袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,每取到1个红球得2分,取到一个黑球得1分.(1)今从袋中随机取4个球,求得分ξ的概率分布与期望.(2)今从袋中每次摸1个球,看清颜色后放回再摸1个球,求连续4次的得分η的期望.例5、袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,每取到1个红练习：某商场的促销决策：

统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？练习：某商场的促销决策：作业：P68A2，3，4B1（2008湖北卷17题）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.X表示所取球的标号.（Ⅰ）求x的分布列，期望;（Ⅱ）若作业：P68A2，3，4B1（2008湖北卷17解：（Ⅰ）X的分布列：

X的期望：

（Ⅱ）

解：（Ⅰ）X的分布列：（Ⅱ）2.3.1离散型随机变量的均值2.3.1离散型随机变量的均值

引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg

的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？定价为可以吗？引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg(如果混合糖果中的每一颗质量都相等,你能解释权数的实际意义吗?)从混合糖果中任取一颗,它单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分别是用X表示糖果价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为:问题1.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?权数恰好就是概率(如果混合糖果中的每一颗质量都相等,你能解释权数的实际意义吗18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？

而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？

样本平均值权数加权平均18×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×

则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为它反映了离散型随机变量取值的平均水平。1、离散型随机变量均值的定义平均水平：反复队这个随机变量进行独立观测，随着观测次数的增加，所得到的各个观测值的算术平均值越来越接近于这个随机变量的均值则称归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。③、求出均值(期望)。归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随例1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？例1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子解：随机变量X的取值解：随机变量Y的取值为3，5，7，9，11，13其分布列为所以随机变量Y的均值为E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E（X）+1Y35791113变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？解：随机变量Y的取值为3，5，7，9，11，13其分布列为所设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是离散型随机变量且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b2、随机变量的期望值（均值）的线性性质设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y······························特别地：E(c)=c(其中c为常数)······························1、随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ=.

2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.

5.8Eξ=7.5,则a=

b=

.0.40.1练习：1、随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ=解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？3、几个特殊分布的期望1-PPP1-PP结论1：两点分布的期望：若X～B（1，p），则EX=p解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(

求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8.5例3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球10次时进球个数ξ的均值？结论2：二项分布的期望：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np变式1：罚球10次的得分ξ的均值？变式2：若罚球命中得2分，罚不中得0分，罚球10次的得分X的均值？由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8.5变式3：若罚球命中得3分，罚不中得-1分，罚球10次的得分Y的均值？由题ξ～B(10，0.85),则Eξ=10×0.85=8练习：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是

.3练习：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有例3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。

例3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选解：

设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．解：设学生甲和学生乙在这次英