从Durer魔方跨入线性代数思维之门课件

主讲:关秀翠

东南大学数学系东南大学线性代数课程讲座从Dürer魔方跨入线性代数思维之门主讲:关秀翠东南大学数学系东南大学线性Dürer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.版画创造时间：1514年

多么奇妙的魔方！4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方该魔方出现在德国著名的艺术家AlbrechtDürer于1514年创造的版画Melancolia。Dürer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.铜币铸造时间：1514年

多么奇妙的魔方！你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方11017201126

5616314152009127和为48.4阶Dürer魔方：铜币铸造时间：1514年多么奇妙的魔方4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方A=B=设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？11017201126

56163141520091274阶Dürer魔方：你想构造Dürer魔方吗？4.向量空间你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？松驰问题的讨论允许构成魔方的数取任意实数任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。记D={A=(aij)R4×4|A为Dürer魔方}将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Dürer魔方空间.无穷多个求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Dürer魔方.你想构造Dürer魔方吗？4.向量空间的应用一、应用背景令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Dürer魔方空间的基令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Dürer魔方空间的基Q1=000000000000000011111在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的求Dürer魔方空间的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

求Dürer魔方空间的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1

显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？求Dürer魔方空间的基显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关

显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关由线性无关。Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？求Dürer魔方Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.构造AlbrechtDürer的数字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.随心所欲构造Dürer魔方=？？？？？？？？？？？？？？？？=dij所得的线性方程组有

个方程？

个变量？1623如何求解该线性方程组呢？Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)1100000000001000001010011000001010000010011000010010000000010100100100001000010000010000001101000001010000000110A=

Ar

y

=

016维变量y

(A,

E)

=

0ry第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)1>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%变量r对应的系数矩阵>>C=[A,-eye(16)];

%系数矩阵(A,E)>>C1=rref(C)%求行最简形C1=100000000000000000-1

1

0

0

001000000000000-10000

00000010000000000000001

-1

-1

0

0

000100000

0000010000

00-100000100000000010-100

0000000001000

00000-10100

000-1000000100000000000

0-100000000001000000-1000-1100000000000100000

-10100000-10000000001000010-100-100000000000001000

10001-1

-1

-1

0

0000000000010010-101-1

-1

0

0

0000000000001010000-10-1000000000000001-1010-1100-1000000000000000110000-1-10000000000000000011-1

-1

0

0

第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44>>A=[1100000;00000随心所欲构造Dürer魔方=(dij)

Ar

y

=

016维变量y

(A,

E)

=

0ry自由变量可取为d24,d32,d34,d41,d42,d43,d441632135101189671241514111017201126

5616314152009127第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)Ary=%程序mymagic.m%输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Dürer魔方>>d=input('pleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:')>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%变量r对应的系数矩阵>>C=[A,-eye(16)];

%系数矩阵(A,E)>>x=null(C,‘r’);%求齐次方程组的基础解系>>y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4)

+d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);

%基础解系的线性组合>>y=y(8:23,:);

%y为16维魔方向量>>D=vec2mat(y,4,4)%将y转化为4阶魔方阵>>mymagicpleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:[63152009127]随心所欲构造Dürer魔方11017201126

5616314152009127第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构%程序mymagic.m随心所欲构造Dürer魔方110(2)任给d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一组值，就可得唯一确定Dürer魔方的其他值.11017201126

5616314152009127还不够随心所欲？赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597125861146710(2)任给d24,d32,d34,d41,d42,d还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何选取自由变量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得x

=

1.还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d1还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.如何选取自由变量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得x

=

1.61494887113613244755-38还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d1还不够随心所欲？能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和(类似于三阶行列式的对角线法则)

R=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}，其中eij=1,i,j.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}和为46.还不够随心所欲？能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗Dürer空间的子空间能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和.R=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7Dürer空间的子空间能否将Dürer魔方“和相等”的限制再Dürer空间的子空间和扩张令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7(5)8维魔方空间Q：R=C=D(6)10维魔方空间U：R=C(7)16维数字空间M：数字可任意取值

Q

U

M

8

10

16Dürer空间的子空间和扩张令R为行和，C为列和，D为对角线从Dürer魔方跨入线性代数思维之门2.培养观察问题分析问题的能力1.培养化繁为简的思考模式(1)转换思考角度，训练思维的求异性(2)探讨变换问题的条件

3.培养发散思维(4)将结论作为条件倒退

(3)培养多角度看问题

(5)利用精炼的语言比拟4.培养归纳总结的能力从Dürer魔方跨入线性代数思维之门2.培养观察问题分析问根据1的取法，确定了8个基本魔方Q1,…,Q8

——求Dürer魔方空间的基1.培养化繁为简的思考模式类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。但是，Q1,…,Q8线性相关，而任意7个都线性无关.可取Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.凭空构造魔方空间的一组基是很难的根据1的取法，确定了8个基本魔方Q1,…,Q8——求Dür分阶段处理复杂问题的“水泵”思维——化繁为简1.培养化繁为简的思考模式分阶段处理复杂问题的“水泵”思维——化繁为简1.培养化繁为定理1.2.|A|

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin,i=1,2,…,n.§1.3行列式的性质及计算

证明：(1)(2)

(3)

第一章行列式和线性方程组的求解

=a11A11=aijAij=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.定理1.2.|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

允许构成魔方的数取任意实数任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。D={AR4×4|A为Dürer魔方}构成Dürer魔方向量空间.求Dürer魔方空间的一组基,

任意一个Dürer魔方都可由这组基线性表示.2.培养观察问题分析问题的能力4阶Dürer魔方：你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方29十秒钟加数

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????时间到！答案是6710。请用十秒，计算出左边一列数的和。29十秒钟加数 34

55

89

144

233

30“斐波那契数列”若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,……意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）30“斐波那契数列”若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，31“十秒钟加数”揭密右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710数学家发现：连续

10个斐波那契数之和，必定等于第

7个数的11倍！31“十秒钟加数”揭密右式的答案是： 34

55

89

32Fibonacci兔子问题

假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对(雌雄)兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？32Fibonacci兔子问题假设一对初生33解答

1月

1对33解答 1月 1对34解答

1月 1对

2月 1

对34解答 1月 1对 2月 1对35解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对35解答 1月 1对 2月 1对 3月 2对36解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对36解答 1月 1对 2月 1对 3月 2对 437解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对

5月 5对37解答 1月 1对 2月 1对 3月 2对 438解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对

5月 5对

6月 8对38解答 1月 1对 2月 1对 3月 2对 439解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对

5月 5对

6月 8对

7月 13对39解答 1月 1对 2月 1对 3月 2对 440

1)分析问题、抓住本质、简化。本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。

2）深入观察发现规律①每月小兔对数=上个月大兔对数.②每月大兔对数=上个月大兔对数+上个月小兔对数.=上个月大兔对数+上上个月大兔对数.2.培养观察问题分析问题的能力401)分析问题、抓住本质、简化。2）深入观察发现规律41

1)分析问题、抓住本质、简化。本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。

2）深入观察发现规律①每月小兔对数=上个月大兔对数.②每月大兔对数=上个月大兔对数+上个月小兔对数.=

前两个月大兔对数之和.2.培养观察问题分析问题的能力411)分析问题、抓住本质、简化。2）深入观察发现规律42月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ

大兔对数1123581321345589144

小兔对数01123581321345589

兔子总数123581321345589144233二阶递推公式

2）深入观察发现规律①每月小兔对数=上个月大兔对数.②每月大兔对数=上个月大兔对数+上个月小兔对数.=

前两个月大兔对数之和.Fn2.培养观察问题分析问题的能力42月份ⅠⅡⅢ433）深入研究问题二阶递推公式由可得2.培养观察问题分析问题的能力433）深入研究问题二阶递推公式由可得2.培养观察问题分443）深入研究问题二阶递推公式因此2.培养观察问题分析问题的能力443）深入研究问题二阶递推公式因此2.培养观察问题分析45

1）花瓣数中的斐波那契数

大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。生活中的斐波那契数451）花瓣数中的斐波那契数生活中的斐波那契462）树杈的数树杈的数目13473）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数

种子按顺、逆时针的螺线排列，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55;89和144;144和233条螺线。473）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数种子按顺、逆时针的螺48松果种子的排列的螺线数(8-13)48松果种子的排列的螺线数(8-13)49菜花表面排列的螺线数（5-8）49菜花表面排列的螺线数（5-8）50

4）电路中的斐波那契数列

加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列

1，1，2，3，5，8，13，21,…………504）电路中的斐波那契数列加在电阻上的电压，515）股票指数增减的“波浪理论”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数；②每次股指增长幅度（8，13等）或回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。股指变化有无规律？回答是肯定的。515）股票指数增减的“波浪理论”52

可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉数学！52可以说，斐波那契以他的兔子问题，问题的提出：设A

是n阶方阵,求Ak?分析：(1)若A是对角阵，则易求Ak

=k.A

=

P1Q1

(2)一般方阵A可与对角阵相抵，即存在n阶可逆阵P,Q,使得

PAQ

=.

Ak

=

(P1Q1)

(P1Q1)…(P1Q1)若Q1

=P

,则

Ak

=P1

k

Q1

=

Qk

Q1(3)因此，当存在n阶可逆阵Q,使得

Q1AQ

=(对角阵)时,易求方阵Ak.此时称方阵A可与对角阵相似。2.培养观察问题分析问题的能力3）深入研究问题问题的提出：设A是n阶方阵,求Ak?分析：(1)问题：当A可与对角阵相似,

Q

与的关系如何

?当方阵A可与对角阵相似，即存在n阶可逆阵Q,使得

Q1AQ

=(对角阵)时,易求方阵Ak.Q–1AQ

=,设Q

的列向量为q1,q2,…,qn.显然它们线性无关.即A(q1,q2,…,qn)=(1q1,2q2,…,nqn),即Aqi=iqi,i=1,…,n

特征值

特征向量

对应qi2.培养观察问题分析问题的能力则AQ=Q=Qdiag(1,2,…,n),3）深入研究问题问题：当A可与对角阵相似,Q与的关系如何?当方阵A(1)任给d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一组值，就可唯一确定Dürer魔方.Dürer魔方空间是7维的.11017201126

5616314152009127(1)转换思考角度，训练思维的求异性自由变量还有其他的选取方式吗？只要选取系数矩阵23列中16个线性无关的列，其余7列对应的变量就可取为自由变量.16314152009127x32xx+4x117xx523x26x3.培养发散思维(1)任给d24,d32,d34,d41,d42,d例5.设,求A1.求逆阵的方法：(1)定义法：AB=BA=E(1)转换思考角度，训练思维的求异性(2)公式法：A1=A*/|A|(3)初等变换法：(A,E)(E,A1)解：注意到A=AT，且A

AT

=

A2

=

4E所以A1

=

A/

43.培养发散思维例5.设——Dürer空间的子空间和扩张(4)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(3)5维泛对角方的向量空间B:(2)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(1)0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7(5)8维魔方空间Q：R=C=D(6)10维魔方空间U：R=C(7)16维数字空间M：数字可任意取值

Q

U

M

8

10

16(2)探讨变换问题的条件

——Dürer空间的子空间和扩张(4)7维Dürer魔方空(2)探讨变换问题的条件

例6.设证明：(1)证：设x

是Ax

=

0的非零解.令B=(x,0,…,0),则(2)证1：设x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基础解系.令B=(x1,x2,…,xn-r),则(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则(2)探讨变换问题的条件例6.设证明：(1)证：设x(2)探讨变换问题的条件

例6.设(3)证明：(2)证1：设x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基础解系.令B=(x1,x2,…,xn-r),则(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则(3)证：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则(2)探讨变换问题的条件例6.设(3)证明：(2)证1n阶方阵A可逆A与E相抵A的行最简形矩阵为E.A=P1P2…Ps,Pi为初等阵.(3)培养多角度看问题

A的行(列)向量组线性无关任一n维向量都可由行(列)向量组线性表示

A的特征值均不为零A的行(列)向量组的秩都是n.(非奇异阵、非退化阵)(满秩)A的行(列)向量组是Rn的基.A为Rn的两组基下的过渡矩阵.A的解空间的维数为0.A的列空间的维数为n.

ATA为正定阵.n阶方阵A可逆A与E相抵A的行最简形矩阵为E.n阶方阵A不可逆A的行(列)向量组线性相关.

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.例7.设证明：证1：(反证法)则A可逆.产生矛盾.假设利用可逆性(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆A的行(列)向量组线性相关.0是n阶方阵A不可逆

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.证2：利用r(A)<n.例7.设证明：(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆0是A的一个特征值.A的行(列)n阶方阵A不可逆

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.证3：利用齐次方程组有非零解.例7.设证明：(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆0是A的一个特征值.A的行(列)n阶方阵A不可逆

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.证4：利用0是A的一个特征值.所以0是A的一个特征值.例7.设证明：(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆0是A的一个特征值.A的行(列)n阶方阵A不可逆

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.错误解析：矩阵乘法消去率不成立.例7.设证明：(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆0是A的一个特征值.A的行(列)n阶方阵A不可逆

0是A的一个特征值.A的行(列)向量组的秩小于n.错误解析：非零矩阵的行列式不一定为0.例7.设证明：(3)培养多角度看问题——

一题多解n阶方阵A不可逆0是A的一个特征值.A的行(列)若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？

(1)行列式D有两行或两列的元素相同；(2)行列式D有两行或两列的元素成比例；(3)行列式D有至少有一行或一列元素都是零

；(4)主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；(5)主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式．

(4)将结论做为条件进行倒推

3.培养发散思维若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？(1)行列3.培养学生的发散思维(5)利用精炼的语言比拟转置:(AB)T=BTAT逆矩阵:(AB)1=B1A1伴随矩阵:(AB)*=B*A*穿脱原理穿：先穿袜再穿鞋；脱：先脱鞋再脱袜.3.培养学生的发散思维(5)利用精炼的语言比拟转置:(A第一章行列式和线性方程组的求解

§1.3行列式的性质及计算a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33行列式的几何含义

=以,,为邻边的平行六面体的有向体积,,构成右手法则体积为正，左手法则体积为负n阶行列式就是n个n维向量(5)利用精炼的语言比拟构成的平行多面体的有向体积。

交换两列，多面体的方向改变，行列式取反号.“把人都挤成照片了”，引申到维数的变化.(//)

某列的k倍，及某列是两子列的和的性质也很显然.第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质及计品名:矩阵规格:mn

数量:

产地:SEU

按秩分类min{m,n}+1包长：.最小包：O矩阵……………说明:内有无数mn矩阵,按秩的不同共分为min{m,n}+1包.每包的代表为,其中r=0,1,,min{m,n}.(5)利用精炼的语言比拟矩阵相抵

是等价关系,且保秩.初等变换品名:矩阵规格:mn数量:产地:SEU按秩矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的?4.培养归纳总结的能力加法和数乘

转置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分块运算:分块转置初等行(列)变换秩:r(A)Ak,f(A)矩阵的运算一般矩阵乘法:交换律消去律|A|:RnnRA*=(Aji):AA*=A*A=|A|E方阵tr(A)=aii:RnnREigenpair:A=(≠)相似:P1AP

=B

(P可逆)相合:PTAP=B

(P可逆)正定:AT=A,xTAx>0(x≠)矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的?4.培养归纳总结的能力加作用初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换极大无关组(基)阶梯阵主列对应原矩阵的列行变换行最简形非主列的线性表示关系解线性方程组Ax=b(AX=B)(Ab)行变换(AB)行变换阶梯阵判别解:r1<r2无解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n无穷多解行最简形基解:非主列变量为e1..enr特解:非主列变量为0逆矩阵行变换行最简形(AE)(EA1)行列式行/列变换三角形某行(列)有一非0元素注意对角线方向的符号按此行(列)展开相合标准形行列变换对角阵(AE)(PT)作用初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换学数学的人是最自信的！学数学的人是最有生活情趣的！——林亚南

(厦门大学数学科学学院院长)

(全国教学名师

)学数学的人是最自信的！学数学的人是最有生活情趣的！——林亚南Thankyouverymuchforyourattention!Thankyouverymuchforyoura

主讲:关秀翠

东南大学数学系东南大学线性代数课程讲座从Dürer魔方跨入线性代数思维之门主讲:关秀翠东南大学数学系东南大学线性Dürer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.版画创造时间：1514年

多么奇妙的魔方！4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方该魔方出现在德国著名的艺术家AlbrechtDürer于1514年创造的版画Melancolia。Dürer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.铜币铸造时间：1514年

多么奇妙的魔方！你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方11017201126

5616314152009127和为48.4阶Dürer魔方：铜币铸造时间：1514年多么奇妙的魔方4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

什么是Dürer魔方A=B=设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？11017201126

56163141520091274阶Dürer魔方：你想构造Dürer魔方吗？4.向量空间你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？4.向量空间的应用一、应用背景

设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？松驰问题的讨论允许构成魔方的数取任意实数任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。记D={A=(aij)R4×4|A为Dürer魔方}将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Dürer魔方空间.无穷多个求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Dürer魔方.你想构造Dürer魔方吗？4.向量空间的应用一、应用背景令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Dürer魔方空间的基令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Dürer魔方空间的基Q1=000000000000000011111在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的求Dürer魔方空间的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

求Dürer魔方空间的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1

显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？求Dürer魔方空间的基显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关

显然，Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？求Dürer魔方空间的基Q1,…,Q8线性相关由线性无关。Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？求Dürer魔方Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.构造AlbrechtDürer的数字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.随心所欲构造Dürer魔方=？？？？？？？？？？？？？？？？=dij所得的线性方程组有

个方程？

个变量？1623如何求解该线性方程组呢？Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,…,Q7构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)1100000000001000001010011000001010000010011000010010000000010100100100001000010000010000001101000001010000000110A=

Ar

y

=

016维变量y

(A,

E)

=

0ry第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)1>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%变量r对应的系数矩阵>>C=[A,-eye(16)];

%系数矩阵(A,E)>>C1=rref(C)%求行最简形C1=100000000000000000-1

1

0

0

001000000000000-10000

00000010000000000000001

-1

-1

0

0

000100000

0000010000

00-100000100000000010-100

0000000001000

00000-10100

000-1000000100000000000

0-100000000001000000-1000-1100000000000100000

-10100000-10000000001000010-100-100000000000001000

10001-1

-1

-1

0

0000000000010010-101-1

-1

0

0

0000000000001010000-10-1000000000000001-1010-1100-1000000000000000110000-1-10000000000000000011-1

-1

0

0

第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44>>A=[1100000;00000随心所欲构造Dürer魔方=(dij)

Ar

y

=

016维变量y

(A,

E)

=

0ry自由变量可取为d24,d32,d34,d41,d42,d43,d441632135101189671241514111017201126

5616314152009127第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构随心所欲构造Dürer魔方=(dij)Ary=%程序mymagic.m%输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Dürer魔方>>d=input('pleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:')>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%变量r对应的系数矩阵>>C=[A,-eye(16)];

%系数矩阵(A,E)>>x=null(C,‘r’);%求齐次方程组的基础解系>>y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4)

+d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);

%基础解系的线性组合>>y=y(8:23,:);

%y为16维魔方向量>>D=vec2mat(y,4,4)%将y转化为4阶魔方阵>>mymagicpleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:[63152009127]随心所欲构造Dürer魔方11017201126

5616314152009127第四章n维向量§4.5线性方程组的解的结构%程序mymagic.m随心所欲构造Dürer魔方110(2)任给d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一组值，就可得唯一确定Dürer魔方的其他值.11017201126

5616314152009127还不够随心所欲？赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597125861146710(2)任给d24,d32,d34,d41,d42,d还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何选取自由变量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得x

=

1.还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d1还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.如何选取自由变量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得x

=

1.61494887113613244755-38还不够随心所欲？(3)任给d11,d12,d13,d1还不够随心所欲？能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和(类似于三阶行列式的对角线法则)

R=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}，其中eij=1,i,j.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}和为46.还不够随心所欲？能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗Dürer空间的子空间能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和.R=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7Dürer空间的子空间能否将Dürer魔方“和相等”的限制再Dürer空间的子空间和扩张令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7(5)8维魔方空间Q：R=C=D(6)10维魔方空间U：R=C(7)16维数字