正弦定理和余弦定理-课件

1正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理21.正弦定理(1)内容:=2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②(其中R是△ABC外接圆半径)21.正弦定理3③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.3③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asin42.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.42.余弦定理5(2)余弦定理的变形5(2)余弦定理的变形6

(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.

6(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况73.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:73.解斜三角形的类型8894.测距离的应用94.测距离的应用1010115.测高的应用115.测高的应用126.仰角､俯角､方位角､视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.126.仰角､俯角､方位角､视角13

(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.13(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.147.△ABC的面积公式有147.△ABC的面积公式有15考点陪练15考点陪练16答案:C16答案:C17答案:C17答案:C181819答案:D19答案:D204.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若B=45°,则角A等于()A.30° B.30°或105°C.60° D.60°或120°204.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若21答案:D21答案:D225.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b=<a,故选A.答案:A225.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边23类型一 正弦定理和余弦定理的应用解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用.2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.23类型一 正弦定理和余弦定理的应用243.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-243.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式25【典例1】在△ABC中,若∠B=30°, AC=2,求△ABC的面积.[解]解法一:根据正弦定理有∴sinC=由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.25【典例1】在△ABC中,若∠B=30°,26

(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:S=AB·AC·sinA= ×2×sin90°=.(2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得:S= AB·AC·sinA=∴△ABC的面积为或26(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角27解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××|BC|×∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S△= |AB|·|BC|·sinB(2)当|BC|=4时,S△= |AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面积为 或27解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|228[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.28[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类29类型二 判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.29类型二 判断三角形的形状302.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.302.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角31【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该三角形的形状.[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.31【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B32

[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.32[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)33∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.33∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B34解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、余弦定理得a2b•=b2a•∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.34解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cos35[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.35[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:36类型三 测量高度和角度问题解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.36类型三 测量高度和角度问题373.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角.4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.373.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或385.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.385.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根39【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中之影的俯角为β.试证云距湖面的高度为39【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α40

[证明]如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为α,测得C在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.40[证明]如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为414142[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.42[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和43解斜三角形应用题的一般步骤是:①准确理解题意,分清已知与所求;②依题意画出示意图;③分析与问题有关的三角形;④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;⑤注意方程思想的运用;⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.43解斜三角形应用题的一般步骤是:44

[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.44[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处45

[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD= t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,( )2+22-2( )·2·cos120°=6,∴BC=海里.又∵∴sin∠ABC=∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°.45[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在46在△BCD中,由正弦定理,得∴sin∠BCD=∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,∴BD=BC,即∴t= 小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.46在△BCD中,由正弦定理,得47[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1)根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;(4)给出结论.47[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(48错源一 因忽视边角关系而致错【典例1】在△ABC中,已知A=60°,,b=2,则角B=________.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得sinB=所以B=45°或B=135°.48错源一 因忽视边角关系而致错49

[剖析]上述错解中的错误十分明显,若B=135°,则A+B=195°>180°,故B=135°不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了a>b这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135°应舍去.49[剖析]上述错解中的错误十分明显,若B=135°,则A50

[正解]在△ABC中,由正弦定理可得因为a>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°[评析]已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.50[正解]在△ABC中,由正弦定理可得51错源二 因忽视边角关系而致错【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形51错源二 因忽视边角关系而致错52[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180°.

52[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个53[答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.53[答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系54错源三 因忽视角的范围而致错【典例3】在△ABC中,若A=2B,求的取值范围.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得因为0<B<π,所以-1<cosB<1,所以-2<2cosB<2,又,所以0<2cosB<2,所以的取值范围是(0,2).54错源三 因忽视角的范围而致错55

[剖析]上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角B的取值范围.[正解]在△ABC中,由正弦定理,可得因为A=2B,A+B<π,所以所以<cosB<1,所以1<2cosB<2,所以的取值范围是(1,2).55[剖析]上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角56[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理准确限定角的取值范围.56[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理57错源四 因忽视隐含条件而致错【典例4】在△ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120°,求最大边长.[错解]由可得b-c=4,所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,57错源四 因忽视隐含条件而致错58所以在△ABC中由余弦定理,得解得a=14或a=4,所以最大边长为4或14.[剖析]上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a>4这一要求.58所以在△ABC中由余弦定理,得59

[正解]由可得b-c=4,所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得59[正解]由60解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a>4,所以最大边长为14.6061[评析]对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善于挖掘.61[评析]对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善62错源五 忽视内角和定理的限制62错源五 忽视内角和定理的限制636364[答案]A64[答案]A65技法一 方程思想【典例1】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明:sinα+cos2β=0;(2)若AC=,求β的值.65技法一 方程思想6666676768

[方法与技巧]第(2)问借助正弦定理得到“sinβ=sinα”,结合第(1)问的结论消去α角,把问题转化为关于sinβ的一元二次方程,通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程思想.68[方法与技巧]第(2)问借助正弦定理得到“sinβ=69技法二 分类讨论思想【典例2】如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′,Oy′上行驶,起初甲离O点30km,乙离O点10km,后来两车均用60km/h的速度,甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为A,B).69技法二 分类讨论思想70(1)起初两车的距离是多少?(2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少?70(1)起初两车的距离是多少?71

[解](1)由余弦定理,知AB2=OA2+OB2-2×OA×OB×cos60°=302+102-2×30×10× =700.故AB= (km).即起初两车的距离是71[解](1)由余弦定理,知72

(2)设甲､乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=60t,BQ=60t.①当0≤t≤ 时,∠POQ=60°.此时OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2×(30-60t)(10+60t)cos60°=10800t2-3600t+700.72(2)设甲､乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=73②当 时,∠POQ=120°.此时OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2×(60t-30)(10+60t)cos120°=10800t2-3600t+700.综上知PQ2=10800t2-3600t+700.则故t小时后两车的距离是73②当 时,∠POQ=120°.74[方法与技巧]本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必须对两种情况进行分类讨论.74[方法与技巧]本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的75技法三 数形结合思想【典例3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m后,又从B点测得斜度为45°.设建筑物的高为50m,求山坡对于地平面的斜度的倾斜角θ的余弦值.75技法三 数形结合思想76

[解题切入点]本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形,如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD=θ,这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC;再在△BCD中,利用正弦定理得到关于θ的三角函数关系式,进而解出θ.76[解题切入点]本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图777778

[方法与技巧]题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意画出其示意图,将已知条件归结到△ABC与△BCD中.在△BCD中,利用三角形的性质,将∠CDB与角θ联系起来,从而在两个三角形中,利用正弦定理将θ求出.78[方法与技巧]题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意79正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理801.正弦定理(1)内容:=2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②(其中R是△ABC外接圆半径)21.正弦定理81③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.3③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asin822.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.42.余弦定理83(2)余弦定理的变形5(2)余弦定理的变形84

(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.

6(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况853.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:73.解斜三角形的类型868874.测距离的应用94.测距离的应用8810895.测高的应用115.测高的应用906.仰角､俯角､方位角､视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.126.仰角､俯角､方位角､视角91

(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.13(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.927.△ABC的面积公式有147.△ABC的面积公式有93考点陪练15考点陪练94答案:C16答案:C95答案:C17答案:C961897答案:D19答案:D984.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若B=45°,则角A等于()A.30° B.30°或105°C.60° D.60°或120°204.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若99答案:D21答案:D1005.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b=<a,故选A.答案:A225.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边101类型一 正弦定理和余弦定理的应用解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用.2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.23类型一 正弦定理和余弦定理的应用1023.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-243.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式103【典例1】在△ABC中,若∠B=30°, AC=2,求△ABC的面积.[解]解法一:根据正弦定理有∴sinC=由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.25【典例1】在△ABC中,若∠B=30°,104

(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:S=AB·AC·sinA= ×2×sin90°=.(2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得:S= AB·AC·sinA=∴△ABC的面积为或26(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角105解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××|BC|×∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S△= |AB|·|BC|·sinB(2)当|BC|=4时,S△= |AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面积为 或27解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2106[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.28[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类107类型二 判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.29类型二 判断三角形的形状1082.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.302.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角109【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该三角形的形状.[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.31【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B110

[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.32[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)111∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.33∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B112解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、余弦定理得a2b•=b2a•∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.34解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cos113[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.35[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:114类型三 测量高度和角度问题解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.36类型三 测量高度和角度问题1153.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角.4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.373.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或1165.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.385.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根117【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中之影的俯角为β.试证云距湖面的高度为39【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α118

[证明]如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为α,测得C在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.40[证明]如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为11941120[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.42[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和121解斜三角形应用题的一般步骤是:①准确理解题意,分清已知与所求;②依题意画出示意图;③分析与问题有关的三角形;④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;⑤注意方程思想的运用;⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.43解斜三角形应用题的一般步骤是:122

[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.44[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处123

[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD= t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,( )2+22-2( )·2·cos120°=6,∴BC=海里.又∵∴sin∠ABC=∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°.45[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在124在△BCD中,由正弦定理,得∴sin∠BCD=∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,∴BD=BC,即∴t= 小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.46在△BCD中,由正弦定理,得125[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1)根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;(4)给出结论.47[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(126错源一 因忽视边角关系而致错【典例1】在△ABC中,已知A=60°,,b=2,则角B=________.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得sinB=所以B=45°或B=135°.48错源一 因忽视边角关系而致错127

[剖析]上述错解中的错误十分明显,若B=135°,则A+B=195°>180°,故B=135°不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了a>b这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135°应舍去.49[剖析]上述错解中的错误十分明显,若B=135°,则A128

[正解]在△ABC中,由正弦定理可得因为a>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°[评析]已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.50[正解]在△ABC中,由正弦定理可得129错源二 因忽视边角关系而致错【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形51错源二 因忽视边角关系而致错130[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180°.

52[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个131[答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.53[答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系132错源三 因忽视角的范围而致错【典例3】在△ABC中,若A=2B,求的取值范围.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得因为0<B<π,所以-1<cosB<1,所以-2<2cosB<2,又,所以0<2cosB<2,所以的取值范围是(0,2).54错源三 因忽视角的范围而致错133

[剖析]上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角B的取值范围.[正解]在△ABC中,由正弦定理,可得因为A=2B,A+B<π,所以所以<cosB<1,所以1<2cosB<2,所以的取值范围是(1,2).55[剖析]上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角134[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理准确限定角的取值范围.56[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理135错源四 因忽视隐含条件而致错【典例4】在△ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120°,求最大边长.[错解]由可得b-c=4,所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,57错源四 因忽视隐含条件而致错136所以在△ABC中由余弦定理,得解得a=14或a=4,所以最大边长为4或14.[剖析]上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a>4这一要求.58所以在△ABC中由余弦定理,得137

[正解]由可得b-c=4,所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得59[正解]由138解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a>4,所以最大边长为