全高考数学解题技巧讲解课件

松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习课件PPT松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习课件PPT1松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第1讲选择题、填空题的解法松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第1讲选择题、填空题的2-3-高考选择、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.-3-高考选择、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学-4-方法一

直接法

直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.-4-方法一直接法

-5-例1(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=(

)A.2019 B.0 C.1 D.-1A.(-1,+∞) B.(-1,3)C.(0,+∞) D.(0,3)

答案

(1)B

(2)A

解析

(1)由f(x+4)=-f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为4.又f(x)为奇函数,∴f(1)=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

019)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=0,故选B.-5-例1(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2-6--6--7--7--8-答案

(1)C

(2)D

-8-答案(1)C(2)D-9-方法二

特值、特例法

特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.-9-方法二特值、特例法

-10-例2如图所示,在▱ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,答案解析解析关闭答案解析关闭-10-例2答案解析解析关闭答案解析关闭-11-答案解析解析关闭答案解析关闭-11-答案解析解析关闭答案解析关闭-12-方法三

等价转化法

例3(1)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为(

)A.6 B.5 C.4 D.3-12-方法三等价转化法

-13-答案

(1)A

(2)C

解析

(1)由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).如图,过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,连接OB,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=|AF|,-13-答案(1)A(2)C-14--14--15-对点训练3在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为(

)答案

C

解析

如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB.因为DB∩PB=B,DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以CB⊥平面PBD.-15-对点训练3在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形-16--16--17-方法四

数形结合法

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-方法四数形结合法

答案解析解析关闭答案解-18-对点训练4(1)已知函数

若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是(

)A.(24,36) B.(48,54)C.(24,27) D.(48,+∞)(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA'⊥l,垂足为A'.若四边形AA'PF的面积为14,且cos∠FAA'=,则抛物线C的方程为(

)A.y2=8x B.y2=4xC.y2=2x D.y2=x答案(1)B

(2)B

-18-对点训练4(1)已知函数-19--19--20--20--21-方法五

构造法

利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.-21-方法五构造法

-22-例5(1)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)成中心对称,其导函数为f'(x),当x<1时,(x-1)[f(x)+(x-1)f'(x)]>0,则不等式xf(x+1)>f(2)的解集为

.

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a-22-例5(1)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点-23-答案

(1)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(2)B

解析

(1)设g(x)=(x-1)f(x),当x<1时,x-1<0,∴g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)<0,则g(x)在(-∞,1)内单调递减.又f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,∴f(x+1)的图象关于点(0,0)成中心对称,则f(x+1)是奇函数.令h(x)=g(x+1)=xf(x+1),∴h(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0)内递减,∴在(0,+∞)内递增.∵h(1)=f(2),∴xf(x+1)>f(2)⇔h(x)>h(1),即|x|>1,解得x>1或x<-1.-23-答案(1)(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)B-24--24--25-对点训练5(1)在△ABC中,AB⊥BC,BA=BC=2,BD是边AC上的高,沿BD将△ABD折起,当三棱锥A-BCD的体积最大时,该三棱锥外接球的表面积为(

)A.12π B.24πC.36π D.48π(2)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)<0,答案(1)A

(2)C

-25-对点训练5(1)在△ABC中,AB⊥BC,BA=BC-26-解析

(1)如图,在Rt△ABC中,由AB⊥BC,BA=BC=2,得AC=4,∴AD=DC=BD=2.要使三棱锥A-BCD体积最大,则AD⊥平面BDC,利用分割补形法将三棱锥补成分别以AD,DC,BD为棱的正方体,正方体的外接球就是该三棱锥的外接球,可得三棱锥A-BCD的外接球的半径.-26-解析(1)如图,-27-方法六

排除法(针对选择题)

数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.-27-方法六排除法(针对选择题)

-28-例6(1)已知函数f(x)=x2-2xcosx,则下列关于f(x)的表述正确的是(

)A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点-28-例6(1)已知函数f(x)=x2-2xcosx,则-29-(2)函数y=2|x|sin2x的图象可能是(

)-29-(2)函数y=2|x|sin2x的图象可能是(-30-答案

(1)D

(2)D

解析

(1)对于A,f(-x)≠f(x),故A错误;对于B,假设B正确,问题可转化为方程x2+1=2xcos

x有解,即x+=2cos

x有解.当x>0时,x+2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2xcos

x<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2cos

x有3个解,作出函数y=x,y=2cos

x的图象,可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f'(x)=2x-2(cos

x-xsin

x)=2x(1+sin

x)(2)因为在函数y=2|x|sin

2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin

2x为奇函数,所以y=2|x|sin

2x为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=,x=π时,sin

2x=0,故函数y=2|x|sin

2x在[0,π]上有3个零点,排除选项C,故选D.-30-答案(1)D(2)D-31-对点训练6已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(

)答案解析解析关闭由图象知,f(0)=1且f(2)<0.A中,f(0)=-1,不合题意;B中,f(0)=-1,不合题意;D中,f(2)=1+4=5>0,不合题意.故选C.答案解析关闭C-31-对点训练6已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)-32-1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.-32-1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第2讲函数与方程思想松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第2讲函数与方程思想33-34-函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识从知识运用的交汇处,从思想方法和相关能力的结合处进行考查.-34-函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考-35-1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.-35-1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学-36-应用一

函数思想与方程思想的转换

例1设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(

)A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0答案解析解析关闭答案解析关闭-36-应用一函数思想与方程思想的转换

答案解析解析关-37-思维升华

求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数的交点问题.-37-思维升华求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题-38-对点训练1(2019湖南怀化高三一模,文12)已知函数f(x)=|lnx|-ax(x>0,0<a<1)的两个零点为x1,x2,则(

)A.0<x1x2<1B.x1x2=1C.1<x1x2<eD.x1x2>e答案解析解析关闭答案解析关闭-38-对点训练1(2019湖南怀化高三一模,文12)已知函-39-应用二

函数与方程思想在解三角形中的应用

例2为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1m,且AC比AB长

m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-39-应用二函数与方程思想在解三角形中的应用

答案解-40-思维升华

函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.-40-思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(-41-答案解析解析关闭答案解析关闭-41-答案解析解析关闭答案解析关闭-42-应用三

函数与方程思想在不等式中的应用

答案解析解析关闭答案解析关闭-42-应用三函数与方程思想在不等式中的应用

答案解-43-思维升华

1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.2.函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0.已知恒成立求参数范围可先分离参数,再利用函数最值求解.-43-思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方-44-对点训练3(2019四川凉山高三二诊,文12)若x∈(0,+∞),≥x-lnx+a恒成立,则a的最大值为

(

)A.1 B. C.0 D.-e答案解析解析关闭答案解析关闭-44-对点训练3(2019四川凉山高三二诊,文12)若x∈-45-应用四

函数与方程思想在数列中的应用

例4若正项递增等比数列{an}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为(

)A.-2 B.-4 C.2 D.4答案解析解析关闭答案解析关闭-45-应用四函数与方程思想在数列中的应用

答案解析解-46-思维升华

因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把求式子最小值问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.-46-思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题-47-对点训练4已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且

最大值为(

)A.-3 B.-1 C.3 D.1答案解析解析关闭答案解析关闭-47-对点训练4已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且-48-应用五

函数与方程思想在导数中的应用

例5(2019河北衡水高三模拟,文21)已知函数f(x)=2lnx+x2-ax,a∈R.(1)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+∞)上的单调增函数,求x0的值;(2)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点?并说明理由.-48-应用五函数与方程思想在导数中的应用

-49-解

(1)依题意,切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0),从而g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0).记p(x)=f(x)-g(x),则p(x)=f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0)在(0,+∞)上为单调增函数,所以p'(x)=f'(x)-f'(x0)≥0在(0,+∞)上恒成立,-49-解(1)依题意,切线方程为y=f'(x0)(x-x-50-(2)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),不妨设0<x1<x2,则在T1处切线l1的方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),在T2处切线l2的方程为y-f(x2)=f'(x2)(x-x2).因为l1,l2为同一直线,所以-50-(2)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同-51-所以p(t)为(0,1)上的单调递减函数,所以p(t)>p(1)=0.从而①式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.-51-所以p(t)为(0,1)上的单调递减函数,所以p(t-52-思维升华

本题第二步是通过假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),分别写出T1,T2处的切线方程l1,l2,消去一个变量x2,根据方程构造函数,利用导数研究函数的最小值大于零,否定假设,得出结论.根据导数的几何意义求解参数,一般都是解方程,构造新函数,然后利用导数研究函数的最值、极值等.-52-思维升华本题第二步是通过假设存在一条直线与函数f(-53-对点训练5(2019湖北高三调研,文12)已知函数的图象上存在两个点关于y轴对称,则实数m的取值范围为(

)A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(0,1)答案解析解析关闭答案解析关闭-53-对点训练5(2019湖北高三调研,文12)已知函数-54-函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.-54-函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第3讲分类讨论思想松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第3讲分类讨论思想55-56-从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-56-从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出-57-1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.-57-1.分类讨论的思想含义-58-应用一

由数的概念引起的分类讨论

答案解析解析关闭答案解析关闭-58-应用一由数的概念引起的分类讨论

答案解析解析-59-答案解析解析关闭答案解析关闭-59-答案解析解析关闭答案解析关闭-60-应用二

由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论

例2设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-60-应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论

-61-思维升华

1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-61-思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数-62-对点训练2(2019湖南高三高考冲刺预测卷,理9)已知抛物线x2=2y上一点P到焦点F的距离为1,M,N是直线y=2上的两点,且|MN|=2,△MNP的周长是6,则sin∠MPN=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-62-对点训练2(2019湖南高三高考冲刺预测卷,理9)已-63-应用三

根据字母的取值情况分类

例3(2019安徽皖西南名校高三联考,理21)已知函数f(x)=ex,g(x)=2asinx-be-x(a,b∈R).(1)当a=0时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值点;(2)当b=-1时,若f(x)>g(x)对一切x∈(0,π)恒成立,求实数a的取值范围.-63-应用三根据字母的取值情况分类

-64--64--65-(2)当b=-1时,f(x)>g(x)可化为ex>2asin

x+e-x,即ex-e-x-2asin

x>0.令p(x)=ex-e-x-2asin

x.当a≤0时,对于一切x∈(0,π),有ex-e-x>0,-2asin

x≥0,所以p(x)>0恒成立.下面考虑a>0时的情况.p'(x)=ex+e-x-2acos

x.当0<a≤1时,对于一切x∈(0,π),有ex+e-x≥2,2acos

x≤2,所以p'(x)≥0恒成立,-65-(2)当b=-1时,f(x)>g(x)可化为ex>2-66-思维升华

含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.-66-思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有-67-对点训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是(

)C.(-∞,0) D.(0,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-67-对点训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点-68-1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.-68-1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第4讲从审题中寻找解题思路松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第4讲从审题中寻找69审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目70-71-一、审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.二、怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.-71-一、审题与解题的关系-72-一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.-72-一、审清条件信息-73-例1(1)(2019广东广州高三二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是(

)A.-2 B.-1C.0 D.1(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,则tan∠PBA=(

)-73-例1(1)(2019广东广州高三二模,文12)若函数-74-答案

(1)C

(2)C

解析

(1)解法1:∵f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.解法2:由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4①,由f(x)关于x=-1对称,可知f'(-1)=0,得3a=2b+4②,联立①②解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)≤0,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.解法3:因为f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则满足f(x-1)=f(-1-x).运用特殊值法.-74-答案(1)C(2)C-75-取x=1,x=2,代入上式,当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意.即f(x)=-x2(x+2)2.当x=0时,f(x)取最大值0,故选C.-75-取x=1,x=2,代入上式,-76--76--77-(1)审题指导一

从题目条件中只能看到图象关于直线x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(x)的零点的关系,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.审题指导二

根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f'(-1)=0,联立得到关于a,b的方程组,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.审题指导三

对于函数对称性问题,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.-77-(1)审题指导一从题目条件中只能看到图象关于直线x-78-(2)审题指导一

利用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,进而推出PC=cos

θ,同理根据∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan

∠PBA.审题指导二

借助平面几何知识,过A点作BP延长线的垂线,构造Rt△ADB,利用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt△ADB、Rt△BPC、Rt△ADP,找出AD、BD、PD、BP之间的关系,并用与θ有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD建立等量关系求解tan

∠PBA.-78-(2)审题指导一利用Rt△ABC和Rt△BPC的边-79-二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.-79-二、审条件中的隐含-80-答案(1)C

(2)D-80-答案(1)C(2)D-81--81--82--82--83-三、审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.-83-三、审条件中的结构特征-84-答案

C-84-答案C-85--85--86--86--87-∵a2=b2+c2-2bccos

A,∴b2+c2=a2+bc=50.则(b+c)2=100,∴b+c=10,∴b=c=5.∴△ABC为等边三角形.∴sin

B+sin

C=-87-∵a2=b2+c2-2bccosA,-88--88--89-四、审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.-89-四、审图形特点寻简捷-90-答案解析解析关闭答案解析关闭-90-答案解析解析关闭答案解析关闭-91--91--92-五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.-92-五、审图表数据找关联-93-例5某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:-93-例5某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘-94-记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?-94-记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y-95-解

(1)当x≤19时,y=3

800;当x>19时,y=3

800+500(x-19)=500x-5

700.所以y与x的函数解析式为(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.-95-解(1)当x≤19时,y=3800;-96--96--97-审题指导

把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大.(1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x≤19与x>19,分别探求y与x的函数解析式;(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,如何求解其平均数呢?自然借助于柱状图!-97-审题指导把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但-98-六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.-98-六、审结论善转换-99-例6(2019黑龙江高三模拟,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AC,BB1的中点.(1)证明:BD∥平面AEC1;(2)若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,侧面都是正方形,求五面体AEB1C1A1的体积.-99-例6(2019黑龙江高三模拟,文17)如图,在三棱柱-100-

(1)证明

设AC1的中点为F,连接DF,EF.∵D,F分别为AC,AC1的中点,∴DF∥BE且DF=BE,∴BEFD为平行四边形.∴BD∥EF.∵EF⊂平面AEC1,BD⊄平面AEC1,∴BD∥平面AEC1.-100-(1)证明设AC1的中点为F,连接DF,EF.-101-(2)解法一

取A1B1的中点O,连接C1O,∵△A1B1C1为等边三角形,∴C1O⊥A1B1.∵侧面是正方形,∴BB1⊥A1B1,BB1⊥B1C1.又A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,且A1B1∩B1C1=B1,∴BB1⊥平面A1B1C1.∵C1O⊂平面A1B1C1,∴C1O⊥BB1.-101-(2)解法一取A1B1的中点O,连接C1O,-102-解法二

取BC的中点H,连接AH,∵△ABC为等边三角形,∴AH⊥BC.∵侧面都是正方形,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.∵AB,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,∴BB1⊥平面ABC.∵AH⊂平面ABC,∴AH⊥BB1.∵BC∩BB1=B,∴AH⊥平面BB1C1C.-102-解法二取BC的中点H,连接AH,∵△ABC为等边-103-审题指导(1)条件出现D,E分别是AC,BB1的中点,联想构造中位线,转化为证明线线平行,取AC1的中点F,要证明BD∥EF,只需证明BEFD为平行四边形,从而证明DF∥BE且DF=BE,然后再由线面平行的判定定理可得结论成立.(2)方法一:要求五面体AEB1C1A1的体积,需辨别出该五面体是以C1为顶点以AEB1A1为底面的四棱锥,进而问题转化为求四棱锥的高.此时需寻求底面AEB1A1的高,通过△A1B1C1为等边三角形,侧面是正方形,和线面垂直判定定理,证明C1O为四棱锥C1-AEB1A1的高.进而求得四棱锥C1-AEB1A1的体积.方法二:看不出五面体的规则的几何体时,则考虑利用分割、补形的方法转化为规则的几何体的体积和或差求解.本题将几何体C1-AEB1A1分割为三棱柱ABC-A1B1C和四棱锥A-BEC1C,转化为分别求三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥A-BEC1C的体积,然后利用面面垂直求得四棱锥A-BEC1C的高,进而求几何体C1-AEB1A1的体积.-103-审题指导(1)条件出现D,E分别是AC,BB1的中-104-七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.-104-七、审已知与结论建联系-105-例7在△ABC中,若bc=3,a=2,则△ABC的外接圆的面积的最小值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-105-例7在△ABC中,若bc=3,a=2,则△ABC的-106-审题指导求△ABC的外接圆的面积的最小值,即求外接圆半径的最小值,需要用某一变量表示半径R.联系条件给出的bc=3,a=2,显然由正弦定理得2R=,这就需要求变量sin

A的范围.bc=3与余弦定理有关,且还需要与∠A有联系,∴4=b2+c2-2bccos

A≥2bc-2bccos

A=6(1-cos

A).-106-审题指导求△ABC的外接圆的面积的最小值,即求外接-107-1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练.2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.-107-1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第5讲转化化归思想松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第5讲转化化归思想108-109-转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.-109-转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时-110-1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.-110-1.转化与化归思想的含义-111-应用一

特殊与一般化

答案解析解析关闭答案解析关闭-111-应用一特殊与一般化

答案解析解析关闭答-112-思维升华

1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.-112-思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行-113-对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则

的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-113-对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,-114-应用二

命题等价化

例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,求a的取值范围.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.-114-应用二命题等价化

而函数h(x)=a(x-1)表-115--115--116--116--117--117--118-思维升华

所谓等价转化,是不改变命题的条件限制、将解方程或不等式(不等式组)在同解前提下变换为另一种形式的求解方法.注意变换时限制条件的等价转换.-118-思维升华所谓等价转化,是不改变命题的条件限制、将-119-对点训练2(1)(2019河北衡水二中高三模拟,理4)已知定点P(2,0)及抛物线C:y2=2x,过点P作直线l与C交于A,B两点,设抛物线C的焦点为F,则△ABF面积的最小值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5(2)(2019福建福州高三质检,理7)已知函数f(x)=x3-2ex2+mx-lnx,若f(x)>x恒成立,则实数m的取值范围是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-119-对点训练2(1)(2019河北衡水二中高三模拟,理-120-应用三

特殊与一般化

例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5,其中f'(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-120-应用三特殊与一般化

答案解析解析关闭答案-121-思维升华

在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.-121-思维升华在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数-122-对点训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-122-对点训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-123-应用四

函数、方程、不等式之间的转化

答案

t<1-123-应用四函数、方程、不等式之间的转化

答案t<1-124--124--125--125--126-思维升华

函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.-126-思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分-127-对点训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z,且m>1,都有f(x+t)≤3ex,求m的最大值.-127-对点训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数-128-解

因为当t∈[-1,+∞),且x∈[1,m]时,x+t≥0,所以f(x+t)≤3ex⇔ex+t≤ex⇔t≤1+ln

x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t∈[-1,+∞),使得不等式t≤1+ln

x-x对任意x∈[1,m]恒成立.令h(x)=1+ln

x-x(x≥1).因为h'(x)=-1≤0,所以函数h(x)在[1,+∞)内为减函数.又x∈[1,m],所以h(x)min=h(m)=1+ln

m-m.所以要使得对任意x∈[1,m],t值恒存在,只需1+ln

m-m≥-1.且函数h(x)在[1,+∞)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.-128-解因为当t∈[-1,+∞),且x∈[1,m]时,-129-1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.-129-1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没-130-应用五

正难则反的转化

例5(2019河北井陉二中高三模拟,文5)若对于任意t∈[1,2],函数

在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-130-应用五正难则反的转化

答案解析解析关闭答-131-思维升华

否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.-131-思维升华否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从-132-对点训练5(2019河北枣强中学六模,理14)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为

.(用数字作答)

答案解析解析关闭答案解析关闭-132-对点训练5(2019河北枣强中学六模,理14)安排松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第6讲数形结合思想松院小学：钱扬泉高考理科数学总复习第6讲数形结合思想133-134-数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.-134-数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧-135--135--136-应用一

利用数形结合求与方程有关的问题

例1(2019山西太原高三二模,文12)已知函数A.3 B.4 C.5 D.6答案解析解析关闭答案解析关闭-136-应用一利用数形结合求与方程有关的问题

答案解-137-思维升华

讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.-137-思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可-138-对点训练1(2019湖南衡阳八中高三,文9)已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-2x|,函数g(x)=[f(x)]3-(b+1)[f(x)]2+bf(x),b∈(0,1),则函数g(x)的零点的个数是(

)A.10 B.11 C.12 D.13答案解析解析关闭答案解析关闭-138-对点训练1(2019湖南衡阳八中高三,文9)已知函-139-应用二

利用数形结合思想求参数的范围或解不等式

例2已知函数

若不等式f(x)≤5-mx恒成立,则实数m的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-139-应用二利用数形结合思想求参数的范围或解不等式

-140-思维升华

在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.-140-思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往-141-答案解析解析关闭答案解析关闭-141-答案解析解析关闭答案解析关闭-142-应用三

数形结合思想在解析几何中的应用

答案解析解析关闭答案解析关闭-142-应用三数形结合思想在解析几何中的应用

答案-143-思维升华