江西省宁都中学2023年高三最后一卷数学试卷(含答案解析)_第1页
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文档简介

2023高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.3.已知集合,集合,则()A. B. C. D.4.已知,则的值等于()A. B. C. D.5.设函数的导函数,且满足,若在中,,则()A. B. C. D.6.如图,在正方体中,已知、、分别是线段上的点,且.则下列直线与平面平行的是()A. B. C. D.7.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.48.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.19.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()A. B. C. D.10.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或11.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有12.设复数满足,在复平面内对应的点为,则不可能为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.14.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.15.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.16.若函数,则__________;__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.18.(12分)已知函数,.(1)若,,求实数的值.(2)若,,求正实数的取值范围.19.(12分)如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(1)若,求证:平面;(2)若,求二面角的正弦值.20.(12分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.22.(10分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【答案解析】

求出函数的解析式,由函数为偶函数得出的表达式,然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为,若函数为偶函数,则,解得,当时,.因此,“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选:A.【答案点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题.2.C【答案解析】

根据表示出线段长度,由勾股定理,解出每条线段的长度,再由勾股定理构造出关系,求出离心率.【题目详解】设,则由椭圆的定义,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故选C项.【答案点睛】本题考查几何法求椭圆离心率,是求椭圆离心率的一个常用方法,通过几何关系,构造出关系,得到离心率.属于中档题.3.C【答案解析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【题目详解】解:∵,,∴,故选:C.【答案点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.4.A【答案解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【题目详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【答案点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题5.D【答案解析】

根据的结构形式,设,求导,则,在上是增函数,再根据在中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得到,再利用的单调性求解.【题目详解】设,所以,因为当时,,即,所以,在上是增函数,在中,因为,所以,,因为,且,所以,即,所以,即故选:D【答案点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6.B【答案解析】

连接,使交于点,连接、,可证四边形为平行四边形,可得,利用线面平行的判定定理即可得解.【题目详解】如图,连接,使交于点,连接、,则为的中点,在正方体中,且,则四边形为平行四边形,且,、分别为、的中点,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面.故选:B.【答案点睛】本题主要考查了线面平行的判定,考查了推理论证能力和空间想象能力,属于中档题.7.A【答案解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假,由基本不等式判断命题q的真假,从而得出p,q的非命题的真假,继而判断复合命题的真假,可得出选项.【题目详解】已知对于命题,由得,所以命题为假命题;关于命题,函数,当时,,当即时,取等号,当时,函数没有最小值,所以命题为假命题.所以和是真命题,所以为假命题,为假命题,为假命题,为真命题,所以真命题的个数为1个.故选:A.【答案点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用,以及复合命题的真假的判断,注意运用基本不等式时,满足所需的条件,属于基础题.8.C【答案解析】

利用复数的四则运算可得,即可得答案.【题目详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【答案点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.9.B【答案解析】

分别取、的中点、,连接、、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.【题目详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,,,且、分别为、的中点,所以,,所以,,所以二面角的平面角为,,则,且,所以,,,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【答案点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.10.B【答案解析】

因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.11.C【答案解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【题目详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【答案点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.12.D【答案解析】

依题意,设,由,得,再一一验证.【题目详解】设,因为,所以,经验证不满足,故选:D.【答案点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义,还考查了推理论证能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【答案解析】

写出茎叶图对应的所有的数,去掉最高分,最低分,再求平均分.【题目详解】解:所有的数为:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,平均分为,故答案为1.【答案点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算,属于基础题.14.750【答案解析】因为0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00515.【答案解析】

先求出随机抽取a,b的所有事件数,再求出满足的事件数,根据古典概型公式求出结果.【题目详解】解:从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的事件数为9个,即为,,,其中满足的有,,,共有8个,故的概率为.【答案点睛】本题考查了古典概型的计算,解题的关键是准确列举出所有事件数.16.01【答案解析】

根据分段函数解析式,代入即可求解.【题目详解】函数,所以,.故答案为:0;1.【答案点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【答案解析】

(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.(3)由(2)当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.【题目详解】解:.是各项不为零的常数列,则,则由,及得,当时,,两式作差,可得.当时,满足上式,则;证明:,当时,,两式相减得:即.即.又,,即.当时,,两式相减得:.数列从第二项起是公差为的等差数列.又当时,由得,当时,由,得.故数列是公差为的等差数列;证明:由,当时,,即,,,即,即,当时,即.故从第二项起数列是等比数列,当时,..另外,由已知条件可得,又,,因而.令,则.故对任意的恒成立.【答案点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.18.(1)1(2)【答案解析】

(1)求得和,由,,得,令,令导数求得函数的单调性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用导数求得的单调性,转化为,令(),利用导数得到的单调性,分类讨论,即可求解.解法二:可利用导数,先证明不等式,,,,令(),利用导数,分类讨论得出函数的单调性与最值,即可求解.【题目详解】(1)由题意,得,,由,…①,得,令,则,因为,所以在单调递增,又,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,当且仅当时等号成立.故方程①有且仅有唯一解,实数的值为1.(2)解法一:令(),则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.令(),则.(i)若时,,在单调递增,所以,满足题意.(ii)若时,,满足题意.(iii)若时,,在单调递减,所以.不满足题意.综上述:.解法二:先证明不等式,,,…(*).令,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.变形得,,所以时,,所以当时,.又由上式得,当时,,,.因此不等式(*)均成立.令(),则,(i)若时,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.(ii)若时,,在单调递增,所以.因此,①当时,此时,,,则需由(*)知,,(当且仅当时等号成立),所以.②当时,此时,,则当时,(由(*)知);当时,(由(*)知).故对于任意,.综上述:.【答案点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.19.(1)详见解析(2)【答案解析】

(1)如图,作,交于,连接.因为,所以是的三等分点,可得.因为,,,所以,因为,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,因为平面,平面,所以平面.又,平面,平面,所以平面.因为,、平面,所以平面平面,所以平面.(2)因为是等边三角形,,所以.又因为,,所以,所以.又,平面,,所以平面.因为平面,所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,,.设为平面的法向量,则,即,令,可得.设为平面的法向量,则,即,令,可得.所以,则,所以二面角的正弦值为.20.(1);(2).【答案解析】

(1)分类讨论去绝对值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.(2)先得到的取值范围,判断,为正,去掉绝对值,转化为在时恒成立,得到,,在恒成立,从而得到的取值范围.【题目详解】(1)当时,,由,得,即,或,即,或,即,综上:或,所以不等式的解集为.(2),,因为,,所以,又,,,得.不等式恒成立,即在时恒成立,不等式恒成立必须,,解得

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