瑞利、莱斯、Jakes推导过程+程序

瑞利、莱斯分布推导过程1、引言移动无线信道的主要特征是多径传播。多径传播是由于无线传播环境的影响，在电波的传播路径上电波产生了反射、绕射和散射，这样当电波传输到移动台的天线时，信号不是单一路径来的，而是许多路径来的多个信号的叠加。因为电波通过各个路径的距离不同，所以各个路径电波到达接收机的时间不同，相位也就不同。不同相位的多个信号在接收端叠加有时是同相叠加而加强，有时是反相叠加而减弱。这样接收信号的幅度将急剧变化，即产生了所谓的多径衰落［1］。多径衰落直接体现了无线信道的复杂性和随机性，是决定移动通信系统性能的基本问题。所以研究移动无线信道多径衰落特性，对建立无线信道传播模型的研究与开发高质量移动通信系统有重要意义。本文针对上述情况，对多径信道的包络统计特性进行了数学推导，并用matlab编程对瑞利分布和莱斯分布的概率密度函数进行了仿真，得到了直观的概率密度曲线。2、瑞利分布2.1数学推导假设：发射机和接收机之间没有直射波路径；有大量的反射波存在，且到达接收机天线的方向角是随机的(0〜2兀均匀分布)；各个反射波的幅度和相位都是统计独立的。通常在离基站较远、反射物较多的地区是符合上述假设的。设发射信号是垂直极化，并且只考虑垂直波时，场强为E=E迓Ccos(①t+0)(实部) (1)z0ncnn=1式中，①为载波频率；E・C为第n个入射波(实部)幅度；0=«t+Q,①为多普c 0n nnnn勒频率漂移，9为随机相位(0〜2兀均匀分布)。nE可以表示为zTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"E=T(t)cos①t-T(t)sin①t (2)zccsc式中T(t)=E迓Ccos(①t+9)c 0 n n nn=1T(t)=E迓Csin@t+9)s 0 n n nn=1T(t)和T(t)分别为E的两个角频率相同的相互正交的分量。当N很大时，T(t)和T(t)cszcs

是大量独立随机变量之和。根据中心极限理论，大量独立随机变量之和接近于正态分布，因而T(t)和T(t)是高斯随机过程，对应固定时间t,T和T为随机变量。T,T具有零平cscscs均和等方差，即E2—E2—0-3)式中，T，T是不相关的，〈T•T〉=0。scsc由于T和T是高斯过程，因此，其概率密度公式为cs1 _x24)p(x)— e2b4)2兀-b式中，b—E2为信号的平均功率;x—T或T。cs由于T和T是统计独立的,sc

则T和T的联合概率密度为sc1 T2+T2P(T,T)—p(T)p(T)— e_加sc sc 2兀b2其中，b2—b—E2。205)为了求出接收信号的幅度和相位分布，将把P(T,T)变为p(r,9)，即将上式的直角坐sc标变换为极坐标的形式。令—arctanp6)T—rcos9，T—rsin9cs由雅各比行列式：7)所以cos9sin9_rsin9

rcos98)r -r2-9)P(r,9)—p(T,T)-|J|—2^e_g9)对e积分，有1fp(r)= J2kre"2b2d02兀b20r 上一= e"2b2 r>0b2(10)对r积分，有1f 亠p(e)= J®re"2b2dr-1(11)2兀b202兀所以信号包络r服从瑞利分布，e在0〜2兀内服从均匀分布。其中，b是包络检波之前所接收的电压信号的均方根值（rms）,b2=1E2为接收信号包络的时间平均功率，r是2o幅度。2.2仿真程序及结果当反射路径的数量很多，并且没有主要的视距传播路径时，衰落信号的幅度服从瑞利分布r=s-x2+y2，式中：x和y是均值为0,方差为b2的高斯随机变量［2。i i i i i本程序中用到的子函数以路径数n作为输入，综合考虑随机幅值、随机相位和多普勒频移之后得到n条路径叠加信号的复数表示，然后写出叠加信号的实部x和虚部y，再根据以上分析，叠加信号的包络r=\：x2+y2,将实部x,虚部y和信号包络r作为输出，就完成了子函数的设计。其示意图为:图1子函数示意图在主程序中，将子函数循环调用N次，就可以得到N个信号包络值r，而且由于每一次调用都是相互独立的，故得到的N个信号包络值r也是相互独立的（至此，理论推导前所作的三条假设就全部满足了）。接下来对得到的N个信号包络值r在0〜max（r）区间内以0.01为间隔进行分段统计，得到落入各个小段内的r的个数，然后利用迭代法将个数进行逐段累加，在概率中相当于求分布函数，此时得到的结果还是直方图的形式，需要用多项式拟合得到连续的分布函数，再微分就可以得到实际的概率密度函数，再与理论曲线比较即可,主程序思路为：

图2主程序示意图源程序如下：用到的子函数：function[r,x,y]=raychan(n)%n为路径数x,y分别为叠加后信号实部和虚部，r为信号包络t=l;v=50;lamda=l/3; %t，v，lamda初始化一个值alpha=rand(l,n); %产生n条路径的幅度向量phi=2*pi*rand(1,n); %产生n条路径的相位向量theta=2*pi*rand(1,n); %产生n条路径的多普勒频移的角度向量s=alpha.*(exp(j.*(phi+2*pi*v*t/lamda*cos(theta))))*ones(1,n)';%s为n条路径的叠加x=real(s);y=imag(s);r=sqrt(xA2+yA2);end主程序：clc;clear;N=10000;r=zeros(1,N);n1=6;x=r;y=r;theta=r;fori=1:N%N代表获取的r的个数%r初始化为零%n1为路径数%x，y，theta初始化为零%该循环产生N个r，N个theta，N个x，N个y[r(i),x(i),y(i)]=raychan(n1);endsigma=sqrt(var(x)); %计算标准差sigmaindex=[0:0.01:max(r)]; %index为横坐标的取值范围p=histc(r,index);%p为r在index规定的区间里的统计个数P=zeros(1,length(p)); %P用来计算累加的区间统计，在概率中相当于F(x),先初始化,然后循环求值fori=l:length(p)forj=1:iP(i)=P(i)+p(j);endendP=P/N; %除以总数N得到概率poly_c=polyfit(index,P,9);%用9阶多项式拟合P(index)，得到多项式系数行列式poly_cpd=polyder(poly_c); %多项式微分，即对P(index)微分，相当于求f(x)概率密度p_practice=polyval(pd,index);%求出index对应的多项式函数值p_practicep_theory=index/sigmaA2.*exp(-index.A2/(2*sigmaA2)); %求出index对应的p_theory值%画出r的实际和理论概率密度函数图plot(index,p_practice,'b-',index,p_theory,'r-');legend(实际曲线','理论曲线');title('瑞利分布概率密度函数理论曲线与实际曲线对比');xlabel('r八sigma');ylabel('p(r)');axis([0400.8]);gridon;运行结果：瑞利分布概率辔度函数理论曲线与实际曲线对比图3瑞利分布理论曲线与实际曲线对比分析：从结果可以看出，实际曲线与理论曲线是一致的。在7◎=1，概率密度p(r)取得最大值，表示r在b值出现的可能性最大。当r约等于1.177Q时，有J1'177ap(r)dr=1，021即衰落信号的包络有2概率大于1.177◎，这里的概率是指任意一个足够长的观察时间内，1有2的信号包络大于1.177◎，因此1.177◎常称为r的包络中值。厶3、莱斯分布3.1数学推导当接收信号中有视距传播的直达波信号时，视距信号成为主接收信号分量，同时还有不同角度随机到达的多径分量叠加在这个主信号分量上，这时的接收信号就呈现为莱斯分布。值得注意的是，莱斯分布适用于一条路径明显强于其他多径的情况，但并不意味着这条路径就是直射径，在非直射系统中，如果源自某一个散射体路径的信号功率特别强，信号的衰落也会服从莱斯分布。为了便于推导，这里我们考虑一种最简单的情况，即视距信号是一个简单的正弦波，大量随机多径分量的叠加近似看成高斯过程，而且由于多普勒频移与载频相比很小，大量非主径多径分量的叠加可以看成窄带高斯过程，那么就可以参考正弦波加窄带高斯过程模型[3]去推导有直达波信号时多径信道的统计特性。设信号：s(t)=Acos@t+0) (12)c窄带高斯过程：n(t)=x(t)cos①t-y(t)sin①t (13)cc它们的混合波形为：R(t)=s(t)+n(t)=[Acos0+x(t)]cos①t-[Asin0+y(t)]sin①tccTOC\o"1-5"\h\z=Z(t)cos①t-Z(t)sin①t (14)c cs c其中同相分量：Z(t)=Acos0+x(t) (15)c正交分量：Z(t)二Asin0+y(t) (16)s对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或者也可以说是统计独立的，而对于正弦波加窄带高斯过程来说,它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互独立的，而且也是高斯过程，因此有p(Z,Z)二p(Z)p(Z) (17)cs cs对于同相分量：E[Z(t)]=E[Acos0+x(t)]c=E[Acos0]+E[x(t)]

18)=Acos18)D[Z(t)]=D[Acos0+x(t)]c二D[x(t)]19)由此可得同相分量Z（t）的概率密度函数:

cp(Z,0)二丄exp[-(Z-仏0)2]19)由此可得同相分量Z（t）的概率密度函数:

cp(Z,0)二丄exp[-(Z-仏0)2]c y/2nc20)同理正交分量Z（t）的概率密度函数:sp(z,0)二1exp[-(fsm°)2]2nc2c221)所以在相位0给定的情况下，Z与Z的联合概率密度函数为:cs小1 [(Z—Acos0)2+(Z—Asin0)2]p(Z,Z,0)= exp[—c s ]cs 2兀c2 2c2此为二维高斯分布。既然正弦波加窄带高斯过程仍属于窄带范畴，所以仍可以用窄带过程表示方式，即用随机变量的包络和相位的变化来表示。正弦波加窄带高斯过程的合成波形用包络与相位表示如下:R(t)=r(t)cos[wt+①(t)]c23)比较公式（14）和（23），可知其中:r(t)=Z2(t)+Z2(t),r(t)>0 (随机包络)*c sZ(t)①(t)=arctans,0<①(t)<2兀

Z(t)c随机相位）24)为了描述方便，省略时间t，于是:Z=rcos①cZ=rsin①s由二维随机变量变换，即可得p（r,①/0）=|Jp（Z,Z/0）25)26)azazs3razcos①sin①—rsin①rcos①27)28)二r27)28)所以有r1exp[— (r2+A2—2Arcos(9—①)]2兀o2 2c2利用概率论中的相关结论：p(r/9)=J2兀p(r,①/9)d①0=J2Kr—exp[——(r2+A2—2Arcos(9—①)]d①TOC\o"1-5"\h\zo2兀o2 2o2\o"CurrentDocument"=r—exp[——(r2+A2)]J2kexp[竺cos(9—①)]d①2兀o2 2o2 0 o2r 1 Ar29)30)31)=——exp[— (r2+A2)]-1(——),r>29)30)31)\o"CurrentDocument"o2 2o2 oo2由此看出该分布与9无关，因此：r 1 Arp(r)=——exp[— (r2+A2)]-1(——),r>0\o"CurrentDocument"o2 2o2 0o2其中引入了0阶修正贝塞尔函数：I(x)=-1J2兀exp(xcos9)d90 2兀o公式(30)的分布叫做广义瑞利分布或莱斯分布。从公式(30)可知：如果A=0，意味着没有直射径分量，则莱斯分布就成了瑞利分布若A>3o时，莱斯分布近似于高斯分布。3.2仿真程序及结果莱斯衰落信道的仿真与前述瑞利衰落的仿真思路是一样的，这里不再赘述。需要指出的是，莱斯衰落信道信号包络的表示与瑞利衰落不同，其衰落幅度可表示为：r=iA22r=iA22o2，其中x和y是均值为0,方差为o2的高斯随机变量，K为莱斯ii因子K=直射幅度分量与其他幅度分量的比。K越大，衰落越轻；K越大，衰落越重；K=8，无多径，则为高斯白噪声信道。源程序如下：用到的子函数：functionr=rician(Kdb,N)K=Kdb;const1=sqrt(2*K);const2=1/(2*(K+1));x=randn(1,N);y=randn(1,N);r=sqrt(const2*((x+constl).人2+yJ2));end主程序：closeallclearallclcN=l000000;forKdb=[0,l,2,4,l0,l6]r=rician(Kdb,N);rms=sqrt(sum(r.A2)/length(r));step=0.05;ran=0.00l:step:3;h=hist(r,ran);fr_appr=h/sum(h);ran=ran/rms;figure(l)plot(ran,fr_appr)holdonendxlabel('r/\sigma')ylabel('p(r)')title('莱斯分布概率密度函数')legend('K=0','K=l','K=2','K=4','K=l0','K=l6');gridon运行结果：

图4莱斯分布在K取不同值时的曲线分析：从图中可以看出，当K=0时，意味着没有主接收信号分量，接收信号的包络服从瑞利分布。随着K值的增大，主接收信号分量的强度相应增强，接收信号的包络从瑞利分布变为莱斯分布，当K值进一步增大，莱斯分布向高斯分布趋近。JAKES模型推导过程一．原理简介♦瑞利衰落模型适用于描述建筑物密集的城镇中心地带的无线信道。密集的建筑和其他物体使得无线设备的发射机和接收机之间没有直射路径，而且使得无线信号被衰减、反射、折射、衍射。通过电离层和对流层反射的无线电信道也可以用瑞利衰落来描述，因为大气中存在的各种粒子能够将无线信号大量散射。瑞利衰落属于小尺度的衰落效应，它总是叠加于如阴影、衰减等大尺度衰落效应上。信道衰落的快慢与发射端和接收端的相对运动速度的大小有关。相对运对导致接收信号的多v普勒频移。多普勒频移表示为A=cosad入♦衰落信道的建模与仿真Clarke建立了一个统计模型，其移动台接受信号的场强的统计特性是基于散射的。模型假设有一台具有垂直极化的固定发射机。入射到移动天线的电磁场由N个平面波组成。这些平面波具有任意载频相位，入射方位角和相等的平均幅度。Jakes仿真器模拟的是在均匀介质散射环境中频率非选择性衰落信道的复低通包络。用有限个(大于等于10个)低频振荡器来近似构建一种可分析的模型。二．公式推导依据Clarke模型，接收端波形可表示为经历了N条路径的一系列平面波的叠加。R(t)=E£Ccos(®t+3t+0), 3=3cosaD0ncnnnmnn=1其中，Eo是余弦波的幅度，Cn表示第n条路径的衰减，a表示第n条路径的到达角，0表nn示经过路径n后附加的相移，3是载波频率，3是最大多普勒频域，不同路径的附加相移cm是相互独立的，且0在(0,2兀］均匀分布的随机变量。n则E二迈则E二迈。代入上式得为了方便将RD(t)标准化，使其功率归一化，令〒=1,R(t)=\：2R(t)=\：2夕Ccos31+3tcosa+0)=X(t)cosrot+X(t)sin31nn=1cmcscos(3tcosamn+P+Psin(3tcosamnn假设平面波有N个入射角，且在(0,2兀］均匀分布，则模型中的参数为R(t)二N工n=lcosw(t+wtcosaR(t)二N工n=lcosw(t+wtcosacmn+①)=ReT(t)ejwj]n=Re[T(t)ejwct]T(t)=N工n=1ej(wtcosa+①)m nnej(wtcosamn+①n)+ej(Wm'cOs0°+①N)+ej(Wmt如8°。一①一n)}占[幺心咗+①1+ COS予2+①2+...+ejwmtcos丰(NT)+①r+ejWntcO于(2+1)+①N+i+...+ej(W«t皿亦(N-1)-①-(N-1))+ej(wmt+①N)+e-j(wmt+①-N)]力 2兀da= N2ka= *n(n=1,2...,N)nNTOC\o"1-5"\h\zc= —\o"CurrentDocument"n N2兀\o"CurrentDocument"w=wcos nnmN2k\o"CurrentDocument"coswt+wtc