2021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题

专题突破(八)几何综合题专题突破(八)几何综合题1类型一一线三等角模型类型一2例1[2019·兰州]通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.[模型呈现]如图Z8-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE,我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下:图Z8-1图Z8-2例1[2019·兰州]通过对下面数学模型的研究学习,解决3[模型应用]如图Z8-3,Rt△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交☉O于点F.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO·GB.图Z8-3证明:(1)∵☉O为Rt△ABC的外接圆,∴O为斜边AB的中点,AB为直径.∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°.∵∠DAE=∠ABC,∴∠DAE+∠BAC=90°,∴∠BAD=180°-(∠DAE+∠BAC)=90°,∴AD⊥AB,∴AD是☉O的切线.[模型应用]图Z8-3证明:(1)∵☉O为Rt△ABC的外4[模型应用]如图Z8-3,Rt△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交☉O于点F.(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO·GB.图Z8-3解：(2)延长DO交BC于点H,连接OC,∵DE⊥AC于点E,∴∠DEA=90°,∵AB绕点A旋转得到AD,∴AB=AD,[模型应用]图Z8-3解：(2)延长DO交BC于点H,连接52021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题6【方法点析】“一线三等角”指的是一条直线上的三个顶点含有三个相等的角.如图,∠B=∠ACE=∠D.由∠B=∠ACE=∠D可得∠BAC=∠DCE,因此△ABC∽△CDE.若AC=CE,则△ABC≌△CDE.

当三个等角为直角,且两旁的直角三角形斜边相等时,此时的“一线三等角”常说成“一线三直角”,图形可看作是“弦图”的一部分,常补全弦图,用弦图的常用结论解决问题,如四个直角三角形全等,大正方形的面积等于每个直角三角形两直角边的平方和,小正方形的面积等于直角三角形两直角边差的平方等.【方法点析】“一线三等角”指的是一条直线上的三个顶点含有三个7几何综合题往往把全等和相似的转化作为出题的一种形式,故若题目中有一线三等角,就可以直接证明三角形相似或全等,实现边与角的转化,若题目中没有给出一线三等角,也可以按需构造.几何综合题往往把全等和相似的转化作为出题的一种形式,故若题目8图Z8-4图Z8-49[答案]D[答案]D101.如图Z8-5,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按图中所标注的数据,计算图中实线所围成的面积是 (

)A.50 B.62 C.65 D.68图Z8-5■

题型精练[答案]A1.如图Z8-5,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=11图Z8-6[答案]B图Z8-6[答案]B123.如图Z8-7,点A的坐标为(6,0),点B为y轴负半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第三、第四象限内作等腰直角三角形OBF,等腰直角三角形ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4[答案]C

[解析]过点E作EN⊥y轴于点N,则△ABO≌△BEN,△BPF≌△NPE,所以BN=AO=6,BP=NP,故PB=3.图Z8-73.如图Z8-7,点A的坐标为(6,0),点B为y轴负半轴上134.如图Z8-8,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF的长为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4图Z8-8[答案]B

[解析]由∠B=∠ADE=∠C=60°,易得△ABD∽△DCF,所以AB∶BD=CD∶CF,即9∶3=(9-3)∶CF,所以CF=2,故选B.4.如图Z8-8,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在14图Z8-9图Z8-915[答案]A[答案]A166.[2018·合肥包河区一模]如图Z8-10,在△ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一点(P不与点B,C重合),∠DPE=∠B,且DP边始终经过点A,另一边PE交AC于点F,当△APF为等腰三角形时,则PB的长为

.

图Z8-10[答案]2或3.56.[2018·合肥包河区一模]如图Z8-10,在△ABC中17图Z8-11图Z8-1118图Z8-11图Z8-1119图Z8-12解:(1)证明:∵AB=AC,P是边BC的中点,∴∠BAP=∠CAP,∠APB=90°,又∵∠APD=∠B,∴∠ADP=∠APB=90°,∴PD⊥AC.图Z8-12解:(1)证明:∵AB=AC,P是边BC的中点,20图Z8-12图Z8-1221图Z8-12图Z8-1222类型二手拉手模型类型二23图Z8-13图Z8-1324图Z8-13图Z8-1325图Z8-13图Z8-1326【方法点析】图①~④分别是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形和正方形旋转模型图,结论:△BAD≌△EAC.

【方法点析】图①~④分别是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三27图Z8-14解:(1)证明:∵点G,F,H分别是线段DE,BE,BC的中点,∴FG∥AB,FH∥AC,∴∠GFE=∠ABE,∠FHB=∠C,∵∠EFH=∠FBH+∠FHB,∴∠A+∠GFH=∠A+∠ABE+∠EBC+∠C=∠A+∠ABC+∠C=180°.图Z8-14解:(1)证明:∵点G,F,H分别是线段DE,B28图Z8-14图Z8-1429图Z8-14图Z8-1430■题型精练1.如图Z8-15,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是 (

)A.55° B.60° C.65° D.70°图Z8-15C■题型精练1.如图Z8-15,将△ABC绕点C顺时针旋转9312.[2018·凤阳一模]如图Z8-16,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a,b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确结论有 (

)A.0个 B.1个

C.2个

D.3个图Z8-16[答案]D

[解析]如图,连接BD,GE,由△BCE≌△DCG可得BE=DG,∠1=∠2.又∠3=∠4,所以BE⊥DG.又DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,则DE2+BG2=DO2+EO2+BO2+OG2=2a2+2b2.2.[2018·凤阳一模]如图Z8-16,正方形ABCD和正323.[原创]如图Z8-17,折叠平行四边形ABCD,使得B,D分别落在BC,CD边上的点B‘,D’处,AE,AF为折痕,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,若AE=EC,则∠CGE的大小为

.

图Z8-173.[原创]如图Z8-17,折叠平行四边形ABCD,使得B,33[答案]45°

[解析]如图,延长AE到H,使得EH=EA,连接CH,HG,EF,AC.∵EA=EC,∠AEC=90°,∴∠ACE=45°,∵∠AEC+∠AFC=180°,∴A,E,C,F四点共圆(利用取斜边AC的中点T,连接TE,TF,证明TE=TA=TC=TF),∴∠AFE=∠ACE=45°.∵四边形AEGF是平行四边形,∴AF∥EG,AE=FG,AE∥FG,∴∠AFE=∠FEG=45°,EH=AE=FG,又EH∥FG,∴四边形EHGF是平行四边形,∴EF∥HG,∴∠FEG=∠EGH=45°.∵EC=AE=EH,∠CEH=90°,∴∠ECH=∠EHC=45°,∴∠ECH=∠EGH,∴E,H,G,C四点共圆,∠EGC=∠EHC=45°.[答案]45°344.如图Z8-18,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=8,AC=6,F是DE的中点,若点E是直线BC上的动点,连接BF,则BF的最小值是

.

图Z8-184.如图Z8-18,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=35[答案]4[答案]436图Z8-19图Z8-1937[答案]10[答案]1038图Z8-20图Z8-2039解:(1)①证明:∵AE在线段AB上,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAE=90°,又∵AD=AE,AB=AC,∴△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠BEF=∠CEA,∴△BFE∽△CAE.图Z8-20解:(1)①证明:∵AE在线段AB上,△ABC和△ADE是图40图Z8-20图Z8-2041图Z8-20图Z8-2042类型三对角互补模型类型三43例3在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处,两直角边分别与直线AC,直线BC相交于点E,F,我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置(如图Z8-21①),将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°).(1)如图Z8-21②,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,试判断△DEF的形状,并说明理由.(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得△EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长;若不存在,请说明理由.图Z8-21例3在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,44(1)如图Z8-21②,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,试判断△DEF的形状,并说明理由.图Z8-21(1)如图Z8-21②,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,45(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得△EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长;若不存在,请说明理由.图Z8-21(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G462021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题47【方法点析】在图①-图④中,条件:∠AOB+∠DCE=180°,OC平分∠AOB,常用处理方法如下:方法一:过点C向∠AOB的两边作垂线段,得△DCM≌△ECN;方法二:过点C作∠FCO,使∠FCO=180°-∠AOB,得△ODC∽△FEC.【方法点析】48【配练】如图Z8-22,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板与两直角边分别交于D,E两点.(1)线段PD与PE的数量关系是

.

(2)在旋转过程中,判断△PDE的形状,并给予证明.(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.图Z8-22PD=PE【配练】如图Z8-22,在△ABC中,∠C=90°,AC=B49(2)在旋转过程中,判断△PDE的形状,并给予证明.图Z8-22(2)在旋转过程中,判断△PDE的形状,并给予证明.图Z8-50(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.图Z8-22(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变511.如图Z8-23,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24,则AC的长为

.

图Z8-23■题型精练1.如图Z8-23,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=52图Z8-24图Z8-2453[答案]B[答案]B543.如图Z8-25①,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.(1)求证:∠EPF+∠BAD=180°;(2)如图②,若∠BAD=120°,求证:AE+AF=AP.图Z8-25证明:(1)如图①,作PM⊥AD于M,PN⊥AB于N.∵四边形ABCD是菱形,∴∠PAM=∠PAN,∴PM=PN,∵PE=PF,∴Rt△PMF≌Rt△PNE,∴∠MPF=∠NPE,∴∠EPF=∠MPN,∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°,∴∠EPF+∠BAD=180°.3.如图Z8-25①,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F553.如图Z8-25①,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.(2)如图②,若∠BAD=120°,求证:AE+AF=AP.图Z8-25证明(2)如图②,作PM⊥AD于M,PN⊥AB于N.由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,∴FM=NE,∵PA=PA,PM=PN,∴Rt△PAM≌Rt△PAN,∴AM=AN,∴AF+AE=(AM+FM)+(AN-EN)=2AM,∵∠BAD=120°,∴∠PAM=60°,易知PA=2AM,∴AE+AF=AP.3.如图Z8-25①,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F56图Z8-26图Z8-2657图Z8-26图Z8-2658图Z8-26图Z8-2659图Z8-27解:(1)证明:∵∠BAD=∠BCD=90°,∴A,B,C,D四点共圆.∵∠BAC=∠DAC,∴BC=CD.图Z8-27解:(1)证明:∵∠BAD=∠BCD=90°,∴60图Z8-27图Z8-2761图Z8-27图Z8-27626.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,点O是AB的中点,且OD∥BC,连接CD交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,连接OC.(1)求证:AD=CD;(2)若点E是OB的中点,求证:四边形BCOD是菱形;(3)若S△DOF=3,S四边形BCOD=10,求sin∠BAC的值.图Z8-28解:(1)证明:∵O点是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边中点,∴AO=BO=CO=DO.∵OD∥BC,∴∠BOD=∠OBC=∠BCO,∠COD=180°-∠OCB,又∵∠AOD=180°-∠BOD,∴∠COD=∠AOD,又OD=OD,∴△AOD≌△COD(SAS),∴AD=CD.6.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,636.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,点O是AB的中点,且OD∥BC,连接CD交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,连接OC.(2)若点E是OB的中点,求证:四边形BCOD是菱形;图Z8-28解:(2)证明:∵E是OB的中点,∴OE=BE,由(1)知∠DOE=∠CBE,又∠DEO=∠CEB,∴△DOE≌△CBE,∴OD=BC,∴四边形BCOD是平行四边形,又OC=OD,∴四边形BCOD为菱形.6.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,646.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,点O是AB的中点,且OD∥BC,连接CD交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,连接OC.(3)若S△DOF=3,S四边形BCOD=10,求sin∠BAC的值.图Z8-286.如图Z8-28,AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,65类型四角含半角模型类型四66例4已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,如图Z8-29①,则线段BM,DN和MN之间的数量关系是

.

(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图Z8-29②,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.(3)当∠MAN绕点A旋转到如图Z8-29③的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.图Z8-29例4已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺67解:(1)BM+DN=MN

[解析]如图①,连接AC,交MN于点G.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,且CA平分∠BCD,又∵BM=DN,∴CM=CN,∴AC⊥MN,且MG=GN,∴∠MAG=∠NAG.∵∠BAC=∠MAN=45°,即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN,∴∠BAM=∠GAN=∠GAM,∴△ABM≌△AGM(AAS),∴BM=MG,同理可得GN=DN,∴BM+DN=MG+GN=MN,故答案为:BM+DN=MN.解:(1)BM+DN=MN68(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图Z8-29②,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.图Z8-29(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图Z8-29②,692021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题70例4已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(3)当∠MAN绕点A旋转到如图Z8-29③的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.图Z8-29例4已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺71解:(3)DN-BM=MN.解:(3)DN-BM=MN.72【方法点析】角含半角模型条件:如图,①AB=AD,②∠B+∠D=180°,③2∠EAF=∠BAD.结论:EF=BE+DF.旋转是解决角含半角模型的基本方法,借助勾股定理,利用方程思想是求相应线段的关键.【方法点析】73【配练】如图Z8-30,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°,则△ECF的周长为 (

)A.2 B.3 C.4 D.5图Z8-30C【配练】如图Z8-30,在边长为2的正方形ABCD中,E,F741.如图Z8-31,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为 (

)A.2 B.3 C.4 D.5图Z8-31■题型精练[答案]A[解析]如图,将△DAF绕点A顺时针旋转90°得到△BAG,易证G,B,C三点共线,由△FAE≌△GAE得EF=EG,△ECF的周长=EF+CF+CE=BE+BG+CF+CE=2BC=4,故正方形的边长为2.1.如图Z8-31,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,752.如图Z8-32,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是 (

)A.1 B.1.5 C.2 D.2.5图Z8-32[答案]C

[解析]∵△ABG沿AG对折至△AFG,∴AB=AF,GB=GF=3.连接AE.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=AF.∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL).∴DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.在Rt△CGE中,由勾股定理得CG2+CE2=GE2,∴32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2.故选C.2.如图Z8-32,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中763.如图Z8-33,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将△ABE沿AE对折至△AFE,延长EF交DC于G,连接AG,FC.现在有如下4个结论:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14,其中正确结论的个数是 (

)A.1 B.2 C.3 D.4图Z8-333.如图Z8-33,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,77[答案]B[答案]B782021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题794.如图Z8-34,等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点M,N在边BC上,M在N的左边,且∠MAN=60°,若BM=2,NC=3,则MN的长为

.

图Z8-344.如图Z8-34,等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,802021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题815.如图Z8-35,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,AM,AN分别交BD于点P,Q,连接CQ,MQ,且CQ=MQ.(1)求∠AMQ的度数;(2)当BM=2,CN=3时,求△AMN的面积.图Z8-35解:(1)由正方形的轴对称性可知CQ=AQ,∠BAQ=∠BCQ.∵CQ=MQ,∴AQ=MQ,∠BCQ=∠CMQ=∠BAQ.∵∠ABC+∠AQM+∠BAQ+∠BMQ=360°,∠BAQ+∠BMQ=∠CMQ+∠BMQ=180°,∠ABC=90°,∴∠AQM=90°,∴∠AMQ=∠MAQ=45°.5.如图Z8-35,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC825.如图Z8-35,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,AM,AN分别交BD于点P,Q,连接CQ,MQ,且CQ=MQ.(2)当BM=2,CN=3时,求△AMN的面积.图Z8-35解：(2)如图,延长CD至点E,使DE=BM,连接AE,则△ABM≌△ADE,∴AE=AM.∵∠MAN=45°,∴∠NAE=90°-45°=45°,∠EAN=∠NAM,∴△AEN≌△AMN,∴MN=EN=DN+DE=DN+BM.设正方形ABCD的边长为a,∵BM=2,CN=3,∴CM=a-2,DN=a-3.∴MN=DN+BM=a-3+2=a-1,∵MN2=CN2+CM2,∴(a-1)2=32+(a-2)2,解得a=6,即AD=6.5.如图Z8-35,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC836.如图Z8-36,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D,C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线,仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线),并说明理由.图Z8-36解:AG平分∠BAF,GA平分∠BGF,GH平分∠EGM,CH平分∠DCM.理由:由折叠可知,AF=AD,∠AFE=∠D=90°,∴AF=AB,∠B=∠AFG=90°,∴Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠BAG=∠FAG,∠BGA=∠FGA,6.如图Z8-36,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与84即AG平分∠BAF,GA平分∠BGF.如图,过点H作HN⊥BM,垂足为点N,∵∠GAE=45°,AG⊥HG,∴△AGH为等腰直角三角形,AG=HG,∵∠BAG+∠AGB=90°,∠AGB+∠HGN=90°,∴∠BAG=∠HGN,∴△ABG≌△GNH,∴HN=BG,GN=AB,∴BG=CN,CN=HN,∴△HCN为等腰直角三角形,即CH平分∠DCM.∵∠BGA+∠HGN=90°,∠AGH=90°,∠BGA=∠FGA,∴∠EGH=∠MGH,即GH平分∠EGM.即AG平分∠BAF,GA平分∠BGF.857.[方法引领]如图Z8-37①,点E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,连接AE,AF和EF,∠EAF=45°.若BE=2,DF=3,求EF的长.聪聪同学的思路是:如图②,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,证明△AEF≌△AE'F,从而得到EF=E'F.请你帮助聪聪同学完成解题过程.[灵活运用]如图③,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.若AD=2,BE=3,求DE的长.[拓展提升]如图④,△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D.若CD=2,BD=3,请直接写出△ABC的面积.图Z8-377.[方法引领]如图Z8-37①,点E,F分别是正方形ABC867.[方法引领]如图Z8-37①,点E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,连接AE,AF和EF,∠EAF=45°.若BE=2,DF=3,求EF的长.聪聪同学的思路是:如图②,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,证明△AEF≌△AE'F,从而得到EF=E'F.请你帮助聪聪同学完成解题过程.图Z8-37解:[方法引领]如图①,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得△ADE',则AE=AE',∠BAE=∠DAE',∠ADE'=90°=∠ADF,∴E',D,F在同一直线上.7.[方法引领]如图Z8-37①,点E,F分别是正方形ABC87∵正方形ABCD中,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°=∠DAE'+∠DAF=∠E'AF,∴∠EAF=∠E'AF.又∵AF=AF,∴△AEF≌△AE'F(SAS),∴EF=E'F.∵E'F=E'D+DF=BE+DF=5,∴EF=5.∵正方形ABCD中,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF887.[灵活运用]如图③,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.若AD=2,BE=3,求DE的长.图Z8-377.[灵活运用]如图③,Rt△ABC中,∠ACB=90°,A897.[拓展提升]如图④,△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D.若CD=2,BD=3,请直接写出△ABC的面积.图Z8-377.[拓展提升]如图④,△ABC中,∠BAC=45°,AD902021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题91类型五中点类模型类型五92例5

[问题情境]课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图Z8-38①,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是

.

A.SSS B.SAS C.AAS D.HL图Z8-38B例5[问题情境]课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如93(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是

.

解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.[初步运用]如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.图Z8-382<AD<10(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是94[灵活运用]如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,试猜想线段BE,CF,EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.图Z8-38[灵活运用]如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中95[初步运用]如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.图Z8-38[初步运用]如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM,∵AE=EF,EF=3,EC=2,∴AC=5,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD,∴△ADC≌△MDB,∴BM=AC,∠CAD=∠M,∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE,∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M,∴BF=BM=AC,即BF=5.[初步运用]如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交96[灵活运用]如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,试猜想线段BE,CF,EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.图Z8-38[灵活运用]线段BE,CF,EF之间的等量关系为:BE2+CF2=EF2.证明:如图,延长ED到点G,使DG=ED,连接GF,GC,∵ED⊥DF,∴EF=GF,∵D是BC的中点,∴BD=CD,∴△DBE≌△DCG(SAS),∴BE=CG,∠B=∠GCD,∵∠A=90°,∴∠B+∠ACB=90°,∴∠GCD+∠ACB=90°,即∠GCF=90°,∴在Rt△CFG中,CF2+GC2=GF2,∴BE2+CF2=EF2.[灵活运用]如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中97【方法点析】在题目中遇到中点问题常见的解题策略有:中点+直角三角形→斜边上的中线性质;中点+等腰三角形→“三线合一”定理;中点+中点→中位线定理;倍长中线法.倍长中线法:如图,已知M为BC的中点,延长AM至点D,使MD=AM,连接CD,则有△ABM≌△DCM,进而可证AB∥CD;反过来,若M为BC的中点,作CD∥AB交AM的延长线于点D,则有△ABM≌△DCM.【方法点析】98【配练】如图Z8-39,在△ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6,则BC的长为

.

图Z8-39【配练】如图Z8-39,在△ABC中,AB=5,AC=13991.如图Z8-40,M,P分别为△ABC的边AB,AC上的点,且AM=BM,AP=2CP,BP与CM相交于点N,已知PN=1,则PB的长为(

)A.5 B.4 C.3 D.2■题型精练图Z8-40[答案]B1.如图Z8-40,M,P分别为△ABC的边AB,AC上的点1002.如图Z8-41,△ABC中,M是BC的中点,AD平分∠BAC,BD⊥AD于D,延长BD交AC于N.若AB=10,AC=16,则MD的长为(

)A.5 B.4 C.3 D.2图Z8-41[答案]C2.如图Z8-41,△ABC中,M是BC的中点,AD平分∠B1013.如图Z8-42,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,若AB=10,则MD的长为

.

图Z8-42[答案]53.如图Z8-42,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC1024.如图Z8-43,△ABC中,AB=4,AC=7,M为BC的中点,AD平分∠BAC,过M作MF∥AD,交AC于F,则FC的长等于

.

图Z8-434.如图Z8-43,△ABC中,AB=4,AC=7,M为BC103[答案]5.5[答案]5.51045.如图Z8-44,在正方形ABCD中,点E,F分别为边CD,AD的中点,连接AE,BF交于点O,连接OC,求证:OC=BC.图Z8-445.如图Z8-44,在正方形ABCD中,点E,F分别为边CD1056.如图Z8-45,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,过M作ME∥AD交BA的延长线于点E,交AC于点F.求证:BE=CF.图Z8-45证明:方法一:如图①,过点B作BN∥AC交EM的延长线于点N.∵BN∥AC,BM=CM,∴CF∶BN=CM∶BM=1∶1,∠CFM=∠N,∴CF=BN.又∵AD∥ME,AD平分∠BAC,∴∠CFM=∠DAC=∠BAD=∠E,∴∠E=∠N,∴△BEN是等腰三角形,即BE=BN=CF.6.如图Z8-45,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M1066.如图Z8-45,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,过M作ME∥AD交BA的延长线于点E,交AC于点F.求证:BE=CF.图Z8-45证明:方法二:如图②,过点C作CG∥EM,交BA的延长线于点G,∴AE∶EG=AF∶FC,而AD平分∠BAC,AD∥EM,∴∠BAD=∠CAD,∠BAD=∠AEF,∠EFA=∠CAD,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴EG=CF,而EM∥CG,BM=CM,∴BE=EG,∴BE=CF.6.如图Z8-45,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M107图Z8-46图Z8-46108图Z8-46图Z8-46109图Z8-46证明:②由①知△DOF≌△AOB,∴OA=OD,OB=OF,∴四边形ABDF为平行四边形.图Z8-46证明:②由①知△DOF≌△AOB,110图Z8-46图Z8-46111综合提升训练综合提升训练112图Z8-47图Z8-47113图Z8-47图Z8-47114图Z8-47图Z8-47115图Z8-47图Z8-471162.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.(1)如图Z8-48①,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;(2)如图①,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(3)如图②,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.图Z8-48解:(1)证明:如图,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,∴AB=BC=BD,∴点B为线段AD的中点,又∵点M为线段AF的中点,∴BM为△ADF的中位线,∴MB∥CF.2.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,∠ABC=117(2)如图①,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(2)如图①,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;118(3)如图②,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.(3)如图②,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.119图Z8-49解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,∴∠EAF=∠DAB=90°,又AE=AD,AF=AB,∴△AEF≌△ADB,∴∠AEF=∠ADB.∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BGE=90°,故BD⊥EC.图Z8-49解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,120图Z8-49图Z8-49121图Z8-49图Z8-491222021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题123图Z8-50证明:(1)在△ABP中,∠APB=135°,∴∠ABP+∠BAP=45°,又∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,即∠ABP+∠CBP=45°,∴∠BAP=∠CBP,又∵∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.图Z8-50证明:(1)在△ABP中,∠APB=135°,∴124图Z8-50图Z8-50125图Z8-50图Z8-501262021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题1275.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如图②,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.图Z8-515.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中1285.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;图Z8-515.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中1295.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(3)如图②,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.图Z8-515.[2018·安徽23题]如图Z8-51①,Rt△ABC中1302021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题1316.[2017·安徽23题]已知正方形ABCD中,点M为边AB的中点,如图Z8-52.(1)如图①,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:①BE=CF;②BE2=BC·CE.(2)如图②,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.图Z8-526.[2017·安徽23题]已知正方形ABCD中,点M为边A1326.[2017·安徽23题]已知正方形ABCD中,点M为边AB的中点,如图Z8-52.(1)如图①,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:①BE=CF;图Z8-52解:(1)证明:①在△ABG中,∵∠AGB=90°,∴∠GAB+∠ABG=90°.∵正方形ABCD,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABC=∠ABG+∠GBC=90°,∴∠GAB=∠GBC,∴Rt△EAB≌Rt△FBC,∴BE=CF.6.[2017·安徽23题]已知正方形ABCD中,点M为边A133(1)如图①,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:②BE2=BC·CE.图Z8-52(1)如图①,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延134(2)如图②,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.图Z8-52(2)如图②,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连1352021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题136专题突破(八)几何综合题专题突破(八)几何综合题137类型一一线三等角模型类型一138例1[2019·兰州]通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.[模型呈现]如图Z8-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE,我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下:图Z8-1图Z8-2例1[2019·兰州]通过对下面数学模型的研究学习,解决139[模型应用]如图Z8-3,Rt△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交☉O于点F.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO·GB.图Z8-3证明:(1)∵☉O为Rt△ABC的外接圆,∴O为斜边AB的中点,AB为直径.∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°.∵∠DAE=∠ABC,∴∠DAE+∠BAC=90°,∴∠BAD=180°-(∠DAE+∠BAC)=90°,∴AD⊥AB,∴AD是☉O的切线.[模型应用]图Z8-3证明:(1)∵☉O为Rt△ABC的外140[模型应用]如图Z8-3,Rt△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交☉O于点F.(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO·GB.图Z8-3解：(2)延长DO交BC于点H,连接OC,∵DE⊥AC于点E,∴∠DEA=90°,∵AB绕点A旋转得到AD,∴AB=AD,[模型应用]图Z8-3解：(2)延长DO交BC于点H,连接1412021年安徽中考数学总复习专题突破课件：-几何综合题142【方法点析】“一线三等角”指的是一条直线上的三个顶点含有三个相等的角.如图,∠B=∠ACE=∠D.由∠B=∠ACE=∠D可得∠BAC=∠DCE,因此△ABC∽△CDE.若AC=CE,则△ABC≌△CDE.

当三个等角为直角,且两旁的直角三角形斜边相等时,此时的“一线三等角”常说成“一线三直角”,图形可看作是“弦图”的一部分,常补全弦图,用弦图的常用结论解决问题,如四个直角三角形全等,大正方形的面积等于每个直角三角形两直角边的平方和,小正方形的面积等于直角三角形两直角边差的平方等.【方法点析】“一线三等角”指的是一条直线上的三个顶点含有三个143几何综合题往往把全等和相似的转化作为出题的一种形式,故若题目中有一线三等角,就可以直接证明三角形相似或全等,实现边与角的转化,若题目中没有给出一线三等角,也可以按需构造.几何综合题往往把全等和相似的转化作为出题的一种形式,故若题目144图Z8-4图Z8-4145[答案]D[答案]D1461.如图Z8-5,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按图中所标注的数据,计算图中实线所围成的面积是 (

)A.50 B.62 C.65 D.68图Z8-5■

题型精练[答案]A1.如图Z8-5,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=147图Z8-6[答案]B图Z8-6[答案]B1483.如图Z8-7,点A的坐标为(6,0),点B为y轴负半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第三、第四象限内作等腰直角三角形OBF,等腰直角三角形ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4[答案]C

[解析]过点E作EN⊥y轴于点N,则△ABO≌△BEN,△BPF≌△NPE,所以BN=AO=6,BP=NP,故PB=3.图Z8-73.如图Z8-7,点A的坐标为(6,0),点B为y轴负半轴上1494.如图Z8-8,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF的长为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4图Z8-8[答案]B

[解析]由∠B=∠ADE=∠C=60°,易得△ABD∽△DCF,所以AB∶BD=CD∶CF,即9∶3=(9-3)∶CF,所以CF=2,故选B.4.如图Z8-8,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在150图Z8-9图Z8-9151[答案]A[答案]A1526.[2018·合肥包河区一模]如图Z8-10,在△ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一点(P不与点B,C重合),∠DPE=∠B,且DP边始终经过点A,另一边PE交AC于点F,当△APF为等腰三角形时,则PB的长为

.

图Z8-10[答案]2或3.56.[2018·合肥包河区一模]如图Z8-10,在△ABC中153图Z8-11图Z8-11154图Z8-11图Z8-11155图Z8-12解:(1)证明:∵AB=AC,P是边BC的中点,∴∠BAP=∠CAP,∠APB=90°,又∵∠APD=∠B,∴∠ADP=∠APB=90°,∴PD⊥AC.图Z8-12解:(1)证明:∵AB=AC,P是边BC的中点,156图Z8-12图Z8-12157图Z8-12图Z8-12158类型二手拉手模型类型二159图Z8-13图Z8-13160图Z8-13图Z8-13161图Z8-13图Z8-13162【方法点析】图①~④分别是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形和正方形旋转模型图,结论:△BAD≌△EAC.

【方法点析】图①~④分别是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三163图Z8-14解:(1)证明:∵点G,F,H分别是线段DE,BE,BC的中点,∴FG∥AB,FH∥AC,∴∠GFE=∠ABE,∠FHB=∠C,∵∠EFH=∠FBH+∠FHB,∴∠A+∠GFH=∠A+∠ABE+∠EBC+∠C=∠A+∠ABC+∠C=180°.图Z8-14解:(1)证明:∵点G,F,H分别是线段DE,B164图Z8-14图Z8-14165图Z8-14图Z8-14166■题型精练1.如图Z8-15,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是 (

)A.55° B.60° C.65° D.70°图Z8-15C■题型精练1.如图Z8-15,将△ABC绕点C顺时针旋转91672.[2018·凤阳一模]如图Z8-16,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a,b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确结论有 (

)A.0个 B.1个

C.2个

D.3个图Z8-16[答案]D

[解析]如图,连接BD,GE,由△BCE≌△DCG可得BE=DG,∠1=∠2.又∠3=∠4,所以BE⊥DG.又DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,则DE2+BG2=DO2+EO2+BO2+OG2=2a2+2b2.2.[2018·凤阳一模]如图Z8-16,正方形ABCD和正1683.[原创]如图Z8-17,折叠平行四边形ABCD,使得B,D分别落在BC,CD边上的点B‘,D’处,AE,AF为折痕,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,若AE=EC,则∠CGE的大小为

.

图Z8-173.[原创]如图Z8-17,折叠平行四边形ABCD,使得B,169[答案]45°

[解析]如图,延长AE到H,使得EH=EA,连接CH,HG,EF,AC.∵EA=EC,∠AEC=90°,∴∠ACE=45°,∵∠AEC+∠AFC=180°,∴A,E,C,F四点共圆(利用取斜边AC的中点T,连接TE,TF,证明TE=TA=TC=TF),∴∠AFE=∠ACE=45°.∵四边形AEGF是平行四边形,∴AF∥EG,AE=FG,AE∥FG,∴∠AFE=∠FEG=45°,EH=AE=FG,又EH∥FG,∴四边形EHGF是平行四边形,∴EF∥HG,∴∠FEG=∠EGH=45°.∵EC=AE=EH,∠CEH=90°,∴∠ECH=∠EHC=45°,∴∠ECH=∠EGH,∴E,H,G,C四点共圆,∠EGC=∠EHC=45°.[答案]45°1704.如图Z8-18,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=8,AC=6,F是DE的中点,若点E是直线BC上的动点,连接BF,则BF的最小值是

.

图Z8-184.如图Z8-18,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=171[答案]4[答案]4172图Z8-19图Z8-19173[答案]10[答案]10174图Z8-20图Z8-20175解:(1)①证明:∵AE在线段AB上,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAE=90°,又∵AD=AE,AB=AC,∴△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠BEF=∠CEA,∴△BFE∽△CAE.图Z8-20解:(1)①证明:∵AE在线段AB上,△ABC和△ADE是图176图Z8-20图Z8-20177图Z8-20图Z8-20178类型三对角互补模型类型三179例3在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处,两直角边分别与直线AC,直线BC相交于点E,F,我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置(如图Z8-21①),将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°).(1)如图Z8-21②,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,试判断△DEF的形状,并说明理由.(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得△EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长;若不存在,请说明理由.图Z8-21例3在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,180(1)如图Z8-21②,在旋转过