应用随机过程论文

用随机过程论文题目：马尔科夫发展与应用班级：2012级统计1班姓名学号摘要现实生活中，人脸识别以及股市走势预测等实际问题都具有马尔科夫性，即未来的走势和演变仅仅与当前的状态有关而不受过去状态的影响。本文介绍马尔科夫过程及马尔科夫链的发展过程与应用，运用其性质建立了以下几个问题的马尔科夫预测模型并做出了预测分析。关键字马尔科夫过程马尔科夫链人脸识别股市预测目录TOC\o"1-5"\h\z刖言1\o"CurrentDocument"随机过程发展简述2\o"CurrentDocument"马尔科夫过程发展简述2\o"CurrentDocument"2.1马尔科夫过程简介2\o"CurrentDocument"2.2马尔科夫过程的发展3\o"CurrentDocument"马尔科夫过程的应用举例5\o"CurrentDocument"3.1、股票市场走势预测5\o"CurrentDocument"3.2、人脸识别模型6\o"CurrentDocument"马尔科夫链的定义和性质8\o"CurrentDocument"马尔科夫链的应用背景9\o"CurrentDocument"马尔科夫链在各个领域的应用9\o"CurrentDocument"6.1马尔科夫链在教育领域的应用9\o"CurrentDocument"6.2马尔科夫链在经济领域的应用10\o"CurrentDocument"6.3马尔科夫链理论在医学卫生领域的应用11\o"CurrentDocument"6.4马尔科夫链在遗传学领域中的应用举例12\o"CurrentDocument"总结13\o"CurrentDocument"参考文献14前言马尔科夫链预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论与方法，来研究分析某些动态系统的发展变化过程，并预测其发展变化趋势的一种预测方法，它是现代预测方法中的一种，具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要的地位。在国外，它不仅广泛应用在自然科学领域，还应用在经济领域。在我国，它主要应用于水文，气象，地震等自然科学技术的预测，近年在产品市场占有率预测和经济决策中也有所应用。为了有效的利用这个工具，解析一下它的基本原理，研究它的应用，这对深入理解，推广应用马尔科夫链预测法，提高预测质量，发挥该预测法的效力将是有益的。本文拟从最原始的数学定义出发，逐步讨论它的转移概率矩阵。我们采用马尔科夫链的建模方法，就马尔科夫模型在股市预测、人脸识别等几个方面的应用进行探讨。随机过程发展简述在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.马尔科夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔科夫链（见马尔科夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，A.R.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔科夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论（见随机积分），为研究马尔科夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔科夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。马尔科夫过程发展简述2.1马尔科夫过程简介马尔科夫过程（MarKovProcess）是一个典型的随机过程。设X（t）是一随机过程，当过程在时刻10所处的状态为已知时，时刻t（t>t「所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。2.2马尔科夫过程的发展Markovprocess是"-类随机过程。它的原始模型马尔科夫链，由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。例如森林中动物头数的变化构成一一马尔科夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔科夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔科夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔科夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔科夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔科夫过程的研究。流形上的马尔科夫过程、马尔科夫向量场等都是正待深入研究的领域。马尔科夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型马尔科夫链由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔科夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔科夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用xo,X1,X2分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次跳跃后所处的荷叶号码，那么｛Xn，nN0｝就是马尔科夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔科夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔科夫过程来近似。关于马尔科夫过程的理论研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔科夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔科夫过程的研究中，E.E.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔科夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔科夫过程、马尔科夫场等都是正待深入研究的领域。强马尔科夫过程在马尔科夫性的定义中，“现在”是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔科夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻t以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里T为停时，并且认为T是“现在”。如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔科夫性。具有这种性质的马尔科夫过程叫强马尔科夫过程。在相当一段时间内，不少人认为马尔科夫过程必然是强马尔科夫过程。首次提出对强马尔科夫性需要严格证明的是J.L.杜布。直到1956年，才有人找到马尔科夫过程不是强马尔科夫过程的例子。马尔科夫过程理论的进一步发展表明，强马尔科夫过程才是马尔科夫过程真正研究的对象。扩散过程历史上，扩散过程起源于对物理学中扩散现象的研究。虽然现在扩散过程的最一般的定义是轨道连续的马尔科夫过程，但在1931年柯尔莫哥洛夫对于扩散过程的奠基性研究中，却是按照转移函数来定义扩散过程的。50年代，费勒引进了推广的二阶微分算子，用半群方法解析地研究了状态空间E=【r1,r2】的扩散过程，解决了在r1和r2处应附加哪些边界条件，才能使向后方程有一个且只有一个转移密度函数解的问题，而且找出了全部这样的边界条件。对于状态空间是开区间或半开半闭区间的情形也作了研究。登金、H.P.麦基恩及伊藤清等人对于扩散过程轨道的研究，阐明了费勒的结果的概率意义，从而使一维扩散过程有了较完整的理论。多维扩散过程是和一个椭圆型偏微分算子联系在一起的，它还有许多未解决的问题，但核心问题之一是多维扩散过程的存在性和惟一性问题；借助于偏微分方程和概率论方法已经得到一些结果。有趣的是，概率论得到的结果反过来也可以解决微分方程的求解问题，例如，可以把方程的解用一个马尔科夫过程表现出来。近年来，人们重视从轨道变化的角度来研究扩散过程。常用的方法是随机微分方程和鞅问题的求解。流形上的扩散过程理论是近十年来日益受人们重视的新领域，它是用随机微分方程研究扩散过程的必然延伸。马尔科夫过程的应用举例3.1、股票市场走势预测对一支股票来说，令x(n)表示该股票在第n天的收盘价，x(n)是一个随机变量，(x(n),nNO)是一个参数离散的随机过程。假设股票价格具有无后效性与时问齐次性，这样一来我们就可以用马尔科夫过程的研究方法预测未来某交易日收盘价格落在每个区间的概率。以某股份18个收盘交易日的收盘价格为资料序号123456789收盘价12.9913.1513.7813.8312.541313.212.9612.6序号101112131415161718收盘价13.713.5813.5813.5813.4913.714.0313.7713.82这组数据中的最大值为14.03，最小值为12.54,因此可以将这个取值范围划分为[12.54,12.9125],[12.9125,13.285],[13.285,13.6575],[13.6575,14.03]。故将观测数据划分如下：价格状态ABCD价格区间[12.54,12.9125][12.9125,13.285][13.285,13.6575][13.6575,14.03]频数2547根据以上的状态划分，可以对状态转移的情况进行统计如下:ABCDA0101B1301C0031D1014由此可以得到状态转移矩阵为:00.500.20.6000.750.250.16700.1670.666设第18个交易日的观测值13.82为初始状态，故L(0)=[0001]那么第19个交易日收盘价状态概率向量为L(1)-L(0)*P=[0.16700.1670.666]第20个交易日收盘价状态概率向量为L(2)-L(1)*P=[0.11110.08330.23610.5694第21个交易日收盘价状态概率向量为L(3)-L(2)*P=[0.11160.10560.27200.5109]第33日收盘价状态概率向量为L(15)-L(14)*P=[0.10260.12820.30770.4615]第34日收盘价状态概率向量为L(16)-L(15)*P=[0.10260.12820.30770.4615]由以上计算结果可以猜测，当这个递推过程继续下去最终会趋于稳定，艮flL(n)=L(n-1)=[0.10260.12820.30770.4615]恰好为方程组[p1p2p3p4]*p=[p1p2p3p4],p1+p2+p3+p4=1的解，说明由稳定状态下计算出的收盘价格状态概率值与递推公式推导的结论一致。3・2、人脸识别模型HMM是用概率统计的方法来进行时序数据识别模拟的分类器。最早将HMM应用于人脸识别的文献根据人脸由上至下各个区域(如头发、额头、眼睛、鼻子和嘴巴)具有自然不变的顺序这一相似共性，即可用一个1D—HMM表示人脸。根据人脸水平方向也具有相对稳定的空间结构，因此可将沿垂直方向划分的状态分别扩充为一个1D-HMM，共同组成了P2D—HMM。基于HMM的自动人脸识别方法，建立人脸模型如图2所示。

图2用HMM建立人脸模型的基本原理图HMM在人脸表情识别中应用模型步骤如下：评估问题：得到观察序列O={O1,O2,・・・Ot}和模型入二(n,A,B),利用前向.后向算法快速计算出在该模型下，观察事件序列发生的概率P(O/入)。解码问题：利用Viterbi算法选择对应的状态序列S={q1,q2,-,qt},使S能够合理地解释观察序列O。即揭开模型的隐含部分，在优化准则下找到最优状态序列。学习问题：利用Baum—welch算法调整模型参数入二(n,A,B),即得到模型中的五个参数，使得P(O/入)最大。人脸表情识别的任务就在于通过表情图像来分析和建立HMM,对表情进行训练和识别。人脸表情HMM状态的划分和确定如图3所示，实验结果表1所示。眉毛雎昭鼻子荣下巴窗m人戴表情眉毛雎昭鼻子荣下巴窗m人戴表情hVMU态的如1分和确定弟布一正嘛命壬矣?-正巩率肉；k另寸率100%87.14^o93必87.14昵90%87.14%87%8714^熨％SfrH朽一J4%8714%四.马尔科夫链的定义和性质马尔科夫链是时间离散，状态也离散的马尔科夫过程，定义如下：随机序列Xn,n=0,1,2……的离散状态空间为E二…2,个非负整数气，n2，…，nm…，im,JEE，满足：(0<n11，0，1，2，…，若对m列Xn,n=0,1,2……的离散状态空间为E二…2,个非负整数气，n2，…，nm…，im,JEE，满足：(0<n11，0，1，2，…，若对mn2，<...<n）和任意自然数k，以及任意疽2,jXn

1jXXn,n=0,1,2马尔科夫链。夫过程在n时刻的k步转移概率。式中气表示现在时刻，nl,n2,-则称PXnk=pXnmi1X,imm其中PXnkXnmimjXni，称之为马尔科,•n］表示这个定义从数学上表明了马尔科夫过程无后效性的含义，从这个定义出发，可知马尔科夫链可以用初始概率和转移概率矩阵来清楚地描述。在无后效性的假定下，可以得到一些比较好的结论，计算和分析都很简便。马尔科夫链的应用背景在实际生活中，我们看到，许多随机现象仅研究一个或有限个随机变量，不能揭示这些随机现象的全部统计规律。这是因为在研究这些现象时，必须考虑其发展变化过程，它所考虑的试验结果要用一个函数或者无穷多个数来表示，马尔科夫链的的产生和发展就是适应这一客观需要的。不妨看看下面几个例子：在商业活动中，需要研究某一商品的销售量。设某日的销售量为8，一般地说，它是一随机变量，若研究它的每天销售变化情况，则需要研究依赖于时间t的随机变量8（t）,t=1,2,3…。在数字通讯中，若传输过程是用数0和1两个源码来传递消息，由于接受者事先不知道传送什么消息，加上传送过程受干扰影响，因此在某一时刻t，它传送的是0还是1，都不能事先预言，因而是一随机变量。若我们进行长期时间观察，每隔单位时间观察一次，则这个随机变量吞依赖于时间£「0，1，2，…。考虑一个国家经济活动中的国民收入时，某一年的国民收入即使在有计划的情况下，仍然受到诸多随机因素的影响而随机变化。逐年研究其变化，则需研究依赖时间（t年）的随机变量Yt，如果考虑国民收入的合成，一般地有七二C+I,其中C,,I分别表示t年的消费和积累，这时我们就必须研究多于一个依赖时间t的随机变量Y,C,I，其中t=l，2，，，，。总之，在研究自然界或社会经济现象时，经常需要研究的对象不仅具有随机性，而且又是一个变化过程，具体地说，是一族无穷多个随机变量。马尔科夫链在各个领域的应用6.1马尔科夫链在教育领域的应用（1）马尔科夫链理论在教学质量评价中的应用。马尔科夫链评价法是利用马氏链的“无后效性”对教学质量进行较为准确客观的评价，既在很大程度上排除了主观因素的影响，又能消除由于学生基础差异而带来的影响，从而保证了评价结果的合理性。同时由于转移概率矩阵p本身能让教师看到各层次学生之间的转移情况，让教师更加有针对性地调整改进教学方法，做到因材施教。而且，教学质量评价的马尔科夫方法具有广泛的适用性，评价对象可以是教育管理机构、学校、教师、班级、或某个同学，也可以用来评价教材质量、学生的能力（品行、志趣、体质等）、考试试卷质量等等。例如，将一个班级的学生在某次考试中的成绩作如下分等:优（90分以上）、良（80—89分）、中（70—79分）、及格（60一69分）和不及格（60分以下），然后以某班学生第一次考试的成绩作为初始状态考察第二次考试的变化状况（对于多次考试成绩，方法相同），说明教师在这期间的教学效果，从而可比较不同教师的教学质量。（2）利用马氏链对高校文献资源采购预测。一个图书系统内部各种图书资料多种多样，随着时间的推移，系统的发展，系统内的各类资料将有规律的发生转移，我们可以利用马尔科夫链基本原理建立数学模型，通过对各类图书的购入量，外借量和内借量的统计分析，以及不同读者需求和借阅量，掌握各种图书的借阅规律，并进一步确定采购量，从而对高校图书的采购做出定量预测，结果可为高校图书资料管理部门对高校文献资源的合理配置、采购图书资料提供决策的依据，有一定的指导意义和应用价值。而且，利用马尔科夫链构造转移概率矩阵，可建立图书信息市场占有率、读者素质信息分析、外文期刊采购风险分析、信息人员供给预测模型。在图书情报服务过程中，其变化具有较强的随机性，是一个典型的随机过程，而马尔科夫链是一种特殊的随机过程，具有描述随机变化的良好特性。信息市场占有率、读者信息素质分析、外刊采购风险分析、信息人员供给、文献资源采访、信息控制变化态势只与其现在的某种状态有关，在已知“现在”的条件下，其“将来”与“过去”无关，满足“马氏性”，因此可以用马尔科夫链理论对它们进行分析，通过对各类图书的购入量，外借量和内借量的数理统计，掌握各种图书的借阅规律，用马氏链来预测图书资料的如何定购和定购量。6.2马尔科夫链在经济领域的应用（1）利用马氏链可以对股票的价格进行分析和预测。经过检验我们发现:不仅单支股票价格变化的时间序列可以看作是一个马尔科夫过程，而且单支股票的预期收益时间序列、整个证券市场的股指、证券组合的综合价格与预期收益时间序列都符合马氏性。因此，针对我国股市波动幅度较大，受较多不规范因素的影响而表现出极强的随机性，我们可以考虑将马尔科夫链引入到上述的各方面，探讨更加切合我国证券市场实际的投资策略。把证券市场的市价和各种收益的变化的时间序列视为马尔科夫链，则可按转移概率，根据当前的状态预测以后的状态，从而采取相应的策略，这就是运用马尔科夫链的方法进行股市分析的基本思想。对股市行情的预测。将Markov过程理论，应用于股票交易市场，对股价综合指数的涨(跌)幅度，进行状态分类，建立起对市场运行周期、稳态概率、稳定程度、投资利润等的分析预测模型，并利用这一模型对上海证券交易所股价综合的部分历史数据作了相应的分析，得到了较为理想的结果。市场占有率及期望利润的马尔科夫链预测。运用马尔科夫链理论对商品销售的市场占有率预测和期望利润预测进行了研究，实例表明：马夫可夫链是预测市场占有率和期望利润的有力工具。6.3马尔科夫链理论在医学卫生领域的应用马尔科夫链理论在蓄群预测、棉铃虫发生趋势预测和草原蝗虫预报中的应用。陈木建在1999年用马尔科夫链方法预报草原蝗虫发生量和发生期，并将其应用到了甘肃河西地区;宫淑清、敖长林用马尔科夫链预测方法得到蓄群周转的预测模型，用此方法可了解蓄群生产状况以便及早采取措施;吴华新、金珠群、韩敏晖依据慈溪市1971~2000年棉铃虫发生程度的历史资料，运用马尔科夫链分析法模拟第4代棉铃虫的发生趋势，结果表明，此方法预报准确率达84%，并可对棉铃虫的发生趋势进行超长期预测。马尔科夫链理论在流行性出血热疫情预测预报中的应用。张拴虎等应用马尔科夫链理论对安阳市1984~1999年流行性出血热的发病情况进行分析，对未来五年的发病趋势进行预测，预测的结果是某个状态，对应指标值的某个区间，相当于区间估计，虽使预测的结果相对模糊，却提高了预测的准确度，在EHF防治和疫情预测中具有一定的实用价值;李天舒等采用随机过程方法一一两状态非齐次马尔科夫链对四川省城乡居民甲肝抽样资料进行分析，探讨甲肝流行的模式，发现城市居民因感染HAV所承受的疾病负荷大于农村居民，其高危年龄为1~25岁。故应该在该年龄组人群中实施有计划的免疫预防措施，以减少发病和控制流行。农村居民HAV感染的高危年龄发生在儿童期早期，故在农村应密切监测甲肝流行趋势，及时发现和控制可能发生的流行疾病。马氏链理论在麦蜘蛛发生趋势的应用。麦蜘蛛是乳山市小麦上的主要害虫之一，历年发生面积为10万亩~20万亩，约占小麦播种面积的18%〜45%。对麦蜘蛛发生趋势的预测，一般是根据虫源基数、有关的气温和降水量，结合历史资

料，进行综合分析，从而做出预测。这种预测方法需要有较准确的虫源基数和相关的气象数据，不仅调查虫源基数的工作量大、对气象预报的依赖性大、受气象预报准确性的影响较大，而且不能进行较长期的预测。2002年官锡鸿，曲维平用马尔科夫链分析法对乳山市近n年来麦蜘蛛发生程度的历史资料进行分析，不仅获得了比较理想的预测效果，而且还可以进行超长期预测。6.4马尔科夫链在遗传学领域中的应用举例遗传的一个要素是染色体，每一个生殖细胞只有一组单一的染色体，称为单倍体。一个后裔分别继承了来自父母的两组染色体，称为二倍体。遗传性质的携带者称为基因，它们位于染色体上，是成对出现的。一般的成对的基因中每个可以取两种不同的形式(等位基因)A和a。在一个总体中基因A和a的比例是基因频率，记为p和q。两种等位基因可形成三个基因型，AA，Aa和aa，AA个体只产生A配子，aa个体只产生a配子，Aa个体产生数目相等的A配子和a配子。考虑一个群体，其中雄性和雌性的基因频率分布为:AA:Aa:aa=d:2h:r，d+2h+r=1。A和a的基因频率为p=h+d和4寻+「。假设配偶是随机形成的且相互独立，那么一个后裔具有基因A的概率为p，具有基因AA的概率为p2，类似可计算出它具有基因型Aa和aa的概率分别为2pq和q2。为了用马尔科夫链来描述一个给定位点上的遗传过程，用1，2,3表示三种基因型AA，Aa和aa，用p_.表示给定一个上代(父与母)的基因i时，后裔出现基因j的概率。以一对母子为例，设p=p(孩子有基因型j/母亲有基因i)i,j=1，ijP]]P12p132，3。步转移概率矩阵为p=PPP。可以通过计算相应频率的d,2h,r的212223P31P32P33母亲AA，Aa，aa的所有可能