微分及其运算课件

微分及其运算一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则四微分形式的不变性五微分在近似计算中的应用微分及其运算一微分的定义1一、微分的定义当正方形的边长从变到时，相应的面积增量.函数增量分成两部分，一部分是的线性部分，一部分是关于的高阶无穷小一、微分的定义当正方形的边长从变到2当立方体的边长从变到时，相应的体积增量函数增量分成两部分，一部分是的线性部分一部分是关于的高阶无穷小当立方体的边长从变到时3定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，4定理3.7

y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有.由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.定理3.7y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)5二、微分的基本公式微分的基本公式：二、微分的基本公式微分的基本公式：6微分及其运算课件7三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v(x)可微，则,u,v可微，且有证三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v8定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且，则可微,且有.证定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且9例1设解例1设解10例2设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，当然也可以直接用公式求微分.例2设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，11例3设解例3设解12四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复13例4设解如果不引入中间变量u，则可例4设解如果不引入中间变量u，则可14例5设解当然，也可以直接用公式来求微分，即求出后再乘以dx得到dy.例5设解当然，也可以直接用公式15五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在可导，当自变量从变到x(即取得增量)，则有当x很接近时，即很小时，就有近似公式即当容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算附近点的函数值.五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在可导，当16例6解例6解17微分及其运算一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则四微分形式的不变性五微分在近似计算中的应用微分及其运算一微分的定义18一、微分的定义当正方形的边长从变到时，相应的面积增量.函数增量分成两部分，一部分是的线性部分，一部分是关于的高阶无穷小一、微分的定义当正方形的边长从变到19当立方体的边长从变到时，相应的体积增量函数增量分成两部分，一部分是的线性部分一部分是关于的高阶无穷小当立方体的边长从变到时20定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，21定理3.7

y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有.由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.定理3.7y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)22二、微分的基本公式微分的基本公式：二、微分的基本公式微分的基本公式：23微分及其运算课件24三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v(x)可微，则,u,v可微，且有证三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v25定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且，则可微,且有.证定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且26例1设解例1设解27例2设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，当然也可以直接用公式求微分.例2设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，28例3设解例3设解29四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复30例4设解如果不引入中间变量u，则可例4设解如果不引入中间变量u，则可31例5设解当然，也可以直接用公式来求微分，即求出后再乘以dx得到dy.例5设解当然，也可以直接用公式32五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在可导，当自变量从