复变函数测试题和答案及解析

格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享第一章复数与复变函数一、选择题1.当z=ti时，z10+Z75+Z50的值等于( )1-ii

-i (C)

(D)-15二2.设受数z满足arc(z+2)=—，arc(z—2)=——,那么z=( )3 6(A)—1+V3i (B)—V3+iz=tan9—i(4<8<n23

1 (C)--+—i2 )

3 1(D)--+—i2 2二secB[cos(8)+isin(—+8)]2 2

3二se6[cos(——Bisin(——8)]2 2一 3二 3二-sec6[cos(——+6)+iSin(——日)](DDsec0[cos(—+日)isin(—十日22 2 24.若z为非零复数，则z2-Z2与2zZ的关系是( )z2

-z2|>2zz

z2

z2=2zz2 —2 .4 —/一、

z-z<2zz

，,一 ..、不能比较大小x,y为实数，z1x+，11yi,z=xJUyiz1z|12,则动点2 2(x,y)的轨迹是( )圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

冗一，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为31-J3i,则原向量对应的复数是( )2

1+J3i

J3+i22.使得z=|z成立的复数Z是( )

纯虚数 (D)实数Z2十之=2133 3 33一 一 一--

(8)

-+i(C)--i(D)---i4 4 4 4.满足不等式|三口<2的所有点z构成的集合是( )有界区域 (B)无界区域 (C)有界闭区域 (D)无界闭区域.方程z+2—3i|=J2所代表的曲线是( )(A)中心为2—3i,半径为J2的圆周 (B)中心为—2+3i,半径为2的圆(C)中心为—2+3i,半径为J2的圆周 (D)中心为2—3i,半径为2的圆周.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( )z-1(A)z-22 (B)z+3-z-3=4(C)——a=1(a<1) (D)zz+az+az+aa-c=0(ca1-az12.设f(z)=1—z,z1=2+3i,z=5—i,,则f(z1—z)=( )2 2十 (A)-4-4i (B)44i (C)4-4i(D)—4十 Im(z)-Im(

)， 、013.lim——)---(—02( )xfoz。z0等于i (B)等于-i (C)等于0 (D)不存在14.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点zO=xO+iy0处连续的充要条件是( )u(x,y)在(x0,y0)处连续 (B)v(x,y)在(x0,y0)处连续(C)u(x,y)和v(x,y)在(x°,y°)处连续(D)u(x,y)+v(x,y)在(x0,y0)处连续15ZWCz=1,

f(z)

z2-z1的最小值为(-3

-1 (D)1

(1i)(2-i)(3-i)z二 ,(3i)(2i)2.设z=(2 -3i)(-2+i),则argz=,・・C3.设 =5,arg(z-i)= ,・・C2…鬻谓2n*~.z6=7-v15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为.不等式z-2z+2<5所表示的区域是曲线的内部2z-1-i…「.方程 =1所表示曲线的直角坐标方程为 2-(1-i)z.方程|z+1-2i|=z-2+i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9缶x2+(y

=1的像曲线为z10 lim”+z2zz+(1—2i)z+(1+2i)z+3=0,z+2的取值范围.

2z4)=z满足格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享a20,Cz22za.ziz^z1IM(z)0.1z1 1、K、对于映射缶=—(z+—),z=4的像.1z0(z2z2

0)tz2

=㈤z;22 20(zj=0,k#j,k,j=1,2，…，n))z2乙+z2+…+zn=z1+z2+…+zn若limf(z)=A=0,八、 x—x0x

600zz0

6时有f(z)>-|A.九、设z=x+iy,试证——=」<z<x+y<2十、设z=x+iy,试讨论下列函数的连续性:f(z)

=

2xyy20,x3yf (z)=」x2、

+y2,第二章解析函数一、选择题：一，， 21f(z)3zz0处是()(A)解析的(C)不可导的(B)可导的(D)既不解析也不可导2f(z)zf(z)z解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件.下列命题中，正确的是()设x,y为实数，则cos(x+iy)<1z0

f(z)f(z)z0

不可导u,vDf(z)uivD内解析f(z)D内解析，则"iflz)D内也解析.下列函数中，为解析函数的是 ()2 2x-y-2xyi2 2

2 .(B)x+xyi3 3(C)2(x-1)y+i(y-x+2x) (D)x+iyz0.函数f(z)=zIm(z)在处的导数()

等于

不存在.若函数f(z)=x2+2xy-y2+i(y2+axy-x2)在复平面内处处解析，那么实常数a=()(A)0 (B)1 (C)2 (D)-2f(z)z<1f(0)=—1,z<1f(z)三()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)任意常数f(z)D内有定义，则下列命题中，正确的是f(z)D内是一常数，则f(z)D内是一常数f(z)

Re(f(z))D则f(z)f(z)D内解析，则argf(z)D则f(1i)=()

f(z)D数f(z)D数f(z)D数2ii

2i

(D)22i0

ji(C)e2 (D) e2

在复平面上(无可导点(C)有可导点，且在可导点集上解析设 f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的

(B)有可导点，但不解析处处解析f(z)在复平面上处处解析 (B)f(z)以2n为周期(C)

iz -ize-eMz):e^Z—2

(D)f(z)是无界的13口1口()无定义(C)是复数，其实部等于14.下列数中，为实数的是(3(A)(1-i) 15.设口是复数，则()

cosi

(C)

lni

是复数，其模等于13ie2z值在析z^一般是多值函数

(B)(D)

z"的模为z"z”z0、填空题1.设f(o)=1,f(0)=1+i,则.

f(z)-1_z.f(z)=u+ivDuvf(z)D内是一一；u:v.f(z)=——iD内解析的充要条件为exex, 3 3 22 ,, 334.设f(z)=x+y+ixy,则f( +_[)=22f(z)uivux2y2,f(z)=.f(z)zIm(z)Re(z)z=处可导7f(z)=1z5—(1+i)z,f'(z)=0的所有根为58.复数ii的模为 9.Im{ln(3—4i)}= 101—e-=0的全部解为设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为z=x+iy的解析函数，若记一zzz-zzzw(z,z)^u(—

,二w—,--)iv(-

则丁=0.22i 2 2i z四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数f(z)=cosxcoshy-isinxsinhy;x xf(z)=e(xcosy-ysiny)+ie(ycosy+ixsiny);w3—2zw+ez=0,

dwd2wdz，dz2六、设wz)」"^z-试，，f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导0,z=0uvx2y2,试确定解析函数f(z)uiv.八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转-Tnf(z)=u则有四=2，四=_◎(£s,n的方向导数).:s:n；n ；s；s；n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数 f(z)在下半平面内解析十、解方程sinzicosz=4i.

iv2第三章复变函数的积分、选择题：.设c为从原点沿

=乂至1+i的弧段，则］(x+iy)dz=().1

15.

15.

15.(A)———i(B)——+—66 66

(C)————66

—+—i66.设C为不经过点1与-1的正向简单闭曲线，则z--------z 冲c(Z-1)(Z1)2(A) (B) (C)0 (D)(A)(B)(C)都有可能

z=1为负向,

：z=

sinz,正向，则 —2-dzuCzC1-'Cz2-2ni (B)0 (C)2二i (D)4二icz=2,

dz=()7C(1)-sin1 (B)sin1

(C)—2nisin1 (D)2nisin13 1,zcos 15.设c为正向圆周z=—,则4 J^dz：()2c(1-z)22m(3cos1-sin1) (B)0 (C)6nicos1 (D)-2isin16.设f(z)=e7e—d^，其中z04,则f'(皿)=()1T1(A)-2ni (B)-1 (C)2m1(D)7.设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零,f c为B内任何一条简单闭曲线，则积分2f(z)f(z)dz(f(z)于2可 (B)等于-2兀i (C)等于0 (D)不能确定设c是从0到1+±i的直线段，则积分 jzezdz=(2二e)1- (B)

e)(C) 1i (D)2 2ITsin(—z)设c为正向圆周 x2 y2-2x

贝U'：—2-4—0 dz二-2i (B)2 ：i

cz-1(C)0 (D)c为正向圆周

zcosz

dz二c(a-i)((A)2二 (B) (C)0 (D)iie f(z)在区域D内解析，cD内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于f(z)c2cz0f(z0)()等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能确12.下列命题中，不正确的是()1(A)

积分d

dzr(r〉0)的大小无关z-a z-a(B) 2iy2)dz2c为连接-i

的线段cDf(z)g(z)Dg'(z)存在且解析若f(z)在0<|z<1内解析，且沿任何圆周 c:z=r(0<r<1)的积分等于零，f(z)在z=0处解析设C为任意实常数，那么由调和函数 2-y2确定的解析函数 f(z)=u+iv是iz2c (B) iz2下列命题中，正确的是()

(C)z2

c

z2ic设Vi,V2在区域D内均为u的共轲调和函数, 则必有 V1=V2解析函数的实部是虚部的共轲调和函数f(z)=u+ivDD内的调和函数；x(D)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 v(x,y)iu(x,y) (B)v(x,y)-iu(x,y)v(x,y)Du(x,y)二u:v(C)u(x,y)-iv(x,y)(D)—-i—:x二x二、填空题1.设c为沿原点z=0到点z=1+i的直线段，则2 2zdz=c

D内解析函数的是2.c

z23z2」=1,Uf2dz=兀芦sin(2)兀芦3.设f(z)=cj d^，其中z#2,则f'(3)=2.C为正向圆周

zz"z_dz=.C为负向圆周

ez(z-i)5

dz二.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的f(z)BBc都有f(z)dz=0,c么f(z)在B内 .(x,y)xy的共轲调和函数为.u(x,y)x3axy2a.u(x,y)v(x,y),v(x,y)的共轲调和函数为三、计算积分6z二2

dz淇中RA0,R#1且R=2;心(z22.

-1)(z2)dzz42z22z|4f(z)B1f(z)1(xwB).试证Bf(z)#0B内任意一条闭曲线c,都有＜ff-dz0cf(z)五、设f(z)在圆域z-a<R内解析，若maxf(z)=M(r)(0<r<R),|z-a|=r1WORD 格式.可编辑z _六、求积分q—dz,从而证明『ecos8cos(sin0)dH=n.*z设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b,试求极限f(z)z— z

dz并由此推证f(a)f(b)Liouville定理)f(z)zcR(R>1)f(0)=1,f(0)=2q(z2 2ccosf(ed)d0t.f(z)=u+ivz的解析函数，证明铲ln(1+|f(z)|2)J2ln(1+|f(z/) 4H(z/ ' = n2 n2 22ox W (1+f(z))uu(x2y2),试求解析函数f(z)u+iv.技术资料.整理分享

2Rz)dzz1格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享第四章级数、选择题:a

(-1)n ni(n=1,2，…),liman()设n n>(B)等于1 (C)等于i (D)不存在卜列级数中，条件收敛的级数为/A、

13i

J(34i)n、()

n1 n!二1(B)%-(1n-1n二in

(D)

oO(-1)niZn1nn(C)”——n-nn

(D) (T)in2n=0(C)发散

z1+2iz2处的敛散性为()(D.5设帚级数c.n

z

cnzZzR1n

2,R3,则2no0

n=fi n=0n1R1,R2,R3

6.设0<|q<1,则哥级数R1(C)R1=R2

R2R3R3

R1 R R2 R1=R2=R2 二q qn

znRn=0q (C)0n二二sin7.哥级数2 ——2_(三)n的收敛半径R=(n1n2

(D).：：(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D)+30s：(-1)n骞级数(

(一)-z8. n=0n

z<1内的和函数为(A)

ln(1z) (B)ln(1-z)/、 1 ln(D)In—1zz

-1oO9. czn

zCz设函数-e—cosz

nn-0

,那么骞级数 n=0

的收敛半径1(B)1

n(C)—+zz2+…的收敛域是z

(B)0.；：［z：1(C)

(D)不存在的一，，1,

_一一一11z-1o(A)X(-1)nn(z+1)n,(z+1<1)no

(B)”(-1)n」n(z1严 (z+1n1 <1)n(z1广

(|z+1|<1)

oOn(z+1)n”(z+1(C)n1

<1)n1技术资料.整理分享技术资料.整理分享WORD格式.可编辑函数sinz,在 =三处的泰勒展开式为()2QO (-i)(A)

nnO(2n

(z〜)I2JIz・(B)

nT

--2•—)i(C) 乩(z『 (z-<+=C)i(D)

JS(z.f2nn2(2n)!

(F 二)oC设 f(z)在圆环域H:Ri<zzo<R2内的洛朗展开式为 ZCn(z-zo)n，Zo的任一条正向简单闭曲线，那么2二 (B)2二 (C)2ic2

(D)2ific」 ic1 (Zo)3n (T)n,C=

n=0,1,2.

COCz

的收敛域为(若n

4n, n 0,1,2,n=_1,_2,.

nn,则双边哥级数3:二z41C ..1<+oc(D)一：二z:二,二15f

z(z1)(z

3在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有

个，那么m=()

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享二、填空题.若哥级数£cn

i)nziz=2处的收敛性n=0为.QO .设备级数cnCnZn与 [Re(Cn)]zn的收敛半径分别QO n=0 n=0

R1R2RiR2之间的关系是..Z(2i)znH

8n2n/.f(z)D内解析，Zo为内的一点，dZoD的边界上各点的最短距离，那么n on n=.当Z-Zo|<d时，f(z)O C(z—Z)成立，其中5.函数arctanz在z=n on n=.n6ZcQOnn

R

(2n

-1)c

QOznn的收敛半径n0n0z为.jn1jnZn,7.双边骞级数Z(-1)------T+£ (-1)(1--)的收敛域为 .nd (Z-2)nd 2.

1+ez0M[Z内洛朗展开式为..cotz0<|z<R收敛域的外半径R;.

ZCnZn，那么该洛朗级数QOn二-二QO1 ...................10.函数--------在1<z—i<~内的洛朗展开式为 .z(z-i)12-z0anz1-Z-Z n2列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出 an的表达式.四、试证明1.ez-1ez-1<|ze忸(z+R);2.(3-e)z<eZ-1<(e-1)z(z<1);Sn-nf^z^^F五、设函数f(z)在圆域z<R内解析, kj)k!

2为非波那契(Fibonacci)数n1Sn(z)= f()=r

--zn

(zrR).3.f(z)

zn卡.f得)认,n(z)=F)产(z<r<R)on2用"上(--z)f(z)

az(zRg(z)bbz(zRr(0<rRnn i n nn 2 nn i n nn 2 z<rR2内工anbnzn=-1r”。9(5)手。n=0 2用 U亡od六、设哥级数、n2znn1z<Rf(z)f(z)a

1z+

aa

azn+…0 2 n22JT 2试证当0Mr<R时」f(reld)d8= anr2n2n0

丈2CcnR九、将函数一力在0<z-1<1内展开成洛朗级数z(z-1)十、试证在0<z<也=■内下列展开式成立:z-e

ci十 Cn(z十二)其

1Cn=一「0e"cosn^d日(n0,1,2,…).n4 z 0格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD第五章留数、选择题：cotz—i=2内的奇点个数为()2z-3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4f(z)g(z)zamzaf(z)g(z)的()

可去奇点(C)m

(B)本性奇点(Dm级的极点X2一一,一一1-e3z=0mm=()zsinz(A)5 (B)4 (C)3 (D)214.z=1是函数(z—1)sin的(zT可去奇点(C)一级零点3— 3■2z■5.z=%是函数2的()

(D)本性奇点z可去奇点(C)二级极点

(D)本性奇点设f(z)

anznzR内解析，kOO=0OO

Res[

f(z)k

,0]=(ak (B)k!ak (C)a』 (D)(k-1)!ay7z=af(z)m

Res[f-(-z),a]=(f(z)m

8B) m 9C)m

(D)-(m-1)

Res[f

(0的是(格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享(A)

f(z)

ez-1z

sinz1(C)

sinzcosz

(D)

1”z)K下列命题中，正确的是()设f(z)=(z—Z0)R甲(z),邛(z)在Zo,为自然数，则z0

f(z)m级极点.如果无穷远点空是函数f(z)的可去奇点，那么 Res[f(z),二]=0

z=0f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]0若f f(z)dz=0,则f(z)在c内无奇点cRe

3cos21,]=(z11Res[z12e1(Ai

-5

2.—i

2.i3"i66 (B) 6 (C) (D)下列命题中，不正确的是若z0(/M)是f(z)的可去奇点或解析点，则 Res[f(z),z°]=0P(z) P(z0)0P(z)Q(z)z°解析，z0Q(z)Res[一^,z0Q(z)Q(z0z。为f(z)的m级极点， n之m为自然数，1Res[f(z),Zk]=2 1_f(z)exp{zURes[f(z),0]=z格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享dn n1工(D)如果无穷远点gf(z)的一级极点，

_1..........f(-)的一级极点z1Res[f(z),二]桂织zf(-)设na1为正整数，则4 dz=(闭=20 (B)2二i (C)积分g喑z10——dz()-1

(D)2ni-(A)0 (B)2二i (C)102 1积分zsin-dz=((A)0 (B) (C) 3二、填空题1z0z3—sinz3mm

(D)(D)1 12f(z)=1zk—(k0,±1,±2,)处z 2

k二一WORD 格式.可编辑4z=af(z)mRes[f,a]=5tanhz在其孤立奇点处的留数为.,2z .6.设f(z)=——则Res[f(z)严]=.1z. 1-cosz__ .7.f(z)=-5—,URes[f(z),0]=z13二.积分寸zedz= 1.积分gdz= IzdSinz10.积分

x二1x2

dx=gzsinz--2-dz(e通二d^四、利用留数计算积分

(a0))a2sin2[-1-z)

二x-x2.—4 2dx一x10x9六、利用留数计算下列积分:xsinxcos2x1 dx

cos(x-1)dx. x21

2 .一x1技术资料.整理分享格式.可编辑WORD格式.可编辑WORD技术资料.整理分享技术资料.整理分享七、设a为f(z)的孤立奇点， m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是lim(z-a)mf(z)b,其中b0z—aaf(z)f(z)Res[f(z),a]Res[f(z),-a]f(z)URes[f(z),a]=—Res[f(z),—a].

f(z)

a

A,

limz

21l.A声1T(z)A6(z)zE1z为实数时，①(z)取实数而且①(0)0,f(x,y)表示①(x

2二tsinii 1-2tcosit2

f(cos-,sin-

二：'(t)(-1t1)第一章复数与复变函数、1.(B)(A)(B) 12

(C).(A).(D).(A).(D).7.(D)8.(B).(C)13.(D)14(C)

(B).(C).(A)2r-arctan8 3 12i 4..2 2z-2+|z+2 (或— 1 x2

5.3V3=5 5(2)

32 )(2)8.-12i,2-i 10.—7+2i[J5—母，石 +三、

V2Wz+2(或、污—WJ5+72).0MaM1时解为±(1J1—21或±(J1+a—1)当1EaE+比时解为±(J1+a-1).17u=—

cosi2 0M8M2n.w平面上的椭圆v-sin]

+-------(争22十、1.f(z)在复平面除去原2点外连续，在原点处不连续;2.f(z) 在复平面处处连续第二章 解析函数.(B).(B).(D).(C)5.(A)127..(C)(C)138.(C).(D)149.(A).(B)10 .(D)15 .(C)6.(C)11.(A)1.

常数

u,2可微且满足x二x

：2u ；：..,.. 2vex.x.y.x.y

x227 274. 5. y2实常数JI JI

+2xyi+ic

+ic,c为 6.i2k-7.82(cos4-^——49. -arctan3

2k二isin4-----),k0,1,2,310.(k=0,-1,一

8.e^k二(k=0,_1,_2,)1.f'(z)sinz;dw 2w-ez五