复变函数教案第二章

(word完整版)复变函数教案第二章(word完整版)复变函数教案第二章PAGEPAGE13章节名称：第二章解析函数学时安排：4学时教学要求熟悉复变量初等函数的定义和主要性质教学内容复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法;2义及其主要性质教学重点初等函数的定义和主要性质教学难点:函数解析的概念及判定方法教学手段：课堂讲授教学过程：一、第二章解析函数§1、解析函数的概念1，复变函数的导数与微分(1)导数的定义；设函数f(z)定义在区域D内,z为D中的一点，点z z不出D的范围。如果极限0 0lim

f(z0

z)f(z)0z0 z存在，那么就说f(zz可导。这个极限值称为f(zz的导数，记作0 0f'(z

)d

lim

f(z0

z)f(z)00 dz z

z0 z注意：1）定义中的z0zz0(即z0)的方向是任意的；2）如果f(zDf(zD例1，求f(z)z2的导数因为limz0

f(zz)f(z)z

limz0

(zz)2zz

lim(2zz)2zz0所以 f'(z)2z思考题f(z)x2yi是否可导？可导与连续（解答上述思考题可得这一结论）可导一定连续。由函数f(zz可导，则0f(z

z)f(z)f'(z0

)lim 0 0z0 z即对于任给的0，相应有一个0,使得当0时，有f(z0

z)f(z0z

f'(z0

) 令 (z)

f(z0

z)f(z)0z

f'(z)0那么 lim(z)0z0由此得

f(z z)f(z)f'(z)z(z)z0 0 0所以 limf(zz0 即函数f(zz连续。0求导法则

z)f(z)0复变函数中来，而且证法也是相同的，这里不再重复。（4)微分由上面的叙述可知，函数f(zz可导，则0f(z z)f(z)f'(z)z(z)z0 0 0f(z)z为函数f(zz的微分,记作df(z)z。如果函数f(zz的微0 0 0 0分存在,则称函数f(zz可微.0注意：1）函数f(zzz可微等价;0 02）如果f(zDf(zD2，解析函数的概念:定义：如果函数f(zzz的邻域内处处可导，那么称函数f(zz解析。如果0 0 0f(z在区域Df(zDf(zD（全纯函数或正则函数。注意：1）如果函数f(zzz为f(z的奇点；0 02）点处可导的要求要高得多；3）函数在区域内解析和在区域内可导是等价的。应用举例：例2，研究函数f(z)z2，g(z)x2yi和h(z)z2的解析性。3，研究函数1的解析性。z注意：1）任何一个有理分析函数的点是它的奇点。§2、函数解析的充分必要条件

P(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数2）使分母为零Q(z)1，柯西-黎曼方程：f(z)u(xyiv(xy满足u

v，

vx y y x21f(z)u(xyiv(xyDf(zDzz(t)xiy可导的u(xyv(xy在点(xyu

v，uv。

x yy xu v u v注意: f'(z) i 。x iy y2f(z)u(xyiv(xyDu(xy与v(xyD

v，

v。x y y x4，应用举例例1判断下列函数在何处可导，在何处解析：1)z；2）f(z)ex(cosyisiny)；3）zRe(z)例2设函数f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)。问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？§3、初等函数1，指数函数f(z)ex(cosyisiny)ez为指数函数。2)主要性质：指数函数在复平面上处处解析；1当zx时，上述定义与实数集上定义的指数函数一致3 ez ex，Arg(ez)y2k(k)；1e14e212z z ezze14e212

；(ez)

enz;

ze1eez2

ezz25ez2kiez，这里k2ki为周期的周期函数。2，对数函数定义:我们定义对数函数是指数函数的反函数,即若ze(z0,)则称z的对数函数,记为Lnz2）对数函数为多值函数：令uivzrei,于是euivrei因而eur,v故 uivlnrilnziArgzLnzlnziArgzlnzi(argz2kk称lnzlnziargz(kLnz的主值。3）主要性质：对数函数在复平面上除原点及负实半轴之外处处解析;zx0lnzlnx;zx0Lnzlnxi(2k,k；3eLnzz； Lnezz2ki，k;Ln(zz12

)Lnz1

Lnz2

; Ln(z1)Lnzz 12

Lnz24）应用举例：例求下列式子的值：1Ln(1),ln(1)2Lni,lni练习：1Ln(34i),ln(34i)2已知ez2z3，乘幂与幂函数1）定义:我们定义乘幂为ab为ebLnazeLnzz0，z的幂函数。此定义为实数域中等式在复域中的推广.主要性质：幂函数在复平面上除原点及负实半轴之外处处解析；当zeLnz是单值函数；当q

（即约分数）时，z能取到；p个不同的值，即当k,p1时所对应的值。当zeLnz4）应用举例：例求下列式子的值：1(1)22ii4，三角函数和反三角函数1)定义:设z为任一复变数，我们称以下两个函数sinz