复变函数与积分变换课程教案讲义

《复变与积分变换教案》第一次课平面，学会运用复数的三角表示出理问题。讲课段落：复数产生的背景，特点；平面向量和复数的关系；共轭复数的作用；三角表示；复数定义与平面向量变换的内在联系。知识要点：x2yx2y2zz,|zz|z z1 2

z z1 2z2 zz2Rez,zz 2iImzei cosisinzrcosirsinrcosisinreix2y2 Argzargx2y2sin(argz) y

Imzzzz rrz1 2 1

z z1 2Arg(zz)Argz1 2

Argz argzargz 2kπ,k2 1 2 nein wn1

zrei2kπ rn

， ,kn1 2k，wr，

nei n

k,n14.例：例1-1 设z

i 1iRezImz,z。例1-2 设

1i i

z

，z z 34i,z 11 2

z1 z12 2例1-3 设z及z1 2

为两个复数，试证：zz21 2

z2z1

22Re(zz)12并用此等式证明三角不等式推导，当Imz0,

argz0zarcsinImzz

Rez0Rez0Rez0当Imz0

argz zz arcsin Re 0;z当Imz0,

arcsinImzzargzzImz

Rez0zarcsin Rez0z例1-4 求arg(22i)和Arg(34i)例1-6（较难）设z则有z1|z|例1-7 试求1i的模和主幅角1i

argz见解，i2相当于将向量｛0，1｝度角，2从而得到向量1释i为z210的根。Arg(z

)nArgz1i 3例1-9求9的四求复数z1i 3

的四次方根w。单位圆内接正3边形的顶点的复数表示。《复变与积分变换教案》第二次课1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处和复积分等知识。2讲课段落：平面曲线（定向）复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性；复变函数的增量；复积分定义和计算，复积分的性质。3知识要点：无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任一条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是任一条简单闭曲线总是有有限长度的。对给定点P(x0,y0)和数0，称 (xx)2(yy)20 0(xx)2(yy)20 0P的一个邻域。D为可用折线连通的开集.本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C,C,C,,C 按以下0 1 2 m方式围成的区域：设D0

,D,D1

,,Dm

分别为C0

,C,C1

,,Cm

的内部区域，满足(1) mj1

D D, (2) D D ,1jkm,(3)C C ,j 0 j k j k0jkm。称此多连域D为复围线:C0

,C,C1

, ,Cm

围成的区域,DD0

mD 。jj1也称D的边界。而数学上称Dm0

D 即D连同C,C,C,,C 一起的j 0 1 2 m集合为多连域D的闭包，也记为D。而复围线:C,C,C,,C 的正向0 1 2 m定义为，在C上取逆时针方向，而在C,C,,C 上都取顺时针方向。0 1 2 mC:F(x,y)经变换

zzx

，y

zz ，2 得到Ｃ的复数表示Fzz,zz0 2若平面曲线参数方程为

2i 则其复数表示为

xx(t),， t，yy(t)zz(t)x(t)iy(t)， t所以一个复变函数相当于两个二元函数，即wf(z)

u(x,y)vv(x,y)maxxx ,yy zz xx yy 0 0 0 0 0

a x ,b yn 0 n 0

z z an 0

x b y0 n 0maxua,vbfzAuavbfzfzx

x,y0 0

ivx

x,y0

y

x,y0

ivy

x,y0

yEu

iEvfz1

ux

x,y0

ivx

x,y0

,f2

zu0

x,y0

ivy

,y0 0

fz

z fz

z f z f

1 0

0 z 1 0

0 zo 0

f(z)dzudxiudyC C Cl f(z)dzC

jj

f(zj

(t))z(t)dtjz i, n zaC

0, n的整数f(z)dzf(z)dzC Cf(z)|dz|u(x,y)dsiv(x,y)dsCf(z)dz

C Cf(z)dzMLC C4.例：例1-11 求以z0数形式。

xiy0

为心，R为半径的圆周参数方程复例1-12 考察平面上的曲线具有下列复数形式：arg(z1)argz4

，并给出该曲线实形式的代数方程。1-13关于wz2的映射特征的两种描述方法。1-14w1的整体处理。z1-15证明w都连续。

f(zargz在复平面上，除去原点和负实轴，1-17（重要的常用例子）z i, n zanC

0, n的整数dz例1-18计算 ，其中CdzImzzz1 2

C的一段圆弧。《复变与积分变换教案》3次课教学目标：讲解习题以巩固复变函数的基本知识。zxiy,y0,zi,则当且仅x2y2,z 才是实数。(1z2)设n为自然数z1是实数但z不是实数求zn1。z znRe 2 1证明由方程 z Re 2 1zz1

确定的曲线,zz1 2

两点为直径的端点的圆周。zza1az

1表示的是以z0为中心,1为半径的圆。z组成的点集是什么?如果是区域,指明是有界的还是无界的,闭的还是开的,单连通的还是复连通的,并作图。zi 0arg

zi 4已知映射z3,求ziz1

1i,z 3平面上的象;区域0argz 3在平面3上的象。3的。

limf(z)存在且有限,f(z)zxxxx

点的某一邻域内是有界f(z在z0

点连续,f(z0

0:存在z0

点的某一邻域,使得在此邻域内f(z)恒不为零。《复变与积分变换教案》第四次课1教学目标：按一元微积分的方式引入复变函数导数的定义，必然涉及二元微分学，导致C-R2讲课段落：复变函数导数的定义;C-R条件；解析函数的概念；判别解析函数的充要条件；3知识要点：

f(z

z)f(z)f(z)lim 0 00 z0 f(z z)f(z)f(z)zh(z)z0 0 0Cauchy-Riemann条件：uv，vx y y xf(z)

ui

v

iux x y y设wf(z)在一个区域Ｄ内有定义，若f(z)在D 内处可导，称f(z)在D 解析。

0，

f(z)

在U

(z)0

|zz0

内处处可导，称

f(z) z在0解析。在一点解析的判别定理和一区域上的解析函数的判别f(zu(xyiv(xy在区域Df(z)0(zD,f(z)c(；反函数求导公式：设wf(z)D解析，且当zD时，f(z0zh(wwf(z)的单值连续反函数，满足wf(h(w，则zh(w在区域Gwf(zz解析，且有f(z)zh(wf(z)zh(w)

1 。f(h(w))4.例：2-1连续。

f(z)在

z0 z

f(z) z在0在2-2

zn nzn1。例2-3 w

z在复平面上处处不可导。例2-4 wz

z0可导。例2-5 f(z)z

在复平面不解析。2-6判别下列函数是否解析：

；f(z)ex(cosyisiny)。f(z)zRe(z)2-8求f(z)(3z24z《复变与积分变换教案》第五次课

fz。1的特性和运算方法。2讲课段落：；指数函数的几何特性；对数函数的多值性简介和单值分支函数的解析性；幂函数的各类情形的分析和单值分支的计算；三角函数的讨论；反三角函数3知识要点：wez ex[cosyisiny]exeiy;(ez)

ez;(1).

ezi2k ez,

kZ

; (2). z,1

z2满足

z Imz2，

Imz2

，则有e12z eze12euiv zeiarg

eu z vargz2k

ulnzvargz2kw:uivlnzi(argzw Lnk

zlnzi(argz)ewK zei2k z设z,z argz且z1 2

，则对每个给定z2的k

，有Lnz Lnzk 1 k 2(Ln

k

z) 1 1 (ew) zewwewwLnzKKzaealnzea(ln0z2ki) e2kia,(k0,1, )0dza deaLnkzdz dz

aza1sinz

eizeiz

,cosz

eizeiz24.例：例2-10 求Ln2 ，Ln1以及与它们相应主值。例2-12求2 。22-13求12

的值。2-14求sin(12i的值。《复变与积分变换教案》第六次课1教学目标：为导出解析函数的高阶导数和TaylorCauchyCauchyCauchyCauchy积分公式计算复积分。2讲课段落：；Cauchy积分定理的背景，基本思想及其应用；Cauchy积分定理证明Cauchy积分公式；运用Cauchy积分公式计算复积分；3知识要点：f(z)dzudxvdyivdxudy0C C C udxvdy0 ，C

vdxudy0;Cauchy积分定理设D 为单连域，f(z)在D内解析，C 为Ｄ内一条简单闭曲线，有D f(z)dz0。C其中C ：定向为始于z0终于z1含于上半平面内的任一条简单曲线。;若f(z)在单连域Ｄ解析，则f(z)在D 内分与路径无关。F(z)

f)dzz0z

F(z)f(z)f(z)dzm

f(z)dzC jC0 ja设 为复围线:C,C, ,Ca0 1 m

围成的多连域D内的一点，则有。dz i, n za

0, n的整数4.例：计算复积分

ezdz，其中C 定向为始于Cz0z1条简单曲线。计算复积分

1 zdz，其中C 为单位圆上Cz1含于第一象限内的一段弧。dz

z i的的正向。

z(z，其中C 为C

z|2《复变与积分变换教案》第七次课1计算复积分。2讲课段落：Cauchy积分高阶导数定理的背景；Cauchy积分高阶导数定理运用高阶导数公式计算复积分。3知识要点：n对每个自然数 ，在D 内定义函数nf)F(z) dn z)n则对zD，有F(z)nFn n1

(z)对每个自然数n ，f(z)在D 内处处有n 导数，且对zD 有f)f(n)

(z) d2i

z)n1由于f(z)ux ivx vy iuy而高阶导数定f(zf(zf(z)uvuv都连续。x x y y设D 为单连域，f(z)在D内连续若对

有 f(z)dz0，C则f(z)在D 解析。《复变与积分变换教案》第八次课1TaylorTaylor级数展开的基本方法。2讲课段落：复级数，幂级数，Abel定理；Taylor级数的准备；Taylor级数3知识要点： |z |k 收敛k1

zk1

k 收敛；

使得幂级数|z

czkk0

|zR在上有个收敛点，则它在

内处处绝对收敛； k |zR0

czk 在k0

上有个发

|z

处处发散。幂级数的收敛圆；幂级数的和函数的性质；幂级数在收敛圆内可逐项求导，可逐项积分；11z

Taylor级数展开的基本工具；f(z

zD 解析，0

D D，则在任一全含于

内的z 的U邻域

(z0

（

0）内有0f(z) cnn0

(zz)n0（2-58）其中，对n有f(n)(z)c 0n 《复变与积分变换教案》第九次课1Taylor种方法。2讲课段落：Taylor级数揭示解析函数的内涵；Taylor级数的唯一性定理；Taylor级数的间接展开方法。3知识要点：初等函数的幂级数展开；揭示初等函数的解析函数的内涵；Taylor

zf z (f z 在 的某邻域内的幂级数，其系数。Taylor级数的间接形成的各种方法。《复变与积分变换教案》10次课1教学目标：孤立奇点的定义，环域内解析函数的Laurent级数,接展开的各种方法。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点；Laurent级数的推导；Laurent级数的特性；Laurent级数的间接展开方法。3知识要点：空心领域内的解析函数；圆周外区域内的解析函数；Laurent级数；Laurent级数的唯一性；Laurent级数的间接展开方法；《复变与积分变换教案》11次课1教学目标：孤立奇点的分类，解析函数的极点，各类孤立奇点的判别。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点分类；Laurent级数的特性判别孤立奇点的类型；解析函数的极点的判别法。3知识要点：Laurent分类；Laurent级数给出有限点处孤立奇点分类；可去奇点和本性奇点；解析函数的极点的特征；解析函数的零点和极点的关系。《复变与积分变换教案》12次课1数的计算。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数；解析函数的留数定理；可去奇点和本性奇点处的留数解析函数的极点处的留数。3知识要点：孤立奇点处的空心领域内的解析函数的Laurent分；Cauchy积分定理的留数表示形式；可去奇点和本性奇点处的留数的特性描述；解析函数的极点处的留数的几个公式；解析函数的全部留数的和谐关系。《复变与积分变换教案》13次课1教学目标：留数方法在计算复积分中的应用。定积分的围道积分方法。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数在计算复积分中的应用；被积函数为有理函数复合三角函数型的定积分的围道积分方法；被积函数为有理