32不定积分的计算课件

T15求（2）解：

1T15求（2）解：1求解：2求解：233第二节不定积分的计算二、分部积分法一、换元积分法

——第二类换元法三、有理函数积分简介4第二节不定积分的计算二、分部积分法一、换元积分法三、如利用三角公式去掉根号,再利用第一换元法求解．=？5如利用三角公式去掉根号,再利用第一换元法求解．=？5如果被积函数含有和，常令、、进行代换去根式，这种方法称为三角代换，它是第二类换元法的重要组成部分.

方法一：利用三角代换，变根式积分为三角有理积分6如果被积函数含有例1求解则（也可设）于是7例1求解则（也可设例2求解：则于是8例2求解：则则于是9则例3求解10例3求解10如果被积函数含有可令进行代换去根式；

方法二：利用根式代换，变根式积分为多项式积分令得即所以例4求解：11如果被积函数含有可令进行代换去根式；1212例5求解：所以13例5求解：所以13

方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分子高1次时利用倒代换方法方法。14方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分子高1

方法四：指数代换（适用于被积函数由指数函数构成的代数式。15方法四：指数代换（适用于被积函数由指数函数构成的两种换元积分法的异同：不同点：相同点：第一类换元积分法（凑微分法）是把被最后都必须还原变量。积式凑成某个函数的微分形式；类换元积分法是通过换元把积分化为容易求得原函数的积分。换元先后不同.而第二16两种换元积分法的异同：不同点：相同点：分部积分公式当不容易直接积出，而是一个换.这种求积分的方法叫做分部积分法.较为容易的积分时，可以采用这一公式作为转三、分部积分法17分部积分公式当不容例1求积分解（一）显然，选择不当，积分更难进行.解（二）18例1求积分解（一）显然，选择不当，积分关于的拆分,一般地有：其余的作为dv；时，取u=p(x)(p(x)是多项式函数),（1）当积分具有形式

p(x)dx,其余的作为u；等时，取dv=（2）当积分具有形式（3）对于等，u,dv的拆分比较灵活.19关于的拆分,一般地有：其余的例2求积分解20例2求积分解20例3求积分解21例3求积分解21解例4求有些形式的不定积分需要接连使用多次分部积（再应用分部积分公式）必须是相同类型的因子，否则将进入循环积分过程.分法才能积出,这一过程需注意，每次选择的u和dv22解例4求有些形式的不定积分需要接连使解有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现例5求移项并化简，得与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分。注：本题若选取u=cosx,dv=exdx,会得到同样的结果.23解有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现例解例6求先用换元法，令故从而再用分部积分法，得24解例6求先用换元法，令故从而1.有理函数：两个多项式的商表示的函数。（其中，且）①当时，称为真分式;当时，称为假分式。四、有理函数的积分251.有理函数：两个多项式的商表示的函数。（其中②假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。如：2.真分式的分解一般步骤：①对分母在实数范围内作标准分解②真分式化为部分分式之和(关键)。③确定待定常数（法1：通分，比较同幂项系数。法2：特殊值法）。26②假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。如：2.真分式的真分式化为部分分式之和的一般规律:(1)

分母中若有因式，则分解后为其中为待定常数。（2）分母中若有因式，则分解后为其中为待定常数。27真分式化为部分分式之和的一般规律:(1)

分母中若有因式解例1求设令，得令，得令，得，所以于是28解例1求设令，得令2929解设令，得令，得，所以令，得，所以例2求30解设令，得令3131解例3求32解例3求32

作业：P111T5(6)(10)T6(7)(8)(13)小结二、分部积分法一、换元积分法

——第二类换元法三、有理函数积分简介33作业：P111小结二、分部积分法一、换元积分法T15求（2）解：

34T15求（2）解：1求解：35求解：2363第二节不定积分的计算二、分部积分法一、换元积分法

——第二类换元法三、有理函数积分简介37第二节不定积分的计算二、分部积分法一、换元积分法三、如利用三角公式去掉根号,再利用第一换元法求解．=？38如利用三角公式去掉根号,再利用第一换元法求解．=？5如果被积函数含有和，常令、、进行代换去根式，这种方法称为三角代换，它是第二类换元法的重要组成部分.

方法一：利用三角代换，变根式积分为三角有理积分39如果被积函数含有例1求解则（也可设）于是40例1求解则（也可设例2求解：则于是41例2求解：则则于是42则例3求解43例3求解10如果被积函数含有可令进行代换去根式；

方法二：利用根式代换，变根式积分为多项式积分令得即所以例4求解：44如果被积函数含有可令进行代换去根式；4512例5求解：所以46例5求解：所以13

方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分子高1次时利用倒代换方法方法。47方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分子高1

方法四：指数代换（适用于被积函数由指数函数构成的代数式。48方法四：指数代换（适用于被积函数由指数函数构成的两种换元积分法的异同：不同点：相同点：第一类换元积分法（凑微分法）是把被最后都必须还原变量。积式凑成某个函数的微分形式；类换元积分法是通过换元把积分化为容易求得原函数的积分。换元先后不同.而第二49两种换元积分法的异同：不同点：相同点：分部积分公式当不容易直接积出，而是一个换.这种求积分的方法叫做分部积分法.较为容易的积分时，可以采用这一公式作为转三、分部积分法50分部积分公式当不容例1求积分解（一）显然，选择不当，积分更难进行.解（二）51例1求积分解（一）显然，选择不当，积分关于的拆分,一般地有：其余的作为dv；时，取u=p(x)(p(x)是多项式函数),（1）当积分具有形式

p(x)dx,其余的作为u；等时，取dv=（2）当积分具有形式（3）对于等，u,dv的拆分比较灵活.52关于的拆分,一般地有：其余的例2求积分解53例2求积分解20例3求积分解54例3求积分解21解例4求有些形式的不定积分需要接连使用多次分部积（再应用分部积分公式）必须是相同类型的因子，否则将进入循环积分过程.分法才能积出,这一过程需注意，每次选择的u和dv55解例4求有些形式的不定积分需要接连使解有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现例5求移项并化简，得与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分。注：本题若选取u=cosx,dv=exdx,会得到同样的结果.56解有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现例解例6求先用换元法，令故从而再用分部积分法，得57解例6求先用换元法，令故从而1.有理函数：两个多项式的商表示的函数。（其中，且）①当时，称为真分式;当时，称为假分式。四、有理函数的积分581.有理函数：两个多项式的商表示的函数。（其中②假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。如：2.真分式的分解一般步骤：①对分母在实数范围内作标准分解②真分式化为部分分式之和(关键)。③确定待定常数（法1：通分，比较同幂项系数。法2：特殊值法）。59②假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。如：2.真分式的真分式化为部分分式之和的一般规律:(1)

分母