华东理工大学线性代数作业答案(第五册)

华东理工大学线性代数作业簿（第五册）学院 专 业 班 级 学号 姓 名 课教师 向量组的线性相关与线性无关1

1,3,

,2

1,3,

,7 , 1

2x3,则2x .解：x1,3,6,8 T.选择题：下列命题正确的是（）.若向量组，1 2

， ，m

是线性相关的，则1

可由，2 ， ， 线性表示；3 m若向量组，1 2

，m

线性无关，，1 2

， ， ，mm1

线性相关，则

m1

可以由，1

， ，m

唯一线性表示；若1 2

， ，m

1 2

， ,m

亦线性相关，则1 1

，+2

， +m

也线性相关；若，1 2

， ，m

线性无关，则，1 2

，，

也线m1性无关.解：(B).向量可由,1 2

,...,s

线性表出的充分必要条件为( ).（A）存在不全为零的数kk1 2

,...ks

,使得k1

k1 2 2k ；s s（B）,1 2

,...,s

,线性相关；（C）,1 2

,...,s

)x有唯一解；（D）r(,1 2

,...,s

)r(,1

,...,s

,).解：(D).向量T出来.（1）1

2,3,0T，2

1,1,0T，3

7,5,T；（2）1

1,2,0T，2

2,3,0T，3

0,0,T.1A,,1 2 3

，则问题转变为非齐次线性方程Ax是否有解，故只需判断rA是否等于r(A).2 1而|30

7151，显然rA=23=r(A)Ax无0解，即不能由,,1 2 3

线性表示.2由|2 0

01 0 0~ 11 0

0101得r(A)=r(A)，11故能由,,1 2

线性表示，且1 2

.3已知向量1

,,T ，2

,1,T ， 2,3,T1,1,T，问取何值时，3可由1可由1

，，2 ， ，2

线性表示，且表达式唯一？不可由1

，，2

线性表示？A,,1 2 3

，则问题转变为判断非齐次方程组Ax是否有唯一解，有无穷多个解以及无解. 2 1 由| 21 3 1 及A是含参方阵，知可 32通过A来讨论Ax解的情况.=

221 3 =( 3①当0且1且1时，由克拉默法则知Ax有唯一解，即可由,,1 2 3

唯一线性表示；②当0时，

0 0

2 1 |0

1 30

1 0

3 1~0

11 12 50

0 2rA)r(A)Ax不能由,,线性1 2 3表示；1|

101011211121131~00114000 0rAr(A)=2＜3Ax可由,,1 2

不唯一地线性表示；1时，1|11

1 2

0 0 0

1010121112331~0214即rA)r(A，故不能由1,2,3线性表示；综合上述得：（1）当0且1且1时，即可由1,2,3唯一线性表示（2）当1时，可由1,2,3线性表示，且表达式不唯一；（3）当0或1不可由1,2,3线性表示。541 2 3

，线性相关，且其中任意3个向4量都线性无关，试证：必有全不为零的4个数k，k ，k，k ，1 2 3 4使得k1

+k1

+k2

+k3

=0.4证：由已知，必存在不全为零的四个数kk1 2

,k,k3

使下式成立kk1 1 2

k3

k=04 4k ,j,,则上式中可去除kj

对应的一项，进而得出余下的三个向量线性相关，而这与已知的任意3个向量都线性无关相矛盾，故kk1 2

,k,k3

全不为零.已知向量1

0，试证：向量组1

，， ，2

线性无关的充分必要条件是每一个向量i， 线性表示.i1

都不能由其前面的向量，，1 2t

可由其前面的t-1个向量线性表示（tm ），即存在不全为零的数,, , ，使1 2 t

= 成立，即存在不全为零的系数使1 1 2 2

t1

tt

01 1 2

t1

t

tm成立，而这显然与，1 2

， ，m

线性无关相矛盾.充分性 设1 2

， m

线性相关，则存在不全为零的数,,, 使成立

0 .1 2 m 1 1 2 2 m m, , ,中找到第一个非零的数（若全为零，则由 0知m m1 2 1 0矛盾，不妨设，则t1(

)，t 1 1 2 t

tt与 不能由t 1

， 2

t

，1 ， ， 线性无关.m判别下列各组向量的线性相关性： 0 0 0 0 （1

2

0

；1

2

1 1 2 3 3 2 3

0

1（3）1

122，22

3，44

5.66

（1）k1

0及k2

1k1 1

k2

0成立，所0以这两向量线性相关.

,0 0,（2）构造矩阵A,

1

1 0，则因为r(A)=3=1 2 3

1 3 2 11向量个数，知此三个向量线性无关.（3）A,,1 2 3

3 5，则由rA=2<3，即秩2 2 6小于向量个数，知此三个向量线性相关.8.已知向量 1,2,T， 2,1,1 2

， 3,4,aT，问3a取何值时，1线性无关？

2

线性相关；a取何值时，1

2 3A,,AA的行1 2 3列式是否等于零来判断向量组的线性相关性.123 1 2 321403 2 =15-3a=3（5-a）30a 06a9①若a5，则由0知向量组线性相关；②若a5，则由0知向量组线性无关.向量组的秩设A,B均为n阶非零矩阵,满足ABO，若r(A)n1，则r(B) .解：0.1 2 3 已知Q2 4 t,PO是三阶方阵，且PQO 3 6 9(A)t6时，r(P)1； (B)t6时，r(P)2；(C)t6时，r(P)1； (D)t6时，r(P)2.解：C.求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组. 0 2 20 1 1 0 1 1 （1）1

，0

0，

2，

0；

0

2

2 2（2）1

，

，

.1

020 1110

022 0 111 01A

,,,

A020~

002001 2 3 400

111

000 1022

0000 知rA=3，3，并可取非零行首非零元所在列对应的原向量作为最大无关组，取,,1 2 4

即可.1 1 1

1 1 1 2 0 0 1

11102）由B

,,1 2

=11

~ ~02 0 0 0 2

知0100 r(B)=3，即向量组的秩为3，且最大无关组即向量组本身.证明下列两个向量组是等价的.（1）1

,1,4T，2

1,0,T，3

0,1,T；（2）1

1,1,2T，2

0,1,T.A,1 2

,B,3 1

，由两向量组等价即可以互AXBBYA同时有解，由非齐次线性方程组AxAXBBYA的充要条件是rAr(AB及r(B)r(BA)，亦即现由A|B

r(A)=r(B)=r(AB)

1101 0111101 0110010111~011214312 00000 r(AB=2，即向量组（1）和（2）等价.已知向量组ee1 2

，e可由向量组，n 1 2

， ，线性n表示，试证，1 2

， ，n

线性无关，其中ei

（i=1，2，，n）是n阶单位矩阵的第i列.证：由定理“若向量组A可由向量组B线性表示则向量组A的秩不大于向量组B 的秩及e,e1 2

, ,en

的秩为n，知向量组,1

, ,n

的秩必大于等于n，而它只含n 个向量，故,1

, ,n

n，亦即,1 2

, ,n

的线性无关.1 2

， ，n

线性无关，且1

= +，1 2 = +，，=+ ，试讨论，， ， 2 2 3 n n 1 1 2 n相关性.A,1 2

, ,n

B,1 2

, ,n

依题意，则有

1 B,

,,

=,

,,

1

=AC1 2 n 1

n 1其中C为n阶方阵，而CA

0, nn

，由,1 2

, ,线n①当n 为偶数时，即C 为降秩阵时，由B=AC 及r(B)r(C)n知B必为降秩阵，亦即1 2

, ,线n性相关；②当n为奇数时，即C为满秩阵时，由B=AC及r(B)r(A)nB必为满秩阵，亦即1 2

, ,n

线性无关.A为mn矩阵，B为nm（1）如果mn，则A=0（2）如果mn且ABI，则r(B)m.1）rn，r(B)mim,n以及r(AB)mir(),r(Br(AB)n，而AB是mm矩阵，故由mn知AB是降秩阵，即AB0；（2）若mnr(B)m；另一方面由r(I)r(AB)r(B)及AB 是mm矩阵知有mr(B)，综合得r(B)m.A是mnr)1的充分必要条件是存在非零向量AT.证：充分性 由矩阵秩的不等式性质，一方面有 rminr(r(T)而r()r(T)1，即rA1rr(r(T1r)1，综合得r(A)1.必要性由矩阵的标准形分解理论，知存在两个可逆矩阵Pmm

,Qnn

,使A=PNQ，其中N为A的标准形，由r(A)1，知0 N00

1

10

0

0A=P Q=PPQ，0O

0 010若记P