经济应用数学-24二元函数的偏导数课件

第2章导数与微分

2.4二元函数的偏导数偏导数的定义高阶导数全微分

基本要求第2章导数与微分2.4二元函数的偏导数偏导数2.4.1偏导数的定义在点设函数的某一领域内有定义，当y固定在而x在处有增量时，相应的函数有增量，如果有极限存在，则称函数在点处对x可导，并称此极限为函数在点处对x的偏导数.2.4.1偏导数的定义在点设函数的某一领域内有定义，当y即定义为记作类似的，函数在点处对y的偏导数即定义为记作类似的，函数在点处对y的偏导数称为二元函数对于x的偏导函数记作即对于二元函数如果只有自变量x变化，自变量y固定，这时它就是x的一元函数，函数对x的导数，就对y的偏导数，记为类似的，可定义函数称为二元函数对于x的偏导函数记作即由定义可以看出：求时，只要把y看作常量而对x求求时，只要把x看做常量而对一求导数即可.导数，偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如三元函数在点处对x的偏导数定义为()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=¢®即由定义可以看出：求时，只要把y看作常量而对x求求时，只要例4.1

求在点（1，2）处的偏导数解例4.2

求的偏导数解例4.1求在点（1，2）处的偏导数解例4.2求的例4.3

求的偏导数解等式两端求导：解出例4.3求的偏导数解等式两端求导：解出是一个整体记号，不能看作分子与分母之商

与一元函数不同，偏导数的记号说明2.4.2.高阶导数与一元函数类似，二元函数的偏导函数仍然是x与y的二元函数，如果这两阶偏导数。个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二是一个整体记号，不能看作分子与分母之商与一元

四个二阶导数按照对变量求导次序的不同，函数

有下列其中混合偏导数称为四个二阶导数按照对变量求导次的偏导数统称为高阶偏导数例4.4

设解同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例4.4设解同样可得三阶、2.4.3全微分形式的不变性可得因此：显然例4.5

设，有一元复合函数微分2.4.3全微分形式的不变性可得因此：显然例4.5定义2.6

如果函数的全增量可表示为可微分，而称为函数的全微分，记作dz其中A、B不依赖于而仅与x、y有关，则称函数定义2.6如果函数的全增量可表示为可微分，而称为函于是全微分公式又可以写成与一元函数一样，当x，y是自变量时，定理2.5（必要条件）如果函数在点（x,y）可微分，则函数在该点的偏导数必定存在，且函数在点（x，y）的全微分为于是全微分公式又可以写成与一元函数一样，当x，y是自变量时，例4.6

计算函数的全微分解

因为所以例4.6计算函数的全微分解因为所以第2章导数与微分

2.4二元函数的偏导数偏导数的定义高阶导数全微分

基本要求第2章导数与微分2.4二元函数的偏导数偏导数2.4.1偏导数的定义在点设函数的某一领域内有定义，当y固定在而x在处有增量时，相应的函数有增量，如果有极限存在，则称函数在点处对x可导，并称此极限为函数在点处对x的偏导数.2.4.1偏导数的定义在点设函数的某一领域内有定义，当y即定义为记作类似的，函数在点处对y的偏导数即定义为记作类似的，函数在点处对y的偏导数称为二元函数对于x的偏导函数记作即对于二元函数如果只有自变量x变化，自变量y固定，这时它就是x的一元函数，函数对x的导数，就对y的偏导数，记为类似的，可定义函数称为二元函数对于x的偏导函数记作即由定义可以看出：求时，只要把y看作常量而对x求求时，只要把x看做常量而对一求导数即可.导数，偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如三元函数在点处对x的偏导数定义为()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=¢®即由定义可以看出：求时，只要把y看作常量而对x求求时，只要例4.1

求在点（1，2）处的偏导数解例4.2

求的偏导数解例4.1求在点（1，2）处的偏导数解例4.2求的例4.3

求的偏导数解等式两端求导：解出例4.3求的偏导数解等式两端求导：解出是一个整体记号，不能看作分子与分母之商

与一元函数不同，偏导数的记号说明2.4.2.高阶导数与一元函数类似，二元函数的偏导函数仍然是x与y的二元函数，如果这两阶偏导数。个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二是一个整体记号，不能看作分子与分母之商与一元

四个二阶导数按照对变量求导次序的不同，函数

有下列其中混合偏导数称为四个二阶导数按照对变量求导次的偏导数统称为高阶偏导数例4.4

设解同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例4.4设解同样可得三阶、2.4.3全微分形式的不变性可得因此：显然例4.5

设，有一元复合函数微分2.4.3全微分形式的不变性可得因此：显然例4.5定义2.6

如果函数的全增量可表示为可微分，而称为函数的全微分，记作dz其中A、B不依赖于而仅与x、y有关，则称函数定义2.6如果函数的全增量可表示为可微分，而称为函于是全微分公式又可以写成与一元函数一样，当x，y是自变量时，定理2.5（必要条件）如果函数