二次函数综合题2022年广州数学中考二模汇编

二次函数综合题2022年广州数学中考二模汇编1.如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A,B两点，。4=1,与y轴交于点C,连接AC,tan/。4c=3,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求点A,C的坐标；(2)若点P在抛物线上，且满足^LPAB=2AACO,求直线PA在与y轴交点的坐标；(3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N.求证：DM+DN为定值，并求出这个定值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-V3,过点4(一3,2⑹和点B(2,V3),与y轴交于点C,连接4C交x轴于点D,连接。4,OB.备用图(1)求抛物线y=ax2+bx-g的函数表达式；⑵求点D的坐标：(3)Z.AOB的大小是 ；(4)将△OCD绕点。旋转，旋转后点C的对应点是点。，点D的对应点是点D',直线AC与直线BD,交于点M,在4OCD旋转过程中，当点M与点C重合时，请直接写出点M至I」AB的距离.3.如图①，AABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6,以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.等腰直角&DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE=6.抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点.(参考数据：高=与1，看=等)(1)求a,b,c：ADEF经过怎样的平移后，点E与点8重合？求出点E与点8重合时，点F的坐标;ADEF经过怎样的平移后，0E与直线AC和BC均相切？.如图，已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于A,8(3,0)两点，与y轴交于点C,且OC=30A,设抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M,N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否存在点Q，使AMNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由..如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-3),A点的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的解析式；(2)若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；(3)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使4QBC为直角三角形的点Q的坐标..二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=和直线y=x+m的交点.(1)若直线y=x+m过点0(0,-3),求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；(2)试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；(3)在(1)的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C,与x轴的右交点为A,试在直线y= 上求异于M的点P,使P在△CM4的外接圆上..已知抛物线G：y=a/+加-|(aH0)经过点4(1,0)和B(-3,0).(1)求抛物线G的解析式，并写出其顶点C的坐标；(2)如图1,把抛物线G沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线此时点4,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线G上且在x轴的上方，若4DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN±EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan^ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长..已知关于x的二次函数y=/+Qk-1沈+炉一1,且关于x的方程/+（2k-l）x+fc2-1=0的两根的平方和等于9...彳....那.书.产2i；ii-4-3-2-L（i）求函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象与x轴从左至右分别交于A、B两点，在图中所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象，点M是位于对称轴右侧函数图象上的一点，且锐角AZIMB的面积的等于3,求点M的坐标.（3）在（2）的条件下，过点M及点E（1,0）的直线与抛物线交于点P（点P不与点M重合），求证：XAMP是直角三角形，并求4AMp的面积.答案答案【答案】0/1=1,tanz.0AC=3,C的坐标分别为(1,0),(0,-3)；则0CC的坐标分别为(1,0),(0,-3)；(2)抛物线y=x+bx+c(2)抛物线y=x1+b+c=0,c=-3,••抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3；①若点P在x轴下方，如图1,延长AP到“，使AH=AB,过点B作B/_Lx轴，连接BH,作BH中点G,连接并延长AG交B1于点F,过点H作1BI于点/,v当x2+2x—3=0,解得：Xj=-3>x2=1»••B(-3,0).4(1,0),C(0,-3),OA=1,OC=3,AC=Vl2+32=V10,AB=4,Rt△AOC中，sin/AC。=—=—,cosZ.ACO=—,AC10 10AB=AHfG为BH中点，•・AG1BH,BG=GH,LBAG=Z.HAG,EPLPAB=ZlBAG.・•"AB=2UC0,••4BAG=Zj4C。，Rt△ABG中，^AGB=90°,sin/B4G=吧=叵，AB10,:Z-HBl4-Z.ABG=Z.ABG+/.BAG=90°,:.Z-HBI=Z-BAG=Z.ACO9Rt△BHI中，zB/H=90°,sinzHB/=—=^2,cosaHBI=—=—,BH10 BH10BI=^-BH=-,11 12Qnw，yn=一w，即由点A,H的坐标的，直线AH的表达式为：y故直线PA在与y轴交点的坐标为(0,-；)；②若点P在x轴上方，如图2,在AP上截取AH'=AH,则H'与H关于x轴对称，・•・哈状)，同理可得，直线AH':y=--x+-,4 4故直线PA在与y轴交点的坐标(0,?；综上，直线PA在与y轴交点的坐标为(。,一?或(。，3；DM+DN为定值，v抛物线y=x2+2x—3的对称轴为：直线x=—1,・•・D(—1,0),xM=xN=-1,设Q(t/2+2t—3)(—3VtV1)»由点AfQ的坐标得，直线AQ:y=(t+3)x-t-3,当x=-1时，y”=-t—3—t—3=-2t—6,：•DM=0—(—2t—6)=2£+6,同理可得，直线BQ.y=(t-l)x+3t-3,当x=-1时，yN=-t+l+3c-3=2£—2,DN=0-(2t—2)=-2t+2*:.OM+DN=2£+6+(—2t+2)=8,为定值.2.【答案】(1)v抛物线y=ax2^-bx-y[3过点4(一3,2>/5)和点8(2,百),!_2yf3a=~1b聋，抛物线的函数表达式为：、=等/+个》一声.(2)当％=0时，y=ax2bx—y[3=-V3,.・・C(0,-V3).设直线AC解析式为：y=kx+c,.3k+c=2>/3,献彳旦(k=—V5,(0+c=-V3,解得：[c=-V3,直线AC解析式为y=-Wx-a,当y=0时，-V5x-V5=0,解得：x=-1.・・・D(-l,0).(3) 90°⑷点M到AB的距离为警或竽.【解析】(3)如图1,连接AB.•••4(-3,2V3),B(2,V3),0A2=32+(275)2=21,OB2=22+(V3)2=7,AB2=(2+3)2+(V3-2V3)2=28,OA2+OB2=AB2,Z.AOB=90°.图1⑷过点M作MH1AB于点H,则MH的长为点M到AB的距离.如图2,当点M与点C重合且在y轴右侧时，••△OCD绕点。旋转得△。。少(即△OMD),OM=OC=V3,OD'=OD=1,/.MOD'=乙COD=90°,MD'=VT+T=2,Z.MD'0=60°,Z.OMD'=30",••/.MOD'=Z.AOB=90°,••/.MOD'+/.BOM=Z.AOB+Z.BOM,即/.BOD'=/.AOM,：OA=VH,OB=V7,.空—_op1OA~y/21-V5-0M，/.△BOD'S△AOM,Of)' 1ZBD'O=乙4M。=60",—=4=,AMy/3■■/.AMD'=/.AMO+Z.OMD'=60°+30。=90°,即AM±BD',设BD'=t(t>0),则AM=V3t,BM=BD'-MD'=t-2,v在RtAAMB中，AM2+BM2=AB2,(V3t)2+(t-2)2=28,解得：ti=-2(舍去)，t2=3,AM=3GBM=1,••S“MB= -BM=\AB-MH,....AMBM3bxi3y/21•・MH=———=—7=-= ;AB2V7 14如图3,当点M与点C重合且在y轴左侧时，/MOD'-乙4。。'=N40B—乙4。。'，即乙40M=NB。。'，同理可证：△aOMsAB。。，

on11••/.AMO=ZBD'O=180°-ZMD'O=120°,空•=%,AM-J3/.AMD'=/.AMO-/.OMD'=120°-30°=90°,即AM1BD',设BD'=t(t>0),则AM=V3t,BM=BD'+MD'=t+2,v在Rt△AMB中，AM2+BM2=AB2,••(V5t)2+(t+27=28,解得：G=2,t2=—3(舍去)，AM=2V3,BM=4,TOC\o"1-5"\h\z1 1-S^amb=\ambm=\abmh,AMBM 26X4 4\[21：•MH= =——= ,AB2V7 7综上所述，点M到AB的距离为要或警.14 73.【答案】3.在Rt△ABC中，lCAB=60",Z.ACB=90",BC=6,1•/.ABC=30°.OC=BC-sinz.ABC=6xsin30°=3,••点C的坐标为(0,3):在Rt△COB中，OC=3,LOBC=30°,.・.OB=OC•cotZ-OBC=3xcot30°=3>/3,二点B的坐标为(3V3,0)；在Rt△AOC中，OC=3,/,CAO=60°,•.AO=OC•cotZ.CAO=3xcot60°=V3»••点A的坐标为(-V3,0).将4(-V3,0),8(3•0),C(0,3)代入y=ax2+bx+cf得:(3q-3b+,27q+3同(c=3,.2yf3o・・Q= ,b= 9C=3.(2)当等腰直角ADEF的直角顶点户在y轴负半轴时,vDE=6,OF=OF=-DF=-x6=3,2 2.••点F起始位置的坐标为（0,-3）,点E起始位置的坐标为（3.0）.••点B的坐标为（3V3.0）,BE=OB-OE=3V3-3,DEF沿x轴正方向（向右）平移（3V3-3）个单位长度，可使点E与点B重合，当点E与点B重合时，点F的坐标为（373-3,-3）.⑶设OP的半径为r,QP与直线AC和BC都相切，有两种情况：①圆心Pi在直线AC的右侧时，过点Pi作PiQilAC,垂足为Qi，作P/ilBC,垂足为%,如图③所示.Z.ACB=90",••四边形QiCR$i是矩形.••OP1与AC,BC相切于点Qi，R1，RJi=PiQi9•矩形Q1CR/1是正方形.设QiC—CRr=R1P1=P1Q1=:.在Rt△PlR1B中，BRi=R1P1cotZ-CBA=^cotBO0=y/3^,BC=CRi+BR[=+>/5丁1=（V3+l）r*i»又・・,BC=6,••（V3+1吊=6,•』=高=竿=3（巡-1）=36-3・P]B=2RR=2rl=2（38-3）=6y/3-6,OP】=OB-BPi=3V3-（6V3-6）=6-3遍，••Pi的坐标为（6-373,0）.■■OE=3,EPi=OE-OP1=3-（6-3V3）=38-3,••把4DEF沿x轴负方向（向左）平移（3x/3-3）个单位长度，可使OE与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2LAC,垂足为（22，作P2R2-LBC,垂足为R2<如图④所示.••/.ACB=90",/.R2CQ2=90°,••OP2与AC,BC相切于点（?2，氏2，矩形q2cr2p2是正方形.设Q2c=CR2=R2P2=P2Q2=r2,在Rt△P2R2B中，BR2=R2P2C0X.Z.CBA=r2cot30°=V3r2,,1,BC=BR2—CR2=V3r2—r2=（V3—l）r2,又vBC=6,（V3—l）r2=6,

••r2= =$.+i=3(V3+1)=3V3+3,P2B=2R2P2=2r2=2(36+3)=6V3+6,0P2=BP2-OB=6V3+6-3V3=6+373,••P2的坐标为(-6-3V3,0).OE=3,OP2=6+3V3,EP2=OE+OP2=3+(6+3V3)=9+36••把4DEF沿x轴负方向(向左)平移(9+3V3)个单位长度，可使OE与直线AC和BC均相切.综上所述，把4DEF沿x轴负方向(向左)平移(3V3-3)或(9+36)个单位长度，可使QE与直线AC和BC均相切..【答案】(1)由y=ax2-2ax+b可得抛物线对称轴为直线x=l,由8(3,0)可得4(-1,0)；vOC=304,••"(0,3)；依题意有：｛忆慧+6=°，解得｛MU:.抛物线的解析式为y=-x2+2%+3.(2)存在.①由C点(0,3)和x=l可得对称点为P(2,3),此时DC=DP,△PDC是等腰三角形，②设P2(xty),・・C(0,3),P(2,3),・・CP=2,v0(1,4)，*.CD=y/2<2,:.PC不可能与CD相等：当CP=DP时，>PDC是等腰三角形.vCPl=(3—y)2+x2,DP；=(x—l)2+(4—y)2,•・(3—y)2+x2=(x—l)24-(4—y)2.将y=-x2+2x+3代入可得：x=巴/，5-V5**y= ；••・&(喈,学).⑶①②存在，且Q2(2-V5,o),Q3(2+VS⑶①②rQ是直角顶点，由对称性可直接得Qi(l,O)；fN是直角顶点，且M,N在x轴上方时；设Q2(t,0)(t<1),则N(t,-t2+2t+3),MN=NQ2=2Q1Q2,-t2+2t+3=2(1-t).vt<1,Q2(2-V5,0)；由对称性可得Q3(Z,0)；③若N是直角顶点，且M,N在x轴下方时；同理可得：(?4(一遍,0);由对称性可得Qs(遍+2,0).综上，点Q存在，且Qi(l,0),(?2(2-V5,O),(?3(2+V5,0),Q4(-V5,0),Q5(V5,0)..【答案】4(-1,0),C(0,-3)在y=M+bx+c上，.,1—b+c=0,'lc=-3,解得：F=w••二次函数的解析式为y=%2-2%-3.(2)在y=/-2%-3中，令y=0可得0=/-2%-3,解得x=3或x=-1,・・8(3,0),解得:设BC所在的直线方程为y=kx+b(k40),把B(3,0),C(0,-3)代入得：仔十巴解得:9=—，k=1,b=-3,经过B,C两点的直线方程为：y=x-3,如图，过点P作轴，垂足为D,与直线BC交于点E,设点P的坐标为(s/一2x-3),则E(x,x-3),•••EP=(x—3)—(x2—2x-3)=3x—x2.•••AB—4.OC=3,OB—3>S四边形ABPC=SaABC+S&BCP=1x4x3+1(3x—x2)x3当时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为G，一孩），•••四边形ABPC的最大面积为g.(3)vy=%2—2x—3=(%—I)2—4,••对称轴为X=1,二可设Q点坐标为

••8(3,0),C(0,-3),BQ2=(1-3)2+t2=t2+4,CQ2=l2+(t+3)2=t2+6t+10,BC2=18,••AQBC为直角三角形，有Z.BQC=90°,Z.CBQ=90°和Z.BCQ=90。三种情况，①当LBQC=90°时，则有BQ2+CQ2=BC2,即t2+4+t2+6t+10=18,解得t=带巨或1=三巨，此时Q点坐标为(1,三场)或(1，三身)；②当/.CBQ=90°时，则有BC2+BQ2=CQ2,B|Jt2+44-18=t24-6t+10,解得t=2,此时Q点坐标为(1,2)；③当Z.BCQ=90°时，则有BC2+CQ2=BQ2,即18+ +6t+10=t?+%解得t=-4,此时Q点坐标为(1,-4)；综上知Q点的坐标为(1，驾亘)或(1，二#)或(1，2)或(1，一4).6.【答案】(1)把0(0,-3)坐标代入直线y=x4-m中，得m=-3,从而得直线y=x-3.由M为直线y=与直线y=x-3的交点，得,二一,解得仁;、ty=x-3,Ua得M点坐标为M(2,-l).M为二次函数y=x2+px+q的顶点，••其对称轴为x=2,由对称轴公式：x=-\得*=2,・.p=-4；•・二次函数y=x24-px4-g的解析式为：y=x2—4x+3；[也可用顶点式求得解析式：由M(2,—l),得y=(x—2)2—l,展开得y=——4%+3]f (x=-^m(2) 是直线和y=x+m的交点，得丫一一之/解得: x3,2 (y=%4-m,ly=-m,得M点坐标为从而有一巳=一2血和的机)2 3 4 3y=xm,j=/+2工+q解得p=,m；q=得x24-(p-y=xm,j=/+2工+q该一元二次方程根的判别式d=(p-l)?一4(q-m)=(gm-1)-4^m2+ -m)=1>0,••二次函数y=X2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点.（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x2-4x+3,当x=0时，y=3.••点C的坐标为C（0,3）.令y=0,EPx2—4x+3=0,解得=1,x2=3,二点A的坐标为4（3,0）.由勾股定理，得AC=3vL；M点的坐标为M（2,-1）,过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2,0）,由勾股定理，得4M=或；过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0,-1）,由勾股定理，得CM=V42+22=V20=2V5.e•AC2+AM2=20=CM2,••△CMA是直角三角形，CM为斜边，/.CAM=90".直线y=-；x与△CM4的外接圆的一个交点为M,另一个交点为P,则ZCPM=90°.即△CPM为直角三角形.设P点的横坐标为X,则过点P作x轴垂线，过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E（如图），则E（x,-1）.过P作PF_Ly轴于点F,则F（0,-1x）.在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2=（-：x+1）2+（2-x）2=：x2-5x+5.在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=x2+（3+1x）2=^x2+3x+9.在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2,得-x2+3x+9+-x2-5x+5=20,化简整理得5x2-4 44x—12=0,解得Xj=2.x2=~当x=2时，y=-l,即为M点的横、纵坐标.p点的横坐标为一肩纵坐标为I，-哈，）7.【答案】,:抛物线Cr:y=ax24-bx-1(a0)经过点71(1,0)和B(-3,0),

1a=？b=1,q1a=？b=1,23解得9a-3b-^=Qt••抛物线G的解析式为y=1x2+x-1,y=1x2+x-|=1(x+I)2-2,••顶点C的坐标为(-1,-2).⑵如图，作CHLx轴于H,・・4(1,0),C(-l,-2),・・AH=CH=2,・・Z.CAB=Z.ACH=45°,・・直线AC的解析式为y=x-l,・・△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，zDFF=45°,乙DEF=(ACH,・・EF//y轴，・・DE=AC=2>/2,・・EF=4,设F(rn,^m2+m—1)»则E(jn,m—1),・.EF=|m2+m—g—(m+1)=4,解得m=±3,・•点F在无轴上方，・・F(3,6).(3)①tanzE/VM的值为定值，tanzE/VM=2；如图，・・DFLAC,BCLAC,・・DF//BC,vDF=DE=AC=BC,・・四边形DFBC平行四边形，・•DFLACf・・四边形DFBC是矩形，过点N作NG1AC,交AC于点G,•NG=BC=AC=2>/2»・・ENIEM,・・乙MEN=900,・・NCEM+4NEG=90°,乙ENG+CNEG=90°,・・乙CEM=CENG,aAEGNs△MCE,.EM_EC"EN-NG,••F（3,6）,EF=4,••E（3,2）,vC（-l,-2）,EC=4V2,EM_EC_4>/2_** = = 7-=2,ENNG2V2FM・・tanzf/VM=—=2；EN・・tanzE/VM的值为定值，定值为2；②曝【解析】⑶①法二：••Z.NBM+Z.NEM=180°,B,M,E,N四点共圆，连接BE,则乙ENM=LEBM.PMFC4\/2tan/ENM=tan/EBM=—=—=^=2.EN BC2>l2②如图，点P应为直径MN的中点，连接PB,PE,则PB=PE,••点P在线段BE的中垂线上，点P经过的路径是线段P1P2,（考虑起点位置与终点位置），则