固体物理固体比热容

关于固体物理固体比热容第一页，共三十四页，2022年，8月28日

在十九世纪，由实验得到在室温下固体的比热是由杜隆-珀替定律给出的：

热容是一个与温度和材料都无关的常数。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德罗常数（6.03×1023atoms/mole）KB是玻尔兹曼常数（1.38×10-16尔格/开，尔格是功和能量的单位1焦耳=107尔格）。回想一下，1卡路里=4.18焦耳=4.18×107尔格。因此，（2.90）所给出的结果cal/degmole（2.91）（2.90）固体比热的经典理论第二页，共三十四页，2022年，8月28日

杜隆-珀替定律的解释是基于经典统计力学的均分定理的基础之上的，该定理假设每个原子关于它的平衡位置做简谐振荡，那么一个原子的能量就为：（2.92）

在一个处于平衡状态的系统中，能量均分定理指出:对于上式中的其他项也都适用，因此在温度T时每个原子的能量都为E=3kBT固体比热的经典理论第三页，共三十四页，2022年，8月28日1摩尔原子的能量则为（2.93）

随后，Cv,由（2.90）式给出。后来发现，杜隆-珀替定律只适用于足够高的温度。对于一个典型固体Cv的值被发现随温度的影响具有如图2.9所示的行为。固体比热的经典理论第四页，共三十四页，2022年，8月28日

由图可知，在低温时，热容量不再保持为常数，而是随温度的下降很快趋向于零。固体比热的经典理论第五页，共三十四页，2022年，8月28日

为了解决这一问题，爱因斯坦提出了量子热容理论。根据量子理论，各个简谐振动的能量本征值是量子化的，即（nj=整数）ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固体比热的现代理论

把晶体看作一个热力学系统，在简谐近似下引入简正坐标Qi（i=1,2…3N）来描述振子的振动。可以认为这些振子独立的子系，每个谐振子的的统计平均能量：第六页，共三十四页，2022年，8月28日令零点能平均热能ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固体比热的现代理论第七页，共三十四页，2022年，8月28日第八页，共三十四页，2022年，8月28日其中——平均声子数在一定温度下，晶格振动的总能量为：第九页，共三十四页，2022年，8月28日HeatCapacityofSolids

固体热容上式对T求微商，得到晶格热容：上式分析了频率为ωj的振子对热容量的贡献，晶体中包含有3N个简谐振动，总能量为：第十页，共三十四页，2022年，8月28日HeatCapacityofSolids

固体热容总热容就为：第十一页，共三十四页，2022年，8月28日爱因斯坦模型假设晶体中原子的振动是相互独立的,而且所有原子都以同一频率ω0振动。ω0的值由实验选定，使理论与实验一致。不足之处：模型过于简化，得到的结果以指数形式趋于0，与实验中以T3变化不符。Einstein模型趋于零的速度太快！该模型的成功之处：证明Einstein模型由固体比热的现代理论可知：第十二页，共三十四页，2022年，8月28日经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时，

CV0，经典的能量均分定理无法解释。2.Einstein模型在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：

假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都

以同一频率0振动。即：第十三页，共三十四页，2022年，8月28日定义Einstein温度：高温下：T>>E

即第十四页，共三十四页，2022年，8月28日第十五页，共三十四页，2022年，8月28日在低温下：T<<E

即当T0时，CV0，与实验结果定性符合。根据Einstein模型，T0，但实验结果表明，T0，CV∝T3;第十六页，共三十四页，2022年，8月28日Einstein模型

金刚石热容量的实验数据第十七页，共三十四页，2022年，8月28日3.Debye模型假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看

成连续介质的弹性波。这表明，在q空间中，等频率面为球面。为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c。第十八页，共三十四页，2022年，8月28日4.Debye模型Einstein模型过于简化，固体中原子的振动不是孤立的。晶体中原子的振动采用格波的形式，频率有一个分布,Debye模型考虑了频率分布。（1）频率分布函g(ω)的定义在ω—ω+dω之间的简谐振动数为ΔN，定义频率分布函数为：

g(ω)称频率分布函数或振动模的态密度函数（视为连续函数）振动模对热容量的贡献只决定于它的频率，由频率分布函数，可以写出热容：写出g(ω)的解析表达式就可以计算出热容量。第十九页，共三十四页，2022年，8月28日在－＋d之间晶格振动的模式数为由m第二十页，共三十四页，2022年，8月28日定义Debye温度：对于大多数固体材料：D〜102K第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金刚石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日作变换：在高温下：T>>D，即第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日在低温下：T<<D，即第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日利用Taylor展开式：利用积分公式：第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV∝T3的实验结果。由此可见，用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好。第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日TqyqxmqmqT

在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以的声子对热容几乎没有贡献；只有那些的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为由于热激发，系统所获得的能量为：第二十九页，共三十四页，2022年，8月28日

CV∝T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到T~D/50，即约10K以下才能观察到CV随T3变化。

Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下，Debye理论是严格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。第三十页，共三十四页，2022年，8月28日In的Debye温度D随温度的变化第三十一页，共三十四页，2022年，8月28日densityofstates

模式密度（态密度？）g(ω)第三十二页，共三十四页，2022年，8月28日确定振动谱的实验方法

晶格振动的ω