第2.45章-电子论复习与习题

电子论复习中山大学物理科学与工程技术学院电子论复习第二章自由电子论第五章半经典电子论（外场中电子）第四章电子能带论1、Drude假设与应用2、Sommerfeld假设与应用3、Sommerfeld展开的应用1、Bloch定理2、近自由电子近似以及结论3、紧束缚近似以及应用4、能态密度1、电子半经典论结论及应用2、电子在恒定电、磁场中的运动3、导体、半导体、金属、半金属的能带解释4、电子与外场的相互作用效应电子论复习第二章自由电子论1、Drude假设与应用1）自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。2）独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时,忽略电子之间的碰撞，两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行。3）玻尔兹曼统计:

自由电子气服从玻尔兹曼统计;4）弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/，称为弛豫时间(即平均自由时间)。每次碰撞时,电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。（1）假设内容电子论复习（2）假设处理的问题欧姆定律E=j

，其中E为外加电场强度、为电阻率、j为电流密度。第二章自由电子论1、Drude假设与应用电子论复习（1）假设内容第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用

电子在运动中存在一定的散射机制。

电子在一有限深度的方势阱中运

动，电子间的相互作用忽略不计；

电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计；

电子的填充满足Pauli不相容原理；得出了费米能级，费米面等重要概念并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。提供

ρ(k)的计算依据提供ρ(E)的计算电子论复习（2）ρ(k)和ρ(E)第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用注1:系数2是因为考虑电子自旋注2：一维是线，有两个方向注2：二维是圆面注2：三维是球体电子论复习（3）T=0K时的计算第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用系统的自由电子总数为系统的总能量：电子论复习T>0K时的计算第二章自由电子论2、Sommerfeld展开的应用确定一维、二维、三维自由电子气在有限温度T时得费米能级这里我只考虑T>0的情况，因为T=0估计你们都清楚，我这里主要是展示如何Sommerfeld近似。N(E)不同维度不一样，但是f(E)都是一样的，我们Sommerfeld近似就是处理f(E)的。因为：根据Sommerfeld近似：令：电子论复习第二章自由电子论2、Sommerfeld展开的应用上式有：N取近似有：电子论复习二维问题，根本不需要用Sommerfeld近似。n=N/S，即为单位面积的电子数电子论复习电子论复习第四章电子能带论1、Bloch定理在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为为格矢为周期性势场，这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl为周期的周期函数。波函数有如下性质：或

布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数与一个具有晶体结构周期性的函数的乘积。电子论复习第四章电子能带论1、Bloch定理电子论复习第四章电子能带论2、近自由电子近似Born－Oppenheimer绝热近似：所有离子实都周期性

地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子

的碰撞。

Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互

作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。

所有离子实势场和其它电子的平均场是周期性势场,

电子在固体中将受到周期性势场的作用。——多种粒子问题就简化成多电子问题——多电子问题就简化成单电子问题（1）假设内容电子论复习第四章电子能带论2、近自由电子近似

需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。1）在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值Ek(0)为k的抛物线；2）由于周期势场的散射，当电子的Bloch波的波矢为k=2πn/a时，Bloch波的入射波与反射波形成驻波，无法传播；3）从而使得E(k)函数在k=2πn/a处断开，本证能量发生突变，出现能量间隔2|Vn|；4）间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值，形成能带。（2）能隙的由来电子论复习第四章电子能带论3、紧束缚近似（1）紧束缚与近自由的区别1）近自由电子模型（TheNearlyFreeElectronModel）该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。2）紧束缚模型（TheTight-BindingModel）该模型假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。Schrödinger方程：电子论复习第四章电子能带论3、紧束缚近似（2）紧束缚的计算电子论复习第四章电子能带论4、能态密度利用自由电子近似验证一下：与第二章结果一致！（2）画费米面：请注意我在第四章复习题中提到的两道题目电子论复习第五章外场中的电子1、电子半经典理论的应用已知一维晶体的电子能带可以写为，式中为晶格常数，求：1）布里渊区边界2）能带宽度3）电子在波矢k状态时的速度4）能带底部和顶部电子的有效质量

答：（1）（2）能带宽度电子论复习第五章外场中的电子1、电子半经典理论的应用（2）能带宽度极值条件：上式得唯一解是在第一布里渊区的解为当k=0时，E(k)取极小值，Emin=E(0)=0当k=π/a时，E(k)取极大值，所以能带宽度电子论复习第五章外场中的电子1、电子半经典理论的应用（3）电子的平均速度为（4）带顶和带底的有效质量分别为：电子论复习第五章外场中的电子2、电子在恒定电场或者磁场中的运动恒定电场恒定磁场K空间匀速循环运动实空间周期性振荡运动K空间沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动实空间沿磁场方向，电子作匀速运动；垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。电子论复习第五章外场中的电子2、电子在恒定电场或者磁场中