人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章立体几何与空间向量

课时作业第二课时球及其表面积与体积课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练球的体积与表面积1,2,3,5球的切、接问题4,6,7,8,9综合问题10,11,12,13,14,1516,17灵活乡点合数提彩(选题明细表A级基础巩固练1.已知底面边长为1,侧棱长为四的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(D)a32n「.A.一B.4JiC.2nD.y解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r=^Jl2+I?+(y/z)2=1,所以V球*—=手故选D..(2021•安徽安庆调研)已知在四面体PABC中，PA=4,BC=2逐,PB=PC=2V3,PA_L平面PBC,则四面体PABC的外接球的表面积是(C)A.160JiB.128JiC.40五D.32n解析：因为PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB_LPC,又PA_L平面PBC,所以PA±PB,PA1PC,即PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为7P星+PB?+PC2n6+12+12=2故该四面体的外接球半径为Via于是四面体PABC的外接球的表面积是4nx（"6）2=40n.故选C..已知A,B,C为球0的球面上的三个点，。01为4ABC的外接圆.若OOi的面积为4n,AB=BC=AC=00”则球0的表面积为（A）A.64nB.48nC.36nD.32n解析:如图所示,设球0的半径为R,O0.的半径为r,因为。的面积为4n,所以4n=",解得r=2,又AB=BC=AC=001,所以.芸=2r,解得sin60AB=2V3,故00,=273,所以R2=0O?+r2=（2V3）2+22-16,所以球0的表面积S=4n炉=64Ji.故选A.B.（多选题）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为6-1,则（ABC）A.正方体的外接球的表面积为12JiB.正方体的内切球的体积为半C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为解析:设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即fa,内切球的半径为棱长的一半，即今因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MN*^a-]*?a=V^T,解得a=2,即正方体的

棱长为2,C正确；正方体的外接球的表面积为4nX(6)2=12n,A正确;正方体的内切球的体积为岸B正确;线段MN的最大值为亭a+；=6+1,D错误.故选ABC..如图,在圆柱0@内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0。的体积为V„球0的体积为V2,则答的值是 .V2解析:设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱0。的底面圆的半径为R,高为2R,故氏嗡安..(2021•湖南长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC.ABG内有一个体积为V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,-3,则V的最大值是.解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面AABC的内切圆的半径为r,则卜6*8=9(6+8+10)-r,所以r=2,2r=4>3,不符合题意.则球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大,则2R=3,即故球的最大体积V=^nRn.答案.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是竽n，那么这个三棱柱的体积是.解析:设球的半径为r,则gJir*n，得厂2,则正三棱柱的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4V3,所以正三棱柱的体积为V也X(4V3)2X4=48V3.4答案：48班.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.解析:因为圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示.设球的球心为0,圆台上底面的圆心为0',则圆台的高00'=JoQ2—。‘Q2="52-42=3,据此可得圆台的体积为V=[nX3X(52+5X4+42)=61n.答案：61n.在半径为15的球0内有一个底面边长为126的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.解：(1)如图甲所示的情形，显然0A=0B=0C=0D=15.设H为4BCD的中心,则A,0,H三点在同一条直线上.因为HB=HC=HD=；X苧X12住12,所以OH=VOB2-HB2=9,所以正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.又Sabcd^X(12V3)2=108V3,4所以V三棱锥a-bcd=]X108V3X24=864V3.A甲⑵对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,SABcd=108V3,A乙所以V三棱锥A-BCD~|X1O8V3X6=216V3.综上,可知正三棱锥的体积为8646或216VlB级综合运用练.已知4ABC是面积为竽的等边三角形,且其顶点都在球0的球面上.若球。的表面积为16九则0到平面ABC的距离为（C）A.V3V3C.1 D.—2解析:设球0的半径为R,则4兀R2=16n,解得R=2.设4ABC外接圆的半径为r,边长为a.因为4ABC是面积为竽的等边三角形，所以,噂=竽,解得a=3,所以所以球心02 2 4 3 \ 43yj4到平面ABC的距离d=V/?2-r2=V4-3=1.故选C.11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点，ZCEF=90°,则球0的体积为（D）A.8y/6冗B.4y/6nC.2y/6nD.V6n解析:因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF〃PB,cA因为NCEF=90°,所以EF_LCE,所以PB_LCE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证ACJ_平面BDP,所以PB±AC,又ACnCE-C,AC,CEu平面PAC,所以PBJ_平面PAC,所以PB_LPA,PB±PC,因为PA=PB=PC,AABC为正三角形，所以PA_LPC,即PA,PB,PC两两相互垂直,将三棱锥P-ABC放在正方体中.因为AB=2,所以该正方体的棱长为遮，所以该正方体的体对角线长为传,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R考,所以球0的体积V]Ji*nX（y）3=V6Ji.故选D..唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图①所示），它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图②），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为Scm；半球的半径为Rcm）,要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R的取值范围为（D）C(JI,舄］D.［底，解析:设圆柱的高度与酒杯的容积分别为h,V,则表面积S=2JiR2+2nRh,故nRh=^-nR2,所以酒杯的容积V』nR3+nR2h=-nR3+(^-jiR2)R=--R34r^1hR3,3 3 2 3 2 3所以［wgnR2,又”R2>0,所以nR2<^|nR2,解得感WR<g.yj10n y2it故选D..已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球表面积的白则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.

由题意得nr2=^-4JiR2,16所以管.4根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,且AB±0,C,所以00i=Vz?2-r2=p因此体积较小的圆锥的高为A0尸R-受*体积较大的圆锥的高为B0lR+统R,故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.伟大的阿基米德的墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=nr2h,由题意知圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为r,V网锥nr2h,V球=qnr3.又h=2r,所以V圆锥：V球：V圆柱71r2h：gnr，2：3.15.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=l,1=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积为S=4nr2+2nrl-4nXl2+2nX1X3=10n,该组合体的体积V=iJir3+nr2l^nX13+nX12X3^.C级应用创新练16.已知三棱柱ABJAB3的所有顶点都在球0的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同.若球0的表面积为20Ji,则三棱柱的体积为.解析：因为三棱柱ABC-A.B.C,的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形.设三棱柱底面边长为a,高为h,截面圆的半径为r,球半径为R,所以r嗡.因为球0的表面积为20n,所以4nR2=20n,解得R=V5.因为底面和侧面截得的圆的大小相同，所以（'+（今2=（含；所以a=V3h.①又因为（今2+（卷产R；②由①②得a=2V3,h=2,所以三棱柱的体积为N当乂（2V3）2X2=6V3.4答案：6617.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽屹”，是端午节大家都会品尝的食品.如图⑴的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为;若该六面体内有一球,则该球的体积的最大值为./'\/\A/一图⑴ 图(2)解析：由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1,则正四面体的高为J1-(辛产半,所以正四面体的体积为“工X1X—x^=—,3 2 2 312因为该六面体的体积是正四面体体积的2倍，所以该六面体的体积是:要使球的体积达到最大,则球与该六面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个顶点,把六面体分成了六个全等的三棱锥.设球的半径为R,则义(；X；X1X，•R),解得R二£6 3 2 2 9所以球的体积V与皓J鬻.於空立8帚口木.6 729第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练空间几何体的几何特征、直观图2,3,410空间几何体的体积与表面积1,5,6,8,912,13折叠与展开问题711综合问题14,15,16,17课时作业灵港彳、唬在数提就阚选题明细表A级基础巩固练1.《算术书》记载有求“困盖”的术:置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长1与高h,计算其体积V的近似公式V=/h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率ji近似取3,那么，近似公式V^l2h相当于将圆锥体积公式中的n近似取（c）.22c25TOC\o"1-5"\h\zA.—B.—7 8r157门355C. D. 50 113解析：V—nr2h—n,（―）^=-^—1^.由2至，得n.故选C.3 32n12Tt12-rr 942 502.（多选题）（2021•山东潍坊调研）下列关于空间几何体的叙述正确的是（CD）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体解析:A选项，当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;B选项，当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;C正确;D正确，如图,正方体ABCD一ABCD中的三棱锥C.-ABC,四个面都是直角三角形.故选CD..（多选题）如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是（AC）A.四棱柱 B.四棱台C.三棱柱 D.三棱锥解析:根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC..如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45。、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是A.2+V2B.1+V2C.4+2V2D.8+472解析：由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形,如图所示.由于。D'=2,D'C=2,所以0D=4,DC=2,在题图中过D'作D'H_LA'B'（图略），易知A'H=2sin45°=鱼,所以AB=A'B'=2A'H+DC=2V2+2,故平面图形的面积为丝-AD=8+4V2.故选D.（2021•山东聊城模拟）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示，DAJ_平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB〃CD〃EF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是（C）

A.96B.72C.64D.58解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥D-AGE,C-HBF和一个直三棱柱GAD-HBC.EGHFEGHF这个羡除的体积为V=2X-X|X2X6X4+^X6X4X4=64.故选C.（2021•河南郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（D）A.3JiB.—2C.—D.V5n2解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=l.所以圆锥的母线为1=>Jh2+/?2=V22+1-V5,因此S圆锥侧=nRl-1XV5Ji=V5Ji.故选D..如图，正三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A,路线为A-M-N-Ai,则蚂蚁爬行的最短路程是（A）A.y/aA.y/a2+9b2C.C4a2+9b2 D.Va2+b2解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b,宽为a,则其对角线AA的长为最短路程，因此蚂蚁爬行的最短路程为7dl+9b2.故选A..（2020•浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位:加）为2ji,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位:cm）是.解析:如图,设圆锥的母线长为1,底面半径为r,则圆锥的侧面积S触=nrl=2Ji,所以r•1=2.又圆锥的侧面展开图为半圆，所以「r=2几，所以1=2,所以r=l.答案：1.如图，在AABC中，AB=8,BC-10,AC=6,DB_L平面ABC,且AE〃FC〃BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一如图，取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.E所以V几何体=V三枝柱+V四枝锥.由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为X8X6X3=72.四棱锥D-MNEF的体积为V2=1•S梯形MNEF•DN-|x|x（1+2）><6X8=24,则几何体的体积为V=%+V2=72+24=96.法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB'=11 1CC,=8,所以V几何体二&v三棱柱=&•Saabc,AA'=1x24X8=96.B级综合运用练.（多选题）（2021•山东烟台调研）在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是（ABD）A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选ABD..（多选题）（2021・湖北武汉模拟）长方体ABCD-ABCD的长、宽、高分别为3,2,1,则（BC）A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C.的最短距离为3V2D.沿长方体的表面从A到C,的最短距离为2代解析:长方体的表面积为2X(3X2+3X1+2X1)=22,A错误.长方体的体积为3X2X1=6,B正确.如图(1)所示,长方体ABCD为BCD中,AB=3,BC=2,BB尸1,将侧面ABBA和侧面BCCB展开，如图(2)所示.图⑴ 图⑵连接AC„贝！］有AC,=V52+12=V26,即经过侧面ABB.A,和侧面BCC.B,时,A到G的最短距离是后;将侧面ABBA和底面ABCD展开,如图⑶所示,连接AC.,则有AGR32+32=3/,即经过侧面ABBA和底面ABCD时,A至UA的最短距离是3鱼;将侧面ADDA和底面ABCD展开,如图(4)所示.图⑶ 图(4)连接AG,则有AC尸342+22=2遥,即经过侧面ADDA和底面ABCD时,A到G的最短距离是2店因为3鱼〈2遍＜住,所以沿长方体表面由A到G的最短距离是3V2,C正确,D错误.故选BC.12.(2021•重庆诊断)如图，某文物需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8m,体积为0.5m3,其底部是直径为0.9m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2m,气体每立方米1000元，求气体的费用最少为(B)A.4500元B.4000元C.2880元D.2380元解析:因为文物底部是直径为0.9nl的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长最少为0.9+2X0.3=1.5(m).又文物高1.8m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m),则正四棱柱的体积V=L52X2=4.5(nO.因为文物的体积为0.5所以罩内气体的体积为4.5-0.5=4(m)因为气体每立方米1000元,所以气体的费用最少为4X1000=4000(元).故选B..如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=6xix22Xsin60°=6显(cm2),正六棱柱的体积为％=68X2=12禽(cm)圆柱的体积为V?="X0.52X2=］（cm3）,所以此六角螺帽毛坯的体积为V=V「V2=答案：（12遮C级应用创新练.如图,在正四棱锥P-ABCD中,Bi为PB的中点,Di为PD的中点，则棱锥A-BCDi与棱锥P-ABCD的体积之比是（A）A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3解析:如图,棱锥A-BCD1的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.因为Bi为PB的中点，以为PD的中点，所以棱锥B-ABC的体积和棱锥D-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的3棱锥C-PB.D,的体积与4棱锥A-PBD的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的二,则中间剩下的4棱锥A-BiCD］的体积%—/CD］二%一,贝1J^A-BiCDi:Vp-ABCD=^•4.故选A..（2021•广东佛山质检）已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足4SAB为等边三角形,且面积为4V3,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.B解析:设圆锥的母线长为1,由4SAB为等边三角形,且面积为4V3,所以尹sin乂倔解得1=4.又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.又r2+hJ=16,解得r=h=2\/2,所以圆锥的侧面积S=nrl=n•2V2X4=8V2Ji.答案：8«n.如图,3X3的正方形纸片,剪去对角的两个IX1的小正方形,然后沿虚线折起,分别粘合AB与AH,ED与EF,CB与CD,GF与GH,得到一几何体“。，记“Q”上的棱AC与EG的夹角为a,则下列说法正确的是.①几何体“Q”中,CG_LAE;②几何体“Q”是六面体；③几何体“Q”的体积为④cosa=-.解析:如图所示,取AG,CG,CE,EG的中点M,N,0,P,连接AN,EN,MN,ON,MP,OP,OM.由已知可得CE=CA=EG=AG=V§,所以AN_LCG,NE±CG,又因为ANANE=N,所以CG_L平面ANE,所以CG_LAE,故①正确；因为AB_LBC,AB_LBG,又因为BCGBG=B,所以AB_L平面CBG,同理BE_L平面CBG,所以平面ACB与平面CBE共面,平面AGB与平面GBE共面,AB与BE共线，所以该几何体为四面体,故②错误；因为BC=BG=1,CG=V2,所以4CBG为直角三角形，NCBG=90°,所以SacBG--XIX1=->又因为AE_L平面CBG,AE=2AB=2BE=4,所以该几何体的体积为vqxgx4q,故③正确；MP」AE=2,OP=iCG=—,2 2 2又因为MP〃AE,OP〃CG,CG±AE,

所以MP，OP,所以M0=a/MP2+P02苦,ON=NM」AC=①，2 2所以cosNONM-又因为AC〃网EG//NO,2ON・NM2x- 54所以NONM为异面直线AC,EG所成的角（或其补角），所以cosa4,故④正确.答案:①③④17.如图，在4ABC中,CA=CB=6,AB=3,点F是BC边上异于点B,C的一个动点,EF1AB于点E,现沿EF将4BEF折起到4PEF的位置,则四棱锥P-ACFE的体积的最大值为.解析:在4ABC中，CA=CB=6,AB=3,由余弦定理,可得cos由余弦定理,可得coscBC2+BA2AC23+9-3V3B= =——F=-2BC•BA2xV3x32设EF=x,则BE=PE=V3x(0<x<—),设NPEB=0,则四棱锥P-ACFE的高h=PEsin9=V3xsin。，四边形ACFE的面积为gx3Xfqx-岳岑-小，则四棱锥P-ACFE体积为:gxsin9X（呼-条与忘条（孚-理0=i（3x-2x3）,4当且仅当sin。=1,即。苫时,取等号，令y=^(3x-2x3)(0<x<^),4 2贝Uy'=(3-6x2)4(l+V^x)(1-低)，4 4令寸>0,得0<x号,令y，<0,得%X咨,所以函数y^(3x-2x3)(0<x<^)在(0,当上单调递增,在俘,f)上单4 L L ZZ调递减，所以当X考时,y=；(3x-2x3)取得最大值?，所以当0苫,时，四棱锥P-ACFE体积的最大值为彳.答案当4第2节空间点、直线、平面之间的位置关系灵港小混芯数提甚❽选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面的基本性质及应用3,4空间两条直线的位置关系1,2,5,6,7,8,9综合问题1011,12,13,14,15,1617,18A级基础巩固练.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线BC与EF所成角的大小为（C）） 71GAERA.30° B.45°C.60° D.90°解析:连接BD,DC（图略），则BD〃EF,故NDBC为所求的角，又Bd）产B1C=D1C,所以NDBC=60°.故选C.2.a,b,c是两两不同的三条直线，下列四个命题中，真命题是（C）A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a〃b,则a,b与c所成的角相等D.若a±b,b_Lc,贝!Ja〃c解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a_Lb,b±c,则a,c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C..给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（B）A.①B.①④C.②③D.③④解析:①显然正确;②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线,则两个平面相交,故③错误;④显然正确.故选B..如图所示，平面an平面B=1,A£a,BGa,ABA1=D,CGB,C轧则平面ABC与平面B的交线是（C）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析：由题意知,D£1,luB,所以D£B,又因为D£AB,所以D£平面ABC,所以点D在平面ABC与平面B的交线上.又因为Ce平面ABC.CeP,所以点C在平面B与平面ABC的交线上,所以平面ABCn平面B=CD.故选C..教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该尺子所在直线（B）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.异面解析：由题意,尺子所在直线若与地面垂直,则在地面上总有这样的直线，使得它与尺子所在直线垂直,若尺子所在直线与地面不垂直,则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直.综上,教室内有一尺子,无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，使得它与尺子所在直线垂直.故选B..（2021•甘肃兰州模拟）如图所示,在正方体ABCD-A.B,C.D,中,若点E为BC的中点，点F为BC的中点,则异面直线AF与C,E所成角的余弦值为（B）4DiC・匹D・22 5解析:不妨设正方体的棱长为1,取AD的中点G,连接AG,FG（图略），易知GA〃3E,则NFAG（或其补角）为异面直线AF与C.E所成的角.在△AFG中,AG=J12+C）2=苧,AF=J12+（泉2m,FG=1,于是cos/FAG逸2+('；T故选b.2x|xY3.如图,在四棱锥P-ABCD中，。为CD上的动点,/一04B恒为定值,且4PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是.解析:因为为定值,所以Szxabo为定值,即。到AB的距离为定值.因为。为CD上的动点,所以CD//AB,所以NPDC即为异面直线PD与AB所成的角.因为aPDC为正三角形，所以NPDC=60°.所以直线PD与直线AB所成的角为60°.答案：60°.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条.解析:如图，作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4条.答案：4.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EF1AB,则EF与CD所成角的大小为.解析:如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为aABD,△ACD的中位线.A由此可得GF〃AB,且GF=1AB=1,GE〃CD,且GE=1CD=2,所以NFEG或其补角即为EF与CD所成的角.又因为EF±AB,GF〃AB,所以EF1GF,因此,在RtAEFG中，GF=1,GE=2,sin/FEG匹士可得NFEG=30°,GE2所以EF与CD所成角的大小为30°.答案：30。.如图所示,正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是AB和AA)的中点.求证：(1)E,C,及F四点共面；(2)CE,DF,DA三线共点.证明：⑴如图，连接EF,CD„A.B.因为E,F分别是AB,AAi的中点，所以EF〃AB又因为AB〃CDi,所以EF〃CD”所以E,C,»,F四点共面.（2）因为EF〃CDi,EF<CDi,所以CE与D.F必相交,设交点为P,则由P£直线CE,CEu平面ABCD,得pe平面ABCD.同理Pe平面ADDiA,.又平面ABCDn平面ADDA=DA,所以P£直线DA,所以CE,D.F,DA三线共点.B级综合运用练.在空间中，已知直线1及不在1上两个不重合的点A,B,过直线1做平面a，使得点A,B到平面a的距离相等,则这样的平面a的个数不可能是（C）A.1个B.2个C.3个D.无数个解析：（1）如图，当直线AB与1异面时,则只有一种情况；⑵如图，当直线AB与1平行时,则有无数种情况,平面a可以绕着1转动;（3）如图，当1过线段AB的中垂面时,有两种情况.故选C.12.（多选题）（2021•北京一模）设点B为圆0上任意一点,A0垂直于圆0所在的平面,且A0=0B,对于圆0所在平面内任意两条相互垂直的直线a,b,有下列结论，正确的有（BC）A.当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角B.当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角C.直线AB与a所成角的最小值为45°D.直线AB与a所成角的最小值为60°解析:如图,AO=OB,直线a±b,点D,M分别为BC,AC的中点，则ZABC为直线AB与a所成的角，ZMD0为直线AB与b所成的角.设A0=0B=l,若NABC=60°,则0M=0D=MD,所以NMD0=60。，故B正确,A不正确；因为AB与圆0所在平面所成的角为45°,即直线AB与平面内所有直线所成的角中的最小角为45。，所以直线a与AB所成角的最小值为45°,故C正确,D不正确.故选BC..四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,贝EF的长为.解析:如图,取BC的中点0,连接0E,0F,因为OE〃AC,0F/7BD,所以0E与OF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC,BD所成的角为60°,所以NE0F=60°或NE0F=120°.当NE0F=60°时，EF=OE=OF=±2当NE0F=120°时，取EF的中点M,贝I」OM_LEF,EF=2EM=2X旦”42答案二或立.矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,现将4ABD绕BD旋转至AA'BD的位置，当三棱锥A7-BCD的体积最大时，直线A'B和直线CD所成角的余弦值为.解析:如图所示,因为矩形ABCD,可得AB//CD,A'所以直线A，B和直线CD所成角即为A'B和直线AB所成角，设NA'BA=O,当三棱锥A，-BCD的体积最大时，即A'0_L平面ABCD,因为AB=1,AD=V3,可得BD=2,在直角三角形ABD中，可得AO=A'0=y,所以AA，岑又AB=A'B=l,在aABA'中，由余弦定理得cos°=叱£B：,屋q,2AB•AB4所以直线A，B和直线CD所成角的余弦值为;.4答案34.如图所示,A是4BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.AC⑴求证:直线EF与BD是异面直线；(2)若AC_LBD,AC=BD,求EF与BD所成角的大小.⑴证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面,从而DF与BE共面，即AD与BC共面,所以点A,B,C,D在同一平面内，这与A是4BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线.(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则AC〃FG,EG〃BD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)，即为异面直线EF与BD所成的角.又因为AC_LBD,贝FG±EG.在RtAEGF中，由EG=FG忖AC,求得NFEG=45°,即EF与BD所成的角为45°..如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面；(2)m,n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下,若AC1BD.试证明：EG=FH.⑴证明：因为AE：EB=AH：HD,所以EH//BD.又CF：FB=CG:GD,所以FG/7BD.所以EH〃FG,所以E,F,G,H四点共面.⑵解：当EH〃FG,且EH=FG时，四边形EFGH为平行四边形.

因为EHAE因为EHAEmBDAE-^-EBni+l•，所以EH二含BD.同理可得FG=-^-BD,由EH=FG,得m=n,n+1故当m=n时，四边形EFGH是平行四边形.（3）证明：当m=n时，AE：EB=CF：FB,所以EF〃AC,又EH〃BD,所以ZFEH是AC与BD所成的角（或其补角），因为ACLBD,所以NFEH=90°从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.C级应用创新练.（多选题）（2021•山东泰安联考）如图，在正方体ABCD-ABCD中，点F是线段BG上的动点，则下列说法正确的是（ABC）A.无论点F在线段BG上怎么移动，都有A.F±B,DB.当F为BC,的中点时,才有A,F与B,D相交于一点,记为点E,且竿=2C.无论点F在线段BG上怎么移动,异面直线AF与CD所成的角都不可能是30°D.当F为BG的中点时,直线AF与平面BDC.所成的角最大,且为60°解析:对于A选项,在正方体ABCD-ABCD也连接AC,A0（图略），易知BD_L平面A,BCb又AFu平面A.BCb所以AF_LBD,故A正确;对于B选项,如图，当F为BG的中点时,连接B.C.AiD,B.C与BG交于点F,DyAF与BD共面于平面ABCD,且必相交,交点为E,易知△AQEs/iFBE所以警=聆=2,故B正确;对于C选项，点F从点B移至点C.,异面直线A.F与CD所成的角先变小再变大,当F为BG的中点时,异面直线A,F与CD所成的角最小,此时该角的正切值为日,最小角大于30°,故C正确;对于D选项,点F从点B移至点G,直线AF与平面BDC.所成的角先变大再变小，当F为BG的中点时,设点。为A在平面BDG上的射影,连接0F(图略)，则直线AF与平面BDG所成角的最大角的余弦值为V6黑=+=；,则最大角大于60°,故D错误.故选ABC.A]FX23218.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形,BCJL^AD,BEJL|FA,G,H分别为FA,FD的中点.BC⑴证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么？(1)证明：由已知FG=GA,FH=HD,可得GHJE^AD.又BCJL|AD,所以GHJLBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)解:因为BEJLiFA,G为FA的中点，所以BEJLFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF〃BG.由⑴知BGJLCH,所以EF/7CH,所以EF与CH共面.又DGFH,所以C,D,F,E四点共面.第3节空间直线、平面的平行知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线、平面平行的基本问题1,2,8直线、平面平行的判定与性质3,4,9,10平面、平面平行的判定与性质综合问题5,6,711,12,13,14,1516,17灵港小混芯数提甚课时作业❽选题明细表A级基础巩固练1.已知a,B表示两个不同的平面,直线m是a内一条直线,则“a//B”是“m〃B”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由a〃B,mua,可得m〃B;反过来，由m〃B,mua,不能推出a〃B.综上，“a〃B”是“m〃B”的充分不必要条件.故选A.2.（2021•四川泸州诊断）已知a,b是互不重合的直线，a,B是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（B）A.若a〃b,bua,则a〃aB.若a〃a,a〃B,aGB=b,贝！］a〃bC.若a〃a,a〃B,则a〃B口.若2〃（1,2〃6,则。〃8解析:A选项,若a〃b,bua,则a〃a或aua,所以A选项错误；B选项,若a〃a,a〃B,aGB=b,则a//b,所以B选项正确；C选项,若a//a,a〃B,则allB或auB,所以C选项错误；D选项,若a〃a,a〃B,则a〃B或a与B相交，所以D选项错误.故选B.3.已知在三棱柱ABC-ABC中,M,N分别为AC,B£的中点,E,F分别为BC,B.B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABBA的位置关系分别为（B）A.平行、平行B.异面、平行C.平行、相交D.异面、相交解析:因为在三棱柱ABC-ABG中，M,N分别为AC,BC的中点,E,F分别为BC,B0的中点，所以EFu平面BCCB,MNG平面BCCB=N,N4EF,所以由异面直线的定义得直线MN与直线EF是异面直线.取A£的中点P,连接PM,PN,如图，贝ijPN〃BA,PM〃AA又PNC平面ABBA,BAu平面ABBA,PMC平面ABBiAi,AiAu平面ABBA,所以PN〃平面ABBA,PM〃平面ABBA.因为PMGPN=P,PM,PNu平面PMN,所以平面PMN〃平面ABBA,因为MNu平面PMN,所以直线MN与平面ABBA平行.故选B..如图,在正方体ABCD-ABCD中,M,N,P分别是CD,BC,AD的中点,则下列命题正确的是（C）A.MN〃APB.MN〃BDiC.MN〃平面BB.D.DD.MN〃平面BDP解析:取BC的中点为Q,连接MQ,NQ（图略），由三角形中位线定理,得MQ〃BD,MQ。平面BBDD,BDu平面BBDD,所以MQ〃平面BB.D.D.由四边形BB.QN为平行四边形,得NQ#BB„NQ。平面BBDD,BBC平面BBDD,所以NQ〃平面BBiD.D.又MQnNQ=Q,MQ,NQu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面BBDD,又MNu平面MNQ,所以MN〃平面BBiD.D.故选C..（多选题）如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,线段BD上有两个动点E,F,且EF=1,则下列结论正确的是（BD）邙D AA.线段BD上存在点E,F使得AE〃BFEF〃平面ABCDAAEF的面积与4BEF的面积相等D.三棱锥A-BEF的体积为定值解析:如图所示,AB与BD为异面直线,故AE与BF也为异面直线,A错误;BD〃BD,故EF〃平面ABCD,B正确；由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的,C错误;连接BD交AC于点0,则A0为三棱锥A-BEF的高,14三棱锥A-BEF的体积为:X；x裂膏,为定值,D

2 2 4 3 4 224正确.故选BD.6.已知m,n是空间中两条不同的直线，a,B是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（C）A.若a,m±a,则m±BB.若a〃B,m〃a,贝IJm〃BC.若m±a,n±B,m〃n,则a〃BD.若mua,nua,m〃B,n〃B,则a〃B解析:对于A,若a_LB,m_La,则m〃B或muB,故A错误；对于B,若a〃B,m//a,则m〃B或muB,故B错误；对于C,若m±a,m〃n,则n±a,又因为n±B,所以a〃B，故C正确；对于D,若mua,nua,m〃B,n〃B,则a,B可能相交,故D错误.故选C.7.（多选题）（2021•河北保定模拟）在正方体ABCD-ABCD中,M,N,Q分别是棱D,C„A,D„BC的中点，点P在BD,±,且BP^BD,.则以下四个说法中正确的是（BC）MN〃平面APCGQ〃平面APCA,P,M三点共线D.平面MNQ〃平面APC解析:如图,对于A,连接MN,AC,则MN#AC,D、MCi连接AM,CN,易得AM,CN交于点P,即MNu平面APC,所以MN〃平面APC是错误的；对于B,由A项知M,N在平面APC内，由题易知AN〃GQ,ANu平面APC,CQQ平面APC,所以GQ〃平面APC是正确的；对于C,由A项知A,P,M三点共线是正确的；对于D,由A项知MNu平面APC,又MNu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面APC是错误的.故选BC..有以下三种说法,其中正确的是（填序号）.①若直线a与平面a相交,则a内不存在与a平行的直线；②若直线b〃平面a,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与a平行;③若直线a,b满足a〃b,则a平行于经过b的任何平面.解析:若直线a与平面a相交,则a内不存在与a平行的直线,故①正确;若直线b〃平面a,直线a与直线b垂直,则直线a可能与a平行,故②错误;若直线a,b满足a〃b,则直线a平行或包含于经过b的任何平面,故③错误.答案:①.（2021•山东烟台模拟）下列各图中A.B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB〃平面MNP的图形序号是（写出所有符合要求的图形序号）.N③④解析:对于①,如图（1）,作MC〃NP,连接NC,PC,得平面MCPN,因为AB〃NC,NCu平面MCPN,AB。平面MCPN,所以AB〃平面MCPN,即AB〃平面MNP,故①符合题意；对于②,如图（2）,连接AC,AD,CD,由已知可得平面MNP〃平面ACD.因为AB和平面ACD相交,所以AB不平行于平面MNP,故②不符合题意;对于③,如图（3）,连接AC,BC,DE,由已知可得MN〃DE,因为DE〃AC,由平行的传递性可得MN〃AC,MNu平面MNP,AC。平面MNP,所以AC〃平面MNP.又因为NP〃BC,NPu平面MNP,BC«平面MNP,所以BC〃平面MNP.ACnBC=C,AC,BCu平面ABC,所以平面ABC〃平面MNP,又因为ABu平面ABC,所以AB〃平面MNP,故③符合题意；对于④,如图(4),因为DB〃MN,MNu平面MNP,DBQ平面MNP,所以DB〃平面MNP,若AB〃平面MNP,又ABADB=B,则平面ACBD〃平面MNP,由图可知平面ACBD不可能平行于平面MNP,所以AB不平行于平面MNP,故④不符合题意.图(3) 图(4)答案:①③.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形,PAJ_平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一个动点,E为PD的中点,。为AC的中点.⑴求证:0E〃平面PAB;(2)若AF=1,求证:CE〃平面BDF.证明：(D因为四边形ABCD为菱形,0为AC的中点，所以。为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以OE〃PB.因为0E。平面PAB,PBu平面PAB,所以0E〃平面PAB.⑵如图所示,过E作EG〃FD交AP于点G,连接CG,F0.因为EG〃FD,EG。平面BDF,FDu平面BDF.所以EG〃平面BDF.因为E为PD的中点,EG〃FD,所以G为PF的中点,因为AF=1,PA=3,所以F为AG的中点,又因为。为AC的中点,所以OF〃CG.因为CG«平面BDF,OFu平面BDF,所以CG〃平面BDF.因为EGACG=G,EGu平面CGE,CGu平面CGE,所以平面CGE〃平面BDF,又因为CEu平面CGE,所以CE〃平面BDF.B级综合运用练.如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC〃平面DEFG,EF〃DG,且AB=DE,DG=2EF,贝U(A)BF〃平面ACGDCF〃平面ABEDBC//FGD.平面ABED#平面CGF解析:如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，GG所以DE〃FM,且DE=FM.因为平面ABC〃平面DEFG,平面ABCG平面ADEB=AB,平面DEFGA平面ADEB=DE,所以AB〃DE,所以AB〃FM,又AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形，所以BF〃AM,又BF。平面ACGD,AMu平面ACGD,所以BF〃平面ACGD.故选A.12.在三棱锥S-ABC中，AABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点，如果直线SB〃平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为（A）A.竺B型2 2C.45D.45V3解析:如图，取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG1AC,BG±AC,SGGBG=G，故AC_L平面SGB,又SBu平面SGB,所以ACJ_SB.因为SB〃平面DEFH,SBu平面SAB,平面SABG平面DEFH=HD,则SB//HD.同理SB〃FE.又因为D,E分别为AB,BC的中点，则H,F也分别为AS,SC的中点，从而得hfx|ac,DEJL^AC,所以HFJLDE,所以四边形DEFH为平行四边形.因为AC±SB,SB/7HD,DE/7AC,所以DE_LHD,所以四边形DEFH为矩形，其面积S=HF-HD=(|AC)•(|SB)=y.故选A..已知下列命题：①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内；②若直线1上有无数个点不在平面a内，则1〃a；③若直线1与平面a相交,贝IJ1与平面a内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线1与平面a平行,则1与平面a内的直线平行或异面；⑥若平面a〃平面B,直线aua,直线buB,则a〃b.上述命题正确的是(填序号).解析:①若直线与平面有两个公共点，由基本事实2可得直线在平面内，故①正确;②若直线1上有无数个点不在平面a内，则1〃a或1与a相交,故②错误;③若直线1与平面a相交,则1与平面a内的任意直线可能是异面直线或相交直线，故③错误;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错误;⑤若直线1与平面a平行,则1与平面a内的直线无公共点，即平行或异面,故⑤正确;⑥若平面a〃平面P,直线aua,直线beB,则a〃b或a,b异面,故⑥错误.答案:①⑤.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证：AMB⑴BE〃平面DMF;⑵平面BDE〃平面MNG.证明：⑴如图，连接AE,则AE必过DF与GN的交点0,连接M0,因为四边形ADEF为平行四边形,所以。为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为4ABE的中位线，所以BE〃MO,又因为BEC平面DMF,MOu平面DMF,所以BE〃平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点，所以DE〃GN,又因为DEC平面MNG,GNu平面MNG,所以DE〃平面MNG.因为M为AB的中点,N为AD的中点，所以MN为4ABD的中位线，所以BD/7MN,因为BDC平面MNG,MNu平面MNG,所以BD〃平面MNG,因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE〃平面MNG..如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB_LAC,AB〃CD,AB=2CD,E,F分别为PB,AB的中点.⑴求证:平面PAD〃平面EFC;(2)若PA=AB=AC=2,求点B到平面PCF的距离.所以EF〃PA,因为EFC平面PAD,PAu平面PAD,所以EF〃平面PAD.因为AB〃CD,AB=2CD,所以AF〃CD,AF=CD,所以四边形ADCF为平行四边形，所以CF〃AD.因为CFC平面PAD,ADu平面PAD,所以CF〃平面PAD.因为EFGCF=F,EF,CFu平面EFC,所以平面PAD〃平面EFC.(2)解：因为AB±AC,AB=AC=2,F为AB的中点，所以Sabcf^BF・AC=1x1X2-1,因为PAJ_平面ABCD,一一 1 1 ?所以Vp-BCF《S△BCE.PAgxiX2q,因为PF=CF=V5,PC=2遮，所以SaPCF=PC・JPF2-(y)2=1x272X7572=76.设点B到平面PCF的距离为h,因为Vb-pcf=Vp-bcf，所以］**h=g,所以点B到平面PCF的距离为C级应用创新练.(2021•山东淄博模拟)如图(1)所示，在边长为12的正方形AA'AJ4中,BBi〃CCi〃AA“且AB=3,BC=4,AAJ分别交BBi,C3于点P,Q,将该正方形沿BBi,CG折叠，使得A'AJ与AAi重合，构成如图⑵所示的三棱柱ABC-AB3,在该三棱柱底边AC上有一点M,满足AM=kMC(0<kG),请在图(2)中解决下列问题.⑴求证:当时,BM〃平面APQ;(2)若k=；,求三棱锥M-APQ的体积.4⑴证明：如图，过M作MN〃CQ交AQ于点N,连接PN,所以如〃PB,所以点M,N,P,B共面,且平面MNPB交平面APQ于PN,又CQ=7,所以MN=3,MN=PB=AB=3,所以四边形MNPB为平行四边形，所以BM〃PN,因为PNu平面APQ,BMQ平面APQ,所以BM〃平面APQ.(2)解：因为AB=3,BC=4,所以AC=5,从而AC2=AB2+BC2,即AB±BC.因为k=i,所以AM=1,WFm-apq=^p-amq^x\,AM,CQ•鲁告.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.(1)求证:平面MNQ〃平面PCD;(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN〃平面ACE?若存在,求出意的值;若不存在,请说明理由.(1)证明：因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,所以NQ//CD,MQ〃PC.又NQ。平面PCD,CDu平面PCD,MQ。平面PCD,PCu平面PCD,所以NQ〃平面PCD,MQ〃平面PCD.又因为NQAMQ=Q,且NQ,MQu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面PCD.(2)解:线段PD上存在一点E,使得MN〃平面ACE,且需福理由如下:如图所示,取PD的中点E,连接NE,CE,因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BCJLAD,所以NEJLMC,所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN〃CE,因为MNQ平面ACE,CEu平面ACE,所以MN〃平面ACE,即在线段PD上存在点E,使得MN〃平面ACE,第4节空间直线、平面的垂直知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线与平面垂直的判定与性质1,4,912平面与平面垂直的判定与性质5求空间角的大小3,7,8综合问题2,610,11,13,14,15,1617,18灵港小混芯数提甚课时作业❽选题明细表A级基础巩固练（2021•河北沧州联考）如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA_L平面ABC.则下列结论不正确的是（D）CDCD〃平面PAFDF_L平面PAFCF〃平面PABD.CF_L平面PAD解析:A中，因为CD〃AF,AFu平面PAF,CM平面PAF,所以CD〃平面PAF成立；B中，因为六边形ABCDEF为正六边形,所以DF±AF.又因为PA_L平面ABCDEF,DFu平面ABCDEF,所以PA_LDF,又PAGAF=A,PAu平面PAF,AFu平面PAF,所以DFJ_平面PAF成立；C中，CF〃AB,ABu平面PAB,CF。平面PAB,所以CF〃平面PAB;而D中,CF与AD不垂直.故选D.（2021•江西南昌模拟）如图，在四面体ABCD中，已知AB_LAC,BD_LAC,那么点D在平面ABC内的射影H必在（A）BA.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.AABC内部解析：由AB±AC,BD±AC,又ABnBD=B,ABu平面ABD,BDu平面ABD,则AC_L平面ABD,而ACu平面ABC,则平面ABC_L平面ABD,因此点D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上.故选A.已知三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面垂直,体积为底面是边长为行的正三角形,若P为底面ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（B）A.—B.-TOC\o"1-5"\h\z12 3C.- D.-4 6解析:如图,取正三角形ABC的中心0,连接0P,则NPA0是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为6，所以adsWA0=|AD4x1=l.三棱柱的体积为fx(V3)2-AA，4解得AA.-V3,即0P=AAi=g,所以tan/PAO必=遍，AO因为直线与平面所成角的取值范围是［0,力，所以NPAOg.故选B..(2021•山东烟台月考)如图，在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFHC.HF_L平面AEFD.HG_L平面AEF解析:根据折叠前、后AH1HE,AH1HF不变,且HEGHF=H,HE,HFu平面EFH,得AH_L平面EFH,所以B正确；因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直,所以A不正确；由题知AG±EF,又EF±AH,AGAAH=A,AG,AHu平面HAG,所以EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,所以平面HAG_L平面AEF,若过点H作直线垂直于平面AEF,则直线一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG,所以HG_L平面AEF不正确，所以D不正确.故选B..（多选题）（2021・山东济宁模拟）已知表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，1_La,muB,则下面四个命题中正确的是（AC）A.若&〃B,则若a_LB,则l〃mC.若l〃m,则a_LBD.若l_Lm,则a〃B解析:因为1_La,a〃B,根据面面平行的性质知1_LB,又muB,则1_Lm,故A正确；若aJ_B,1a,则1可能在B内或与P平行，则1可能与m相交、平行或异面，故B错误；由1〃m,1J_a可推出m±a,又muB,根据面面垂直的判定定理可知a_LB,故C正确；若a,B的交线为m,则l_Lm,推不出a〃B,故D错误.故选AC.6.（多选题）如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A,B的任一点，则下列结论中正确的是（AD）A.PC±BCB.AC_L平面PBCC.平面PAB_L平面PBCD.平面PAC_L平面PBC解析：由题意,BC_LAC,若AC_L平面PBC,可得AC_LPC,与AC±PA矛盾,故B错误；BC±AC,又PA_L底面ABC,所以PA_LBC,ACAPA=A,AC,PAu平面PAC,则BCJ_平面PAC,又PCu平面PAC,则BC±PC,又BCu平面PBC,所以平面PAC_L平面PBC,故A,D正确;因为BC_L平面PAC,所以NPCA为平面PAB与平面PBC所成角的平面角，又/PCA为锐角，所以平面PAB与平面PBC不垂直,故C错误.故选AD..若P是4ABC所在平面外一点,而4PBC和4ABC都是边长为2的正三角形,PA=V^,那么二面角P-BC-A的大小为.解析:取BC的中点0,连接0A,0P（图略），则NP0A为二面角P-BC-A的平面角，0P=0A=V3,PA=V6,所以aPOA为直角三角形，ZP0A=90°.答案：90。.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=26,CCfVz,则二面角

ClBD一C的大小为.解析:如图，取BD的中点0,连接0C,0Cb因为AB=AD=2V3,所以C0_LBD,C0=V6.因为CD=BC,所以CD=CB,所以G0_LBD,所以NG0C为二面角Ci-BD-C的平面角.所以NCQC=30°,即二面角3_BD＜的大小为30°.答案：30.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PAJ_底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点,求证:(1)CD±AE;(2)PD_L平面ABE.证明:(1)因为PA_L底面ABCD,CDu底面ABCD,所以CD±PA.又CD±AC,PADAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,故CD_L平面PAC,又AEu平面PAC,故CD±AE.(2)因为PA=AB=BC,NABC=60°,所以PA=AC.因为E是PC的中点，所以AE_LPC.由(1)知CD±AE,由于PCnCD=C,PCu平面PCD,CDu平面PCD,从而AE_L平面PCD,又PDu平面PCD,故AE±PD.易知BA±PD,AEABA=A,AEu平面ABE,BAu平面ABE,故PD_L平面ABE.B级综合运用练.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=V2,BD1CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD_L平面BCD,则下列结论中正确的个数是（B）BB,A'①A'C_LBD;②/BA'C=90°;③CA'与平面A'BD所成的角为30④四面体A'-BCD的体积为A.0B.1C.2D.3解析：因为AB=AD=CD=1,BD=V2,所以AB_LAD,因为平面A'BD_L平面BCD,BD_LCD,平面A'BDD平面BCD=BD,所以CD_L平面A'BD,取BD的中点0,连接0A',0C（图略），因为AB=A'D,所以A'O±BD.又平面A'BD_L平面BCD,平面A'BDA平面BCD=BD,A'Ou平面A，BD,所以A，0J_平面BCD.又因为BD±CD,所以OC不垂直于BD.假设A，CLBD,因为OC为A'C在平面BCD内的射影，所以OC±BD,矛盾，故①错误；因为CD_LBD,平面A'BD_L平面BCD,且平面A'BDG平面BCD=BD,所以CD_L平面A'BD,又A'Bu平面A'BD,所以CD_LA'B.因为A'B=A'D=1,BD=VI,所以A'B_LA'D,又CDDA'D=D,CD,A'Du平面A'CD,所以A'BJ_平面A'CD,又A'Cu平面A'CD,所以A'B_LA'C,故②正确；NCA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角，NCA'D=45°,故③错误；A'-BCD=^C-A,BD=qSaa,bd*CD=-,故④错误.故选B.11.如图，正方形ABCD和正方形ADEF成60°的二面角，将4DEF绕DE旋转，在旋转过程中，(1)对任意位置，总有直线AC与平面DEF相交；(2)对任意位置,平面DEF与平面ABCD所成角大于或等于60(3)存在某个位置，使DF_L平面ABCD;(4)存在某个位置，使DF_LBC.其中正确的是(C)A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)解析:过D作AC的平行线1,如图，当平面DEF过1时，直线AC与平面DEF平行,故⑴错误；△DEF绕DE旋转形成一个以DE为高,EF为底面半径的圆锥，设平面ABCD的法向量为n,平面DEF的法向量为r,则向量n所在直线与圆锥底面所成角为60°,向量r所在直线为圆锥底面与EF垂直的半径所在直线，根据最小角原理,n与r的夹角大于或等于60°,故⑵正确；若有DF_L平面ABCD,则AD1DF,所以AD_L平面DEF,则F在平面DEC内，此时DF与平面ABCD所成角为15°或75°,矛盾，故⑶错误；当AD_LDF,所以AD_L平面DEF时,AD〃BC,所以DF_LBC,故（4）正确.故选C.12.（多选题）（2021・福建泉州质检）如图，在下列四个正方体ABCD-A.B,C.D,中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中，直线BD与平面EFG垂直的是（ABC）

nAnA解析:如图,在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,且六点共面,直线BD,与平面EFMNQG垂直,并且A项,B项,C项中的平面与这个平面重合.对于D项中的图形，由于E,F分别为AB,AB的中点，所以EF〃BBi,故ZB时为异面直线EF与BD.所成的角，且tan/BED尸鱼,即ZB.BD.不是直角，故BD,与平面EFG不垂直.故选ABC..（2021•湖北黄冈质检）如图,PA_L/0所在的平面,AB是圆。的直径,C是圆。上一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论:①AF_LPB;②EF_LPB;③AF_LBC;④AE_L平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:①由于PA_L平面ABC,BCu平面ABC,因此PA_LBC,又AC±BC,PAAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,因此BC_L平面PAC,AFu平面PAC,所以BC_LAF,由于PC_LAF,BCAPC=C,BCu平面PBC,PCu平面PBC,因此AFJ_平面PBC,又PBu平面PBC,所以AFJ_PB,故①正确；②因为AE_LPB,AF_LPB,AEGAF=A,AEu平面AEF,AFu平面AEF,所以PB_L平面AEF,又EFu平面AEF,因此EF_LPB,故②正确；③在①中已证明AF_L平面PBC,BCu平面PBC,所以AF_LBC,故③正确；④若AEJ_平面PBC,由①知AFJ_平面PBC,由此可得出AF〃AE,这与AF,AE有公共点A矛盾，故AE_L平面PBC不成立，故④错误.故正确的结论为①②③.答案:①②③.三棱锥P-ABC中，PA=1,AB=AC=V^,PA,AB,AC两两相互垂直,M为PC中点,则异面直线PB与AM所成角的余弦值是;取BC中点N,则二面角M-AN-C的大小是 .解析：由题设,连接中位线MN,则MN〃PB,即异面直线PB与AM所成角的平面角为NAMN,因为PA=1,AB=AC=«,PA,AB,AC两两相互垂直,所以PC=PB=V3,则AM=MN力,且AN=1,所以在AAMN中，所以在AAMN中，cosNAMN三am2+mn2-an212AM・MN过M作MD_LAC于D,易知D是AC的中点，若E为AN的中点，连接DE,ME,所以DE_LAN,ME±AN,而DEGME=E,所以AN_L平面MED,故NMED是二面角M-AN-C的平面角,因为PA,AB,AC两两相互垂直，易知平面PAC,平面PAB,平面ABC两两相互垂直,又平面PACA平面ABC=AC,MDu平面PAC,所以MDJ_平面ABC,EDu平面ABC,即MD±DE,所以在RtAMED中,“nPA1kNCBC1MD=—=-,DE=―=—=-22 2 42则tanNMED2^二l,DE所以NMED』.4答案：；7.如图,在直三棱柱ABC-ABG中，AC=BC=1,ZACB=90°,D是AB的中点,F在BBi上.⑴求证:GD_L平面AABB;(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使ABi_L平面CDF?并证明你的结论.①F为BBi的中点；②AB尸旧;③AAlVZ(1)证明：因为ABC-ABG是直三棱柱，所以AiCi-BiCi-1,且NA】CB=90°,又D是AB的中点，所以GD_LAB.因为AA」平面ABC,GDu平面AB3,所以AA」GD,又AiBiAAAlAi,AiBiU平面AAiBB,AA】u平面AAiBiB,所以GDJ_平面AABB.⑵解: