人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第1节第二课时　球及其表面积与体积

课时作业第二课时球及其表面积与体积课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练球的体积与表面积1,2,3,5球的切、接问题4,6,7,8,9综合问题10,11,12,13,14,1516,17灵活乡点合数提彩(选题明细表A级基础巩固练1.已知底面边长为1,侧棱长为四的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(D)a327r「4A.一B.4冗3C.2nD.y解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径整］12+12+(⑸2口,所以V球号X/卷故选D..(2021•安徽安庆调研)已知在四面体PABC中，PA=4,BC=2遍,PB=PC=2b,PA_L平面PBC,则四面体PABC的外接球的表面积是(C)A.160nB.128nC.40nD.32n解析：因为PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB±PC,又PA_L平面PBC,所以PA±PB,PA±PC,即PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为y/PA2+PB2+PC2=V16+12+12=2710,故该四面体的外接球半径为Via于是四面体PABC的外接球的表面积是4nx（V1O）2M0n.故选C..已知A,B.C为球0的球面上的三个点，OCX为4ABC的外接圆.若。01的面积为4ji,AB=BC=AC=00”则球。的表面积为（A）A.64冗B.48nC.36nD.32n解析:如图所示,设球0的半径为R,00.的半径为r,因为OOi的面积为4n,所以4n=五1,解得r=2,又AB=BC=AC=00i,所以.黑。=2r,解得AB-2V3,故00尸26,所以R2=0。彳+—=（2^）2+22=16,所以球0的表面积S=4JiN=64n.故选A.B.（多选题）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为6-1,则（ABC）A.正方体的外接球的表面积为12JrB.正方体的内切球的体积为半C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为解析:设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即等，内切球的半径为棱长的一半,即今因为M,N分别为外接球和内切球上的动点，所以MN/4a-尸字a=6-l,解得a=2,即正方体的棱长为2,C正确;正方体的外接球的表面积为4nX(6)2=12n,A正确;正方体的内切球的体积为拳B正确;线段MN的最大值为浮+气遍+1,D错误.故选ABC..如图,在圆柱内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0。的体积为Vb球0的体积为V2,则空的值是 .V2解析:设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱oa的底面圆的半径为R,高为2R,故器登号答案卷.(2021•湖南长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC5BG内有一个体积为V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,-3,则V的最大值是.解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切，设底面4ABC的内切圆的半径为r,贝岭X6X8=1X(6+8+10)-r,所以r=2,2r=4>3,不符合题意.则球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大,则2R=3,即R=1,故球的最大体积V=g门冗.答案：3n.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是竽n,那么这个三棱柱的体积是.解析:设球的半径为r,贝Jir号n，得厂2,则正三棱柱的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4V3,所以正三棱柱的体积为V也X(4V3)2X4=48V3.4答案：486.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.解析:因为圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示.设球的球心为0,圆台上底面的圆心为0',则圆台的高00'=JoQ2-o'Q2=>52-42=3,据此可得圆台的体积为V=gnX3X(52+5X4+42)=61h.答案：61n.在半径为15的球0内有一个底面边长为126的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.解：(1)如图甲所示的情形，显然0A=0B=0C=0D=15.设H为4BCD的中心,则A,0,H三点在同一条直线上.因为HB=HC=HD=|x亨X1273=12,所以OH=，OB2—hb2=9,所以正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.又S△BCD=~X(12V3)2=108V3,4所以V三极锥a-bcd^X108gx24=8646.A甲(2)对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,SAbcd=108V3,A乙所以V三棱锥a-bcd=X108^X6=2166.综上,可知正三棱锥的体积为8646或216vl.B级综合运用练10.已知4ABC是面积为竽的等边三角形,且其顶点都在球0的球面上.若球。的表面积为16冗，则0到平面ABC的距离为(C)A.V3B.1V3C.1 D.—2解析:设球。的半径为R,则4兀R2=16n,解得R=2.设4ABC外接圆的半径为r,边长为a.因为4ABC是面积为竽的等边三角形，所以4解得a=3,所以r=；• I9-~->/3,所以球心02 2 4 374374到平面ABC的距离d=V/?2-r2=V4-3=1.故选C.11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点，ZCEF=90°,则球0的体积为（D）A.8V6无B.4V6nC.2V6nD.V6n解析：因为点E,F分别为PA,AB的中点，所以EF〃PB,cA因为NCEF=90°,所以EFLCE,所以PBLCE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC_L平面BDP,所以PB1AC,又ACnCE=C,AC,CEu平面PAC,所以PB_L平面PAC,所以PB±PA,PB±PC,因为PA=PB=PC,AABC为正三角形，所以PA1PC,即PA,PB,PC两两相互垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中.因为AB=2,所以该正方体的棱长为鱼,所以该正方体的体对角线长为痣,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径1^=半,所以球0的体积V=gJiR胃JiX（^）3=V6n.故选D..唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图①所示），它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图②），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为Scm；半球的半径为Rcm）,要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R的取值范围为（D）解析:设圆柱的高度与酒杯的容积分别为h,V,则表面积S=2JTR2+2JiRh,故JIRh§-JiR2,所以酒杯的容积V--JiR3+jiR2h^ji炉+(--jiR2)R=--R3+-R^-jiR3,3 3 2 3 2 3所以gwgHR：又、r2＞0,所以JlR2＜衿卜R2,解得寻WR＜舟yion y2Ti故选D..已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球表面积的盘,则这两个圆锥中,16体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.由题意得n-4霏R2,16所以y受.4根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,且ABJ_0c所以00,=Vz?2-r2=p因此体积较小的圆锥的高为A0i=R1=*体积较大的圆锥的高为B0lR+芸R,故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为去答案［.伟大的阿基米德的墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=nr2h,由题意知圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为r,V圆锥nr2h,V球nr3.又h=2r,所以V圆锥：V球：V圆柱=gJir2h：Hr3：nr2h=1Ji1：gn/：2n1=1：2：3..某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=l,1=3,试求该组合体的表面积和体积.解：该组合体的表面积为S=4nr2+2nrl=4nX12+2JiXlX3=10n,该组合体的体积V=gJir3+Jir2l=^nXl3+jtX12X3=等.C级应用创新练.已知三棱柱ABC-A.B,C.的所有顶点都在球0的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同.若球0的表面积为20Ji,则三棱柱的体积为.解析：因为三棱柱ABC-AiB1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形.设三棱柱底面边长为a,高为h,截面圆的半径为r,球半径为R,所以金因为球0的表面73积为20n,所以4nR2=20n,解得R=V5.因为底面和侧面截得的圆的大小相同，所以§2+（今2=（磊）；2 2V3所以a=V3h.①又因为（打+（提）2=R；②2V3由①②得a=2h=2,所以三棱柱的体积为V=fX（2V3）2X2=6V3.4答案：6617.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗,粽子又称“粽粒”，是端午节大家都会品尝的食品.如图⑴的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图⑵的粽子形状的六面体,则该六面体的体积为；若该六面体内有一球,则该球的体积的最大值为.图（D 图（2）解析：由对称性可