初中数学北师大九年级下册第三章圆-《圆》回顾与思考PPT

一、相交弦定理1、认识定理如图，在中，弦AB、CD相交于点P求证：提示：连AC、BD，证∆ACP~∆DBP相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两线段的乘积相等你能证明吗?定理的应用1、试一试：如图，在中，弦AB、CD相交于点P若：P是CD的中点，PB=2，PA=4你能求出PC之长吗？若PC：PD=4：3呢？2、老题新解如图，AB是圆O的弦，C是弧AB的中点，OC交AB于D，若AB=8，CD=2，求圆O的半径解：延长CO交圆于E，由垂径定理知D为AB的中点，故AD=BD=4由相交弦定理得：所以DE=8，故半径为5E例1.如图1，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，弦BE经过AD的中点M，连结AE，求BE和AE的长.

∴ME=∴BE=

又

∵

∴AE=

解：连结BD，∵四边形ABCD是正方形，

又∵点M是AD的中点，∴AM=2

∴BM=

，∵BM

ME=AM

MD，

可用勾股定理求出BM,用相交弦定理求EM例2、（2020.金牛一诊)如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG.

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4

①且OD=3，求AD的长度；

②当△OCD是直角三角形时,

求△ABC的面积.分析（1）证切线，只需证即但BF是直径故不难证明解：（1）连接AF∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF=90°，∠FAG=90°，∴∠BGF+∠AFG=90°∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠ACB=∠AFB，∠BGF=∠ABC∴∠BGF=∠AFB∴∠AFB+∠AFG=90°，即∠OFG=90°又∵OF为半径∴FG是⊙O的切线.（2）①要求AD之长，只需求出AD与CD的比值连CF，你能判断CF与AO的位置关系吗？平行那么，此时AD：CD=？OD：DF解：（2）①连结AO并延长交BC于M，连结CF，而BF是直径，故M（2）若⊙O的半径为4

①且OD=3，求AD的长度；

（2）②∵△ODC为直角三角形,∠DCO不可能等于90°.∴i）当∠ODC=90°时，由垂径定理知AB=BC，故三角形ABC为等边三角形而AO=4，故AB=

（2）若⊙O的半径为4

②当△OCD是直角三角形时,求△ABC的面积.ii）当∠COD=90°时，（如图）

∵OB=OC=4,∴△OBC是等腰直角三角形延长AO交BC于点M则由前面可知:AM⊥BC,二、切割线定理1、认识定理如图，PA是的切线，切点为A，PC交圆O于B、C，求证：分析你能证明吗?你能用语言叙述这个结论吗?从圆外一点向圆引切线和割线，切线长的平方等于这点到割线与圆的两个交点的距离之积二、切割线定理2、练一练（1）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PC交圆O于B、C，PA=4，BC=6，则PB=

（2）如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，过D作圆的切线DC，C为切点，若DC=4，DA=2，则AB=

；AC=

。提示：设PB=x,由切割线定理可解2由切割线定理求出DB，进而求出AB，提问：∆ABC是什么三角形？已知AB要求AC有哪些方法？你能找出AC与BC的比吗？请你解答出来6点评：在有切线和割线的图形中，除了要记住切割线定理本身，还应记住这对相似三角形，特别是3、典型例题例3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E,P是BA延长线上一点，CA平分∠PCD，PA=

,tan∠PCA=(1)求证：PC是⊙O的切线。(2)求⊙O的半径之长。(3)若F是BD弧的中点，BF的延长线交CD于G，求DG的长。分析（1）证切线应“连半径证垂直”即要证你能证明了吗？请写出证明过程。(2)求⊙O的半径之长怎么用？连BC，转为进而得到哪两边之比？AC：BC=1：2AC：BC还可以等于哪两边之比？PA：PC已知PA，能求出PC吗？能求出AB了吗？请你写出解答过程解：连BC，由PA是切线知：由切割线定理得：故半径为5(3)若F是BD弧的中点，BF的延长线交CD于G，求DG的长。分析：由F是弧BD的中点，可想到什么？它们所对的圆周角相等连结AF、BD，则：再想想：相等于是你又能得到哪两个角相等？那么DG与谁相等？DB由对称性DB又与谁相等？BC你会做了吗？写出过程答案：变式；（2020.武候一诊）如图，圆O是∆ABC的外接圆，AB是图O的直径，在∆ABC外作∠CAD=∠CAB，过C作AD的垂线，垂足为D，交AB的延长于P。（1）求证：PC是圆O的切线求半径（用含m的代数式表示）（3）在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于E，连结BF且求线段PE的长分析：证切线“连半径证垂直”（1）求证：PC是圆O的切线AD与PD什么关系？垂直要OC与PD垂直只需什么？OC与AD平行你能证明吗？试一试解：（1）连OC于是，PC是圆O的切线求半径（用含m的代数式表示）分析：由你能得到哪两边之比？BC：AC=1：2图中有哪两个含AD、BC的相似三角形？想一想：CD：AD=？CD：AD=BC：AC=1：2由相似你能得出哪些比例？若设CD=x，你能表示AC吗？能列出方程？你能求出AC、与BC吗？AB呢？请你写出完整的解答过程答案：（3）在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于E，连结BF，且求线段PE的长分析：由CF是角平分线，你想到什么？F是弧AB的中点如果连结AF，∆ABF是什么特殊的三角形？由你能求出AB吗？由上题，你能求出PB：PC