五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题5导数解答题(含详解)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题5导数解答题一、解答题1.(2022高考北京卷•第20题)已知函数f(x)=e'ln(l4-x).(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(2)设g(x)=r0)，讨论函数g。)在［0,+8)上的单调性；(3)证明:对任意s,fG(0,+oo),有/(s+f)>/(s)+/(f).(2022年浙江省高考数学试题•第22题)设函数/(%)=—2x(1)求"X)的单调区间；(2)已知,曲线y=/(x)上不同的三点(E,/(%))(a,b).证明：(i)若a>e,则0<6-/(。)<；］2一1}2e-a 1 1 :(ii)若0<a<e,%<X2<*3，则—/2< 1 <一e6e %x3i(注：e=2.71828…是自然对数的底数)(2022年全国高考甲卷数学(文)•第20题)已知函数〃x)=V处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若X=T,求。；(2)求。的取值范围.(2022新高考全国II卷•第22题)已知函数f(x)=xeat-c(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，求。的取值范围；111(3)设〃eN*，证明：「 + ; +…+r- V1+1V22+2 yjn2+n-+lnx(x>0).,(x2,/(x2)),(x3,/(x3))处的切线都经过点2e-a2 6e2.一x,g(x)=V+a,曲线y=/(x)在点(内J(xj)J.>ln(n+l).5.(2022新高考全国I卷•第22题)已知函数/(x)=e*-ox和g(x)=ox—Inx有相同的最小值.⑴求a；(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.(2021年高考浙江卷•第22题)设a,b为实数，且a>l,函数/(x)=a*-bx+e’aeR)⑴求函数〃x)的单调区间：(2)若对任意人>"2，函数/(x)有两个不同的零点，求。的取值范围；⑶当a=e时，证明：对任意函数〃x)有两个不同的零点占小，满足£>粤玉+《■.2e"b(注：e=2.71828…是自然对数的底数)(2021年新高考全国0卷•第22题)已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+b.(1)讨论/(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点/®—<a<一,b>2a；2®0<a<—,b<2a.2(2021年新高考1卷•第22题)已知函数f(x)=x(l-lnx).⑴讨论〃x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数，且加na-alnb=a-b,证明：2<-+~<e.ab(2021年全国高考乙卷文科•第21题)已知函数f(x)=X3-X2+OX+l.(1)讨论/(x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.(2021高考天津•第20题)已知a>0,函数f(x)=0C-xe'.⑴求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程：(II)证明/(X)存在唯一的极值点(III)若存在。，使得fM<a+6对任意XeR成立，求实数b的取值范围.11.(2021年高考全国甲卷文科•第20题)设函数/。)=/%2+以-31nx+l,其中a>0.(1)讨论〃x)的单调性；(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求。的取值范围.(2020年高考课标H卷文科•第21题)已知函数f(x)=2lnx+l.⑴若f(x)£2x+c,求c的取值范围；(2)设。>0时，讨论函数g(x)=/(x)一’⑼单调性.x-a(2020年高考课标III卷文科•第20题)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论y(x)的单调性；(2)若/")有三个零点，求女取值范围.(2020年新高考全国I卷(山东)•第21题)已知函数/(x)=ae*T-lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线内(x)在点(1,7(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若〃x)21,求。取值范围.(2020年新高考全国卷II数学(海南)•第22题)已知函数f(x)=oe'-'-lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,〃1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若求。的取值范围.(2020天津高考•第20题)已知函数/(x)=x3+Alnx(kwR),f(x)为/(x)的导函数.(I)当无=6时，⑴求曲线y=Ax)在点(1J⑴)处的切线方程；(ii)求函数g(x)=/(x)—/(x)+2的单调区间和极值；X(H)当h..-3时，求证：对任意的百，无€[1,内)，且%>勺，有，(为)了㈤〉2 Xy-X2(2020北京高考•第19题)已知函数〃幻=12-/.(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；(II)设曲线y=/(x)在点《,/«))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S”)，求5(/)的最小值.(2019年高考浙江文理•第22题)已知实数awO,设函数f(x)=alnx+^/77T,x>0.(I)当。=-彳时，求函数/(X)的单调区间；(1【)对任意_^卜］+00)均有/(》)4正，求。的取值范围.e- J2a注：e=2.71828…为自然对数的底数.19.(2019年高考天津文•第20题)设函数/(x)=lnx-a(x-l)e'，其中asR.(1)若讨论了(此的单调性；⑵若0<a<Le⑴证明f(x)恰有两个零点；(ii)设/为/(x)的极值点，玉为/(x)的零点，且4>%，证明3%-占>2..(2019年高考全国川文•第19题)已知/(x)=2x'-ar?+2.(1)讨论/(x)的单调性；⑵当0<a<3时，记/'(x)在区间［0,1］的最大值为M,最小值为m,求A/-帆的取值范围..(2019年高考全国H文•第21题)已知函数/■(x)=(x-l)lnx-x-l.证明:f(x)存在唯一的极值点；(2)/(x)=O有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数..(2019年高考全国I文•第20题)已知函数/(x)=2sinx-xcosx-x,/'(x)为/(x)的导数.(1)证明：/'(X)在区间(0,万)存在唯一零点；(2)若xe［。，幻时，f(x)..ax,求a的取值范围..(2019年高考江苏•第19题)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)M,b,cwR、/(x)为/(x)的导函数.(1)若a=b=c,/(4)=8.求a的值；(2)若"b,b=c,且/(x)和r(x)的零点均在集合｛一3,1,3｝中，求/(x)的极小值；4(3)若a=0,0(庆l,c=l,且/(x)的极大值为M,求证:何〈一.27.(2019年高考北京文•第20题)己知函数f(x)=；x3-x2+x.(I)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；(H)当xc|-2,4］时，求证：x—6张X；(III)设F(x)=|/(x)-(x+fl)|(aeR),记F(x)在区间［一2,4］上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求。的值..(2018年高考数学江苏卷•第19题)(本小题满分16分)记/'(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在七gR，满足/(%)=g(x。)且rg)=g'(%)，则称/为函数/(%)与g(x)的一个"5点”.(1)证明：函数/。)=%与双外=丁+2工-2不存在“S点”；(2)若函数，(x)=or2-1与g(x)=lnx存在"5点”，求实数。的值；- he'(3)已知函数/*)=-r+〃，g(x)=——,对任意〃>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区X间(0,包)内存在“5点”，并说明理由..(2018年高考数学浙江卷•第22题)(本题满分15分)已知函数/(x)=«-Inx.(1)若在X=X],W(X|w》2)处导数相等，证明：f(x\)+/U2)>8-81n2；(2)若，W3—41n2,证明：对于任意%>0,直线y=履+。与曲线y=/(x)有唯一公共点..(2018年高考数学天津(文)•第20题)(本小题满分14分)设函数f(x)=(x-t])(x-t2)(x-t3),其中乙百出eR,且乙,％，4是公差为d的等差数列.(1)若弓="d=1,求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；(2)若d=3,求/(x)的极值：(3)若曲线y=/(x)与直线丁=-(工一，2)一66有三个互异的公共点，求d的取值范围..(2018年高考数学课标山卷(文)•第21题)(12分)已知函数.⑴求由线y=〃x)在点(。，-1)处的切线方程；(2)证明：当时，〃x)+e20..(2018年高考数学课标II卷(文)•第21题)(12分)已知函数"X)=gd +x+1).(1)若。=3,求f(x)的单调区间；(2)证明：/(x)只有一个零点..(2018年高考数学课标卷I(文)•第21题)(12分)已知函数/(x)=ae*—lnx—1.(1)设x=2是/(为的极值点，求a,并求/(x)的单调区间；(2)证明：当[时，/(x)N0.e.(2018年高考数学北京(文)•第19题)设函数/(x)=[纨2_(3a+l)x+3a+2]e，.(1)若曲线旷=/(》)在点(2,7(2))处的切线斜率为0,求。；(H)若/⑴在*=1处取得极小值，求a的取值范围.

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题5导数解答题一、解答题1.(2022高考北京卷•第20题)已知函数f(x)=e'ln(l+x).(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(2)设g(x)=r0)，讨论函数g。)在［0,+8)上的单调性；⑶证明:对任意s,f€(0,+oo),有/(s+f)>/(s)+/(f).【答案】解析：(1)因为f(x)=e'ln(l+x),所以f(O)=O,即切点坐标为(0,0),又/,(x)=ev(ln(l+x)H———),1+X切线斜率左=/'(0)=1•••切线方程为：y=x1 2 1⑵因为g(x)=/,(x)=et(ln(l+x)+——),所以g'(x)=eX(ln(l+》)+•； ,1+x 1+x(1+x)14-X(14-x)2 2 14-X(14-x)2 2 T(1+x)2(1+x)3X2+1

(1+X)3>0,:./i(x)在［0,+oo)上单调递增，二〃(x)N〃(0)=l>0,g'(x)>0在［0,+oo)上恒成立,/.g(x)［0,+O。)上单调递增.(3)原不等式等价于/(s+f)-/(5)>/(O-/(0),令，”(x)=/(x+r)—/(x),(x,t>0),即证见x)>w(0),*.*/n(x)=f(x+t)-f(x)=ex+/ln(l+x+1)—e*ln(l+x),g e’m{x)"e"'ln(l+x+f)H eAln(l+x) =g(x+，)-g(x),1+x+r 1+x由⑵知g(x)=r(x)=e'(ln(l+x)+ 在［0,+oo)上单调递增，,g(x+r)>g(x),:.m(x)>0，砒0在(0,”)上单调递增，又因为x">0,m(x)>加(0),所以命题得证.【题目栏目】导数'导数的应用'导数与函数的单调性'导数与函数单调性的联系【题目来源】2022高考北京卷•第20题2.(2022年浙江省高考数学试题•第22题)设函数/(x)=—+lnx(x>0).2x⑴求f(x)的单调区间；(2)己知曲线y=/(x)上不同的三点(司,/(%)),(9,/(9)),卜3，/(七))处的切线都经过点(a,b).证明：(i)若〃〉e,则°<6-/(a)<； 一1)；2 e-a 1 1 2 e-a(「)若0<。<«,玉<x2<x3,则一+-71-<一+—< TT-e 6e Xj x3 a 6e~(注：e=2.71828・••是自然对数的底数)【答案】解析(1)/("=一二+，=七£,2x"x2k当0cx<],/<x)v0;当故/(x)的减区间为(o,]]/(X)的增区间为(l，+8].(2)(i)因为过(“力)有三条不同的切线，设切点为(x,.,/a)),i=l,23故/(%.)—6=/'&)(%一),故方程/(同一6=/'(6(工一。)有3个不同的根，该方程可整理为(，一;^7](%-。)一：一1113+8=0,\x2xJ2x= __lnx+b,\x2x~J2x贝ijg'(x)=：_苏+(_g+W)(x_a卜：+苏=_9(x_e)(x_a),4 4人\人人/ 人/人 Ji

当0<x<e或x>a时，g,x)<0；当e<x<a时，g")>0,故g(x)在(0,e),(a,+8)上为成函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0,故9一9(e—a)q—lne+b<0且9一意)(…)一点一加.>0,整理得至ij：b<—+\B.b>—+\na=f(a)l2e2a v,此时5-/(a)-U--1।<—+l-f—+lnaj--+—=—---Ina'，2(e )2e(2aJ2e222a设〃(a)=3-^--lna,贝!|/(a)=^^<0,故“(a)为(e,+<，。)上的减函数，故〃(a)<g-R■-lne=0,22e故0故0<b-/(a)</(ii)当0<a<e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(O,a),(e,+<Q)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设x]<x2<x3,则0v%<av£ve<七，因为g(x)因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e)>0,整理得到：—+\<b<—+\na,2e2e因为玉v/<刍，故0v%]vav£<ev七，又g(x)=l又g(x)=l- 1 z-Inx+x2x设，=£,-=/ne(0,l),则方程1一竺£+鸟一lnx+b=0即为：xe x2xa zxtn eee一厂+ln，+/?=0即为一(6+1)，H——r+ln/+〃=0,记乙=—"2=—4=一，则2e 2 $x?Xy

4"|13为一（加+1）r+£/+小r+人=0有三个不同的根,.Ax, eta设2=—=—>—>1,zn=—<1t3Xj a e要证：2e-a2e-a二百丁兀（1五即证2+e-a2ee-a v4要证：2e-a2e-a二百丁兀（1五即证2+e-a2ee-a v4+A<

6e a6e即证：13—1<4+'3(藐一"7即证：G+G一2l-mtl+t3~m+~T<0,即证：(/n-13)(zn2—m+12

36/t?(fj+g)即证：而一(/〃+1)/]+r；+In:+〃=0—(7/1+1)A+，；H-InH-Z?=0,故_ln/3+£(f；；)_(/%+1)(乙一q)=0，c2 2Int.-Int.故：+「2——=————imtntx—t3故即证：一2J七史式竺⑶（上空12）m.一4 3677/（Zj+/3）TOC\o"1-5"\h\z即证："+'"1(m-13)(/n2-m+12) -H >04T3 72即证：(%+1)1%(力-⑶(裙-加+⑵>0k-\ 72记q(k)=心土D”"〉1,则”(左)=/：/%-，-21nd>0,k—1 (A—1)IKzI 1222 /、设〃(&)=& 2\nk,则〃'(&)=l+f——> =0即0'(Z)>0,故O（Z）在（L+°o）上为增函数,故夕（Z）＞°（m）,所以仕+l)lnk(w-13)(/n2-w+12) + (/w-13)(w2-/n+12)k-1- 72 >~m-l_ 72-

(，〃一1)(加一13)(62-/〃+12)a)(m)=Inm-\ -,0<m<\,17 72(/n+l)(小一1)2(3加一20m2-49加+72)(/n-l)2(3zn3+3)

72w(/n+l)2 72w(w+l)2所以6y(在(0,1)为增函数，故0(")<0(1)=0,故Inm+故Inm+(?n-l)(m-13)(/n2-〃?+12)

72(/n+l)<0即("+l)lnz«(m—13)(/n2-m+12)

m-\- 72->0,故原不等式得证.【题目栏目】导数'导数的应用、导数与函数的单调性、导数与函数单调性的联系【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第22题(2022年全国高考甲卷数学(文)•第20题)已知函数/(x)=V-x,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点(布,/&))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若占=-1,求0；(2)求。的取值范围.【答案】【答案】⑴3 ⑵[T+8)【解析】(1)由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,r(x)=3f-l,r(T)=3—l=2,则y=/(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+l),即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(w，g(X2)),g'(x)=2x,则/(与)=2毛=2,解得为=1,则g(l)=l+a=2+2,解得a=3；⑵f'(x)=3x2-l,则丫=/(》)在点(与/(3))处的切线方程为k(片一与)=(34一1)(工一%),整理得=(3才-1卜一2片，设该切线与g(x)切于点(七,8(々))，g'(x)=2x,则/*2)=2々，则切线方程为3x：—1=2x>二,，整理得°=考一2年—3x：—1=2x>二,，整理得°=考一2年—=—电+以一2父二白一2父-"I#+；，则,9 , 3r]h(x)=-x4-2X3——JC+-,则〃'。)=9/一612—3五=3X(3工+1)*—1),令〃'(x)>0,解得一一<x<0或4 2 4 3令〃'(x)<。，解得x<-g或0<x<l,则X变化时，"(x),a(x)的变化情况如下表:.Vh'4)_1~3(4'°)0(0.1)1(1,+00)h(x)—0+0—0+h(x)527]_4-1/则h(x)的值域为［T田)，故a的取值范围为［-1,+8).【题目栏目】导数\导数的概念及运算'导数的几何意义【题目来源】2022年全国高考甲卷数学(文)•第20题(2022新高考全国II卷•第22题)已知函数/(x)=xe'"—e1(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，/(%)<-1,求。的取值范围;(3)设〃eN*证明：/J+/J+"•+/「>】n(〃+(3)设〃eN*■yl"+1V2"+2n~+n【答案】(1)/(X)的减区间为(YO,0),增区间为(0,48).a<— (3)见解析2解析：⑴当a=l时，= 则/'(力=把',当尤<0时,当x>0时，气勾>0,故/(X)的减区间为(-8,0),增区间为(0,”).则〃(0)=0,又“(xjWl+axW—e*,设g(x)=(l+ax)e""—e*,则g,(x)=(2a+a2x)ettV-ev,若a>；，则g'(0)=为一l>0,因为g'(x)为连续不间断函数，故存在天e(0,+8),使得Vxe(O,x()),总有g«x)>0,故g(x)在(0,为)为增函数，故g(x)>g(O)=。，故〃(x)在(0,%)为增函数，故〃(6>〃(0)=-1,与题设矛盾.

若0<a4L则”(x)=(1+好皿-e*=eav+ln(,+ar)-ex,下证：对任意x>0,总有ln(l+x)<x成立，证明：设S(x)=ln(l+x)-x,故S'(x)= 1=—<0,故S(x)在(0,+。。)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即ln(l+x)<x成立.由上述不等式有e‘"1"("宙-e*<ema-e*=e2m-ev<0«故〃'(x)W0总成立，即〃(x)在(0,十功上为减函数，所以〃(x)</z(O)=-1.当“40时，有/z,(x)=eat-er+arettV<1-1+0=0,所以〃(x)在(0,用)上为减函数，所以〃(x)<〃(0)=-l.综上，aW—.2(3)取。=5,则Vx>0,总有祀%_9+1<0成立，令>,贝=ev,x=21nz,故2"nr<*_i即21nr<r」对任意的r>i恒成立.t所以对任意的〃eN*，有21n整理得到：ln(n+l)-lnn<.1 ,yjn〜+〃故一/ H—/ +…4—/ >ln2-lnl+ln3-ln2+・・・+ln(〃+l)-ln〃vl2+1v22+2\ln2+n=ln(n+l), 故不等式成立.【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2022新高考全国II卷•第22题(2022新高考全国I卷•第22题)已知函数/(幻=/一必和g(x)=ar—Inx有相同的最小值.⑴求a；(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)。=1(2)见解析解析：⑴/(x)=e"-奴的定义域为A,而/'(x)=e'-a,若a40,则/'(x)>0,此时f(x)无最小值，故a>0.8。)=以一111%的定义域为(0,+8),而g'(x)=4-'=竺~-当x<lna时，f'(x)<0,故f(x)在(-oo,lna)上为减函数，当x>lna时，f'(x)>0,故f(x)在(ina,+8)上为增函数，故/(x)min=/(lna)=a-alna.当0<x<，时，g'(x)<0,故g(x)在［0,，］上为减函数，a ka)当X>L时，g'(x)>o,故g(x)在(：,+«))上为增函数，W=l-lnl\a)W=l-lnl\a)aTOC\o"1-5"\h\z因为/(x)=e*-ar和g(x)=ar-lnx有相同的最小值，1 a—\故l-ln—=。一。Ina,整理得到 =\na,其中〃>0,a 1+。<7—1 ./\ 2 1 —1设g(a)="； lna,a>0,则g(a)=- @一一=- 衣W。,\+a (1+a)aa(l+a)故g(a)为(°，+00)上的减函数，而g(l)=。，故g(a)=0的唯一解为a=l,故，0=lna的解为a=l.综上，a=\.⑵由⑴可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值为= = 当人>1时，考虑e*—》=力的解的个数、x-lnx=/>的解的个数.设S(x)=e"-x-b,Sr(x)=eA-1,当x<0时，S'(x)<0,当x>0时，S'(x)>0,故S(x)在(-oo,0)上为减函数，在(0,+<%>)上为增函数，所以s(x)min=5(0)=l-Z?<0,而5(-6)=e">0, =e/;—2b,设“(/?)=e"-2b,其中〃>1,则/伍)=e〃-2>0,故“团在(1,+oo)上为增函数，故“®>«l)=e-2>0,故S®>0,故S(x)=e*-x—〃有两个不同的零点，即e-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-b,T'(x)=——-,当0<x<l时，r(x)<0,当x>l时，r(x)>o,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+0。)上为增函数，所以TGL=T⑴=1一〃<。，而T(e")=e">0,T(e")=e"—2b>0,T(x)=x-lnx一力有两个不同的零点即x-lnx=方的解的个数为2.当少=1,由(1)讨论可得x—lnx=Z?、e'-x=b仅有一个零点，当6<1时，由(1)讨论可得x-lnx=/?、e*-x=b均无零点，故若存在直线y=b与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，则力>1.设人(x)=e*+lnx-2x,其中x>0,故”(x)=e'+—2,x设s(x)=e*-x-l,%>0,则s'(x)=e*-l>0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)>s(o)=o即e*>x+l，所以“(x)>x+L-1N2—1>0,所以/i(x)在(0,”)上为增函数，而〃⑴=e-2>0,故在(0,+8)上有且只有一个零点工, <1且：当0<x<%时，<0即e*-X<x—lnx即“X)<g(x),当x〉/时，〃(》)>0即6*-》>工一111》即/(%)>8(尤)，因此若存在直线>=方与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故力=/(%)=g(W>l，此时e'—x=b有两个不同的零点%，/(为<。</)，此时x-lnx=b有两个不同的零点题,*4(0<$<1<玉)，故。"—为=人，-x0=Z?,x4-lnx4-/?=0,x0-lnx0-b=0所以七一6=111X4即e。"=—即eV4-/,-(x4-b)-b=09故儿一人为方程e'-x=〃的解，同理/一匕也为方程e*—x=h的解又e*-X］=/?可化为e"=%+b即％—ln(x)+b)=0即(％+〃)—ln(x+b)—b=0,故％ 为方程x-lnx=b的解，同理与+力也为方程x-lnx=/?的解，所以{石田}={4-瓦％-6},而b>l,xn=x4-b故〈 即入+5=2毛.x}=x「b【题目栏目】导数\导数的应用'导数与函数的单调性'含参函数的单调性问题【题目来源】2022新高考全国I卷•第22题6.(2021年高考浙江卷•第22题)设0,b为实数，且々>1,函数/(x)=优-笈+e2&wR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意b>2/,函数“力有两个不同的零点，求。的取值范围；⑶当a=e时，证明：对任意b>e3函数〃x)有两个不同的零点内,%,满足%>翳再+)■.(注：e=2.71828…是自然对数的底数)【答案】⑴后0时，/(幻在R上单调递增；6>0时，函数的单调减区间为(v,log”二］,单调增IInaJ区间为flog〃y^-,+oo］；VInaJ⑵(l,e［；(3)证明见解析.解析：(1)f(x)=ax-bx+e2,f(x)=ax\na-b,①若640,则f'(x)=a*lna-bN0,所以/(x)在R上单调递增;②若。>0,当xe(F,log“白}寸，/(x)<0J(x)单调递减，当xe(log〃仁,+oo)时，f'(x)>0J(x)单调递增.综上可得，640时，/(x)在R上单调递增；b>0时，函数的单调减区间为(T»,log“3],单调增区间为八。8“二,+(»].VIna) vIna)⑵f(x)有2个不同零点o/-法+/=0有2个不同解=/n〃-bx+2=0有2个不同的解,^t=x\na,则d-图-+/=o=^-^—=e+ej>0,Ina InatTOC\o"1-5"\h\zt r ti己〃(DMe'q-D-eZ/'DMe'a-D+e'Tne'l〉。，又"2)=0,所以re(0,2)时，h(t)<0,fe(2,4co)时,Zi(Z)>0,则g⑺在(0,2)单调递减，(2,«»)单调递增，.-.二要⑵=e?,In6T e、b o•/b>2e2,:.—>2,/.\na<2=>\<a<e2.夕即实数〃的取值范围是⑶a=ej(x)="-云+/有2个不同零点，则"+/=法，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有6马+p~*+e-a2个不同零点，记较大者为％，较小者为X，b――-->e\X|x2x2注意到函数y=匕土在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,包)上单调递增,X,5,2 +J 2/故$<2<七，又由^~~人</知w>5,b= <—=>Xj<—,5 x}x} b由、t b\nbe2匚m,,e2TOC\o"1-5"\h\z要证七>———Xj+一,只需工2>出人+—>2eb b6=巴卫<丝且关于％的函数g®=lnb+S在b>e4上单调递增,X?X) b所以只需证/>In 1■:(“2>5),匕2e2只需证In*-In- € >0,芍24只需证Inx ln2>0,2exJ 4x・.・一<4,只需证〃(x)=lnx--7-In2在x>5时为正，\o"CurrentDocument"2 e由于/i'(x)=1+4xe-x-4e~x=-+4e-x(x-l)>0,故函数〃(x)单调递增，又A(5)=In5——In2=In———>0,故h{x)-Inx --In2在x>5时为正,e 2e" e从而题中的不等式得证.【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年高考浙江卷•第22题(2021年新高考全国7卷•第22题)已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+b.(1)讨论/(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点3①一va«—,b>2a；2®0<a<-,b<2a.2【答案】已知函数/a)=a—i)/—a?+尻(1)讨论了。)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(元)有一个零点g(T)—vaV—,b>2a；2@0<a<—,b<2a.2【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2021年新高考全国II卷•第22题(2021年新高考1卷•第22题)已知函数〃x)=x(l-lnx).⑴讨论/(X)的单调性；(2)设。，b为两个不相等的正数，^,b\na-a\nb=a-b,证明：2VL+，<e.【答案】解析：(1)函数的定义域为(0,+8),又((x)=l-lnx-l=-lnx,当xe(O,l)时，/(x)>0,当xe(l,+a))时，/(x)<0,故〃x)的递增区间为(。/)，递减区间为(1，+8).⑵因为61na-alnb=a—6,故b(lna+l)=a(ln"l),即111"1=1^11,故/(9=/[],ab\a)设'=芯」=电，由⑴可知不妨设。<为<1,/>1.ab因为xe(0,1)时，/(x)=x(l-lnx)>0,x£(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)<0,故1〈Wve.先证：Xj+x2>2,若电22,%+毛>2必成立.若工2<2,要证：司+%>2,即证司>2-％,而0<2-％<1,故即证/(%)>/(2-％)，即证:/(巧)>f(2f),其中ig^(x)=/(x)-/(2-x),l<x<2,贝ij^r(x)=/r(x)+/\2-x)=-Inx-In(2-x)=-In[x(2-x)],因为lvxv2,故0<x(2-x)<l,故一lnx(2-x)>0,所以g'(x)>。，故g(x)在(L2)为增函数,所以g(x)>g⑴=0,故/(力>〃2-力，即〃w)>〃2-工2)成立，所以X+W>2成立，综上，x+W>2成立.设七=为，则，>1,...lna+1In/?+1 1 1 r加(..x/\结合 =——,一=%,二=%可得：xl(l-lnx1)=^(l-lnx2),a b a b即：l-inx=(l_lnf_lnxj,故ln%=^―~t—\要证：X,+x2<e,即证(r+l)x<e,即证ln(r+l)+lnX|<1,即证：ln(r+l)+'-lT1n'<1,即证：(r-l)ln(r+l)-/lnr<0,令S(f)=(f-l)ln(f+1)—fInfJ>1,则 =In(f+1)+---1—Inf=lnfl+-) ,TOC\o"1-5"\h\z先证明一个不等式：ln(x+l)4x.1 _y设〃(x)=ln(x+l)_x,则/(x)= 1= ,x+1 x+\当-IvxvO时，«'(%)>0；当x>0时，wr(x)<0,故“(X)在(TO)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故“(X)1nli'="(0)=0,故ln(x+l)4x成立由上述不等式可得当f>l时，ln(l+；卜;<告，故S'(f)<0恒成立，故5(，)在。,物)上为减函数,故S(，)<S⑴=0,故(f_l)ln(r+l)-〃n/<0成立，即々+七<0成立.综上所述，2<-+^-<e.ab【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2021年新高考I卷•第22题(2021年全国高考乙卷文科•第21题)已知函数/(x)=x3-x2+ar+l.⑴讨论〃x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.【答案】(1)答案见解析；(2)(l,a+l).解析：(1)由函数的解析式可得：/,(x)=3x2-2x+a.导函数的判别式A=4—1加，当△=4-12aW0,aNg时，/'(x)20J(x)在R上单调递增，当A=4-12a>O,a<g时，/'(x)=0的解为：％=2：二铝红,马="冬亘£，' 2_J4_12〃、当XG-00, 时，单调递增；TOC\o"1-5"\h\zI6 )当xe - 时，/(x)<0,/(x)单倜递减：(6 6 )"2+ ]2~' 、当xe 一-,+oo时，f'(x)>OJ(x)单调递增；综上可得：当a2；时，f(x)在R上单调递增，1 ，/、( 2-J4-⑵) (2-V4-12a2+j4-12a1当a〈一时，f(x)在-oo, 上单调递增，在 , 上单调递减，3I6 ) I6 6 )在2+>/4-12o 上单调递增.I6 )(2)由题意可得：/(—)=*Y+/+1,r(%)=34-2%+a,则切线方程为：>一(片一片+期)+1)=(3片—2*0+a)(x—垢)，切线过坐标原点，贝ij：0—(只一片+5+1)=(3片-2%+4)(0—%),整理可得：2£-x：-l=0,即：(/一1)(2宕+%+1)=0,解得：％=1，则/($)=/⑴=1-l+a+l=a+l，即曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(l,a+l).【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第21题(2021高考天津•第20题)已知a>0,函数f(x)="-xe”.⑴求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程：(II)证明/(幻存在唯一的极值点(川)若存在a,使得/(x)4a+。对任意xeR成立，求实数b的取值范围.【答案】(l)y=(a—l)x,(a>0)；(II)证明见解析；(III)H，-h»)解析：(l)/,(x)=a-(x+l)ex,则/'(0)="一1,X/(0)=0,则切线方程为y=(。-l)x,(a>0)；

(II)令r(x)=a-(x+l)e*=O,则a=(x+l)e",令g(x)=(x+l)ex,贝(Jg'(x)=(x+2)ex,当xg(t»,—2)时，g\x)<0,g(x)单调递减；当xe(-2,+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,令g(m)=a,则m>T,f'(ni)=a-g(m)=O,当令g(m)=a,则m>T,f'(ni)=a-g(m)=O,所以当。>0时，、 与y=g(x)仅有一个交点,当xe(-00,⑼时，”>g(x),则r(x)>0,/(x)单调递增，当xe(s+oo)时，a<g(x),贝!)f'(x)<0,/(x)单调递减,为f(x)的极大值点，故存在唯一的极值点;(川)由(II)知/(X)max=/(”)，此时。=(1+加)/,m>一1，所以{/(X)_"}1rax=/(m)_a=(m2一m一1令〃(幻=(工2若存在。，使得fM4。"对任意xeR成立，等价于存在xg(T2),使得h(x}W力，即8N〃汉焉，"(x)=(f+%—2)e*=(x—l)(x+2)e*,x>-1当xe(-1,1)时，〃'(x)<0,/z(x)单调递减，当xe(l,+8)时，〃(x)>0,单调递增,所以人(x)min=〃(D=-e，取bN—e,所以实数b的取值范围［-e,+8).【题目栏目】导数'导数的应用'导数与函数的极值'具体函数的极值问题【题目来源】2021高考天津•第20题(2021年高考全国甲卷文科•第20题)设函数/(x)="x2+”-3]nx+i,其中a>0.⑴讨论的单调性；(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求。的取值范围.【答案】(1)/(力的减区间为(0，5),增区间为15,+8)；(2)。>：.解析：(1)函数定义域为(0,+8),又八x)=12T("T),X因为a>0,x>0,故2ox+3>0,当0<x<]时，/'。)<0；当彳>：时，/'(幻>0：所以/(力的减区间为(0,[),增区间为(：,+8(2)因为/(1)=。2+。+1>0且y=/(x)的图与x轴没有公共点，所以y=/(x)的图象在x轴的上方，由(1)中函数的单调性可得/(xLs=/(：)=3—3ln/=3+31na,故3+31na>0即e【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第20题(2020年高考课标I[卷文科•第21题)已知函数f(x)=2lnx+l.(1)若f(x)42x+c,求c的取值范围；(2)设。>0时，讨论函数g(x)="x)―/(a)单调性.x-a【答案】(l)cN—l;(2)g(x)在区间(0,4)和(a,+oo)上单调递减，没有递增区间【解析】(1)函数/0)的定义域为：(。,+8)/(x)<2x+c=>/(x)-2x-c<0=>2lnx+l-2x-c<0(*),设人(x)=21nx+l-2x-c(x>0),则有〃(幻=2一2=生二^,X X当x>l时，〃(x)<O,/i(x)单调递减，当Ovxvl时，h(x)>O,/z(x)单调递增，所以当x=l时，函数〃*)有最大值，即〃(X)max=MD=21nl+l-2xl-C=-l-C,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需〃(X)max<O=>-1-C<O=>C>-1;,、/、21nx+l-(21n6/-l)2(lnx-lntz)z八5m,,g(x)= =- -(x>。且工工。)因此X—Q X—Q, 2(x-a—x\nx-}-x\na)g(%)= ,设皿x)=2(x—a—xlnx+xlna),x{x-a)则有加(x)=2(lna-Inx),当丸>。时，lnx>lna,所以m(x)<0,加(幻单调递减，因此有机(x)〈机(a)=。，即g'(x)vO,所以g(x)单调递减；当0<x<a时，lnx<lna,所以/(x)>0,m(x)单调递增，因此有/w(x)<帆(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0,a)和(。,田)上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2020年高考课标1［卷文科•第21题(2020年高考课标HI卷文科•第20题)已知函数/(x)=x3-H+M.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有三个零点，求左取值范围.4【答案】(1)详见解析；(2)(0,—).【解析】⑴由题，f'(x)=3x2-k,

当AVO时，f（x）NO恒成立，所以/（X）在（-00,+00）上单调递增:<X<V5当％>0时，令f(x)=O,得x=±Jg,令f(x)<0,得一<X<V5令f（x）＞0,得x＜—g或x＞g,所以/（x）在（一J],J1）上单调递减，在R[k ，（-「）＞（（-00,-七），（户,+00）上单调递增.（2）由⑴知，/（X）有三个零点，则％＞0,且《二V3v3 elk站）＜0当0＜女＜白■时，4＞J|，且f（4）=公＞o,所以,（©在哈,4）上有唯一一个零点,同理一女一1＜一1,f(-k-l)=-k3-(Ji+同理一女一1＜一所以/（X）在（_&-1,一Jg）上有唯一一个零点,又/（*）在又/（*）在（-荐A）上有唯一一个零点,所以/（幻有三个零点,4综上可知人的取值范围为（0,石）.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.【题目栏目】导数'导数的应用'导数与函数零点、方程的根的问题【题目来源】2020年高考课标IH卷文科•第20题（2020年新高考全国I卷（山东）•第21题）已知函数f（x）=ae*T-lnx+lna.（1）当a=e时，求曲线y=/（x）在点（1,7（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;⑵若/(X)21,求。取值范围.【答案】(1)上(2)[1,笆)e-1解析：(1)Q/(x)=e”-lnx+l,.,./'(冗)=靖一，，.•・％=/'⑴=6-1.xQ/⑴=e+1,・・・切点坐标为(1,1+e),・•・函数f(x)在点(1/(1)处的切线方程为y-e-\=(e-lXx-1),即y=(eT)x+2,・•・切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二-,0),e-\1 -? 2・•・所求三角形面积为大x2x|——1=——；2 e-1e-l(2)解法一：Qf(x)=aex~l-Inx+Incz,•*-f'M=。6"一—，且。>。.x设g(x)=/'(x)，则g'(x)=aex~x+二>0,・•・g(x)在(o,”)上单调递增，即尸。)在(o,+8)上单调递增，当。=i时,尸⑴=0,・・・/(力〃而=〃1)=1,・：”力之1成立.1 1 1 i-i当时，-<1，・・・〃T<1，・・・/(,)7(1)=。(6"一1)(。—1)<0,，存在唯一%>0,使得r(Xo)=ae" =0,且当xw(0,』)时/'⑶<。，当xe(如口)时fr(x)>0,/. =—,/.Ina4-x0-1=-Inx0,%因此/(x)min=/(Xo)=ae"T-lnXo+lna=—+ln6z+x0-l+lna>21n^-14-2--x0=2In。+1>1,% Vxo•：/(x)>l,.：/(x)21恒成立；当0<。<1时，/(l)=a+lna<a<l,.,./(l)<l,/(x)Nl不是恒成立.综上所述，实数。的取值范围是[1,+8).解法二：〃x)= '-lnx+lna=d'fT-/“+/w之1等价于eln(,+x~}+Ina+x-1>Inx+x=elnx+Inx,令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/〃&+x-1)Ng(/nr),显然g(x)为单调增函数，，又等价于/m+ 祇，即/wN/nx-x+l，令h(x)=%:-x+1,则A,(x)=--1=上三在(0,1)上h'(x)>O,h单调递增；在(1,+8)上hz(x)<0,h单调递减，•."(MX〃⑴=0，Ina>0,即a21,二。的取值范围是[1,+8).【题目栏目】【题目来源】2020年新高考全国I卷(山东)•第21题15.(2020年新高考全国卷H数学(海南)•第22题)已知函数/(x)=ae'T-ln尤+lna.(1)当a=e时，求曲线内(x)在点(1,1(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若〃x)“，求。的取值范围.2【答案】(1)——(2)[l,+oo)e-1解析：(l)Qf(x)=e*-lnx+l,；./'(x)=eX——，:.k=f'(\)=e-l.xQ/\l)=e+l,.•.切点坐标为(1,1+e),:.函数f(x)在点(1/(1)处的切线方程为y—e-1=(e-l)(x—1)，即y=(e-1)x+2,•••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二匕,0),e-\-2 2工所求三角形面积为一x2x| 1= ；e-1e-1(2)解法一：Qf(x)=aexl-Inx4-Ina,ff(x)=aex~}--,且a>0.x设g(x)=r(x),则g'(x)=aex~x+4>0,x~・・・g(x)在(0,田)上单调递增，即f\x)在(0,+8)上单调递增，当。=1时,/⑴=o,・・・/a)〃而=/⑴=1,・：〃力21成立.,1 1. 1 1-1当。>1时，一<1，㈠r⑴=a(e〃-IXa-lXO,a ••匕 7 a...存在唯一玉)>0,使得/'(Xo)=ae'W---=0,且当xg(0,x())时/''(x)<0,当彳6(%,+8)时xof\x)>0,.二。/"=一,/.lna+x0-l=-lnx0,因此/(工"访=/(xo)=ae^~X-Inx0+Ina玉)= fIn67+Xq-1+lnaN21na-1+2—•=2Ina+1>1,% ”o.：/(x)>l,.：/(x)21恒成立；当0<a<l时，f(l)=a+lna<a<L.1/(l)<l,/(x)Nl不是恒成立.综上所述，实数。的取值范围是[1,+8).解法二：f(x)=aex~'-Inx+lna=elna+x~'-lnx+lna>l等价于elm+x~'+Ina+x-l>Inx+x=e1'1'+Inx,令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/〃a+x-l)2g(/nr),显然g(x)为单调增函数，，又等价于/w+x-lN/nx,BPlna>lnx-x+\,令〃(彳)=欣一%+1,则//'(力=2_]=——-在(。,1)上h'(x)>0,h单调递增；在(1,+8)上(V单调递减，二”(XL=〃⑴=6Ina>0,即a21,二。的取值范围是[1,+8).【题目栏目】【题目来源】2020年新高考全国卷U数学(海南)•第22题16.(2020天津高考•第20题)已知函数/(x)=x3+klnx(kwR),f(x)为/(x)的导函数.⑴当左=6时，⑴求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；(ii)求函数g(x)=/(x)-f(x)+?的单调区间和极值；X(H)当火…一3时，求证：对任意的再，Xjg[1,4«)),且百>々，有,(£)>,(占)-’仇).【答案】【答案】(INi)y=9x-8；(ii)g(x)的极小值为g⑴=1,无极大值；(II)证明见解析.【解析】(I)⑴当4=6时，/(x)=x3+61nx,尸(x)=3/+1.可得"1)=1,/⑴=9,所以曲线y=〃x)在点处的切线方程为y-l=9(x—1),即y=9x—8.(ii)依题意，3且(力=丁—3x2+610工十二,%£(0,4~00).从而可得g'(x)=3x2-6x+9-2,整理可得：g(x)=3(—1)^(—0,xX X令g'(x)=O,解得X=l.当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表:.V(0,1)x=1(l.+oo)g'(x)—0+g(x)单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(。，1),单调递增区间为(1，+00)；g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值.(H)证明：由/(x)=x3+Zlnx,^/(x)=3x2+-.X对任意的再，X2e[l,+oo),且不>々，令'=，。>1),贝!J(再一9)(/'(与)+/'(々))一2(/(5)一/(毛))=(±-±)(34+：+3¥+：[-2(〈-考+&111*1=x：—工；一3再2/ +Z:|---|-2fcln—=x^(f3-3r2 +z---21nr|. ①\<x2xx)x2' kt)h(x)=x---2\nx,xg[1,+oo).x当x>l时，〃'(x)=l+L-2=h-L]>0,XXyXJ由此可得〃(无)在[1,+oo)单调递增，所以当f>l时，〃⑺>"⑴，即r-；-21nr>0.因为毛之1,/_3产+3/_]=(/_])3>0,k>-39所以

只—―3r+31)+《，一；—2111,...93一3产+3，-1)一3卜一；一21皿=r3-3r2+61nr+--l. ②t由(I)(ii)可知，当f>l时，g(r)>g⑴，即r-3r+61nr+；>l,3故t—3，+61nf+—1>0 (3)t由①②③可得(与一七)(/'(Ai)+/(x2))-2(/(Jc1)-f(x2))>0.所以，当人2-3时，任意的由,当w[l,+oo）,且再>々，有/（一）+/仇）；〃xj-7（x2）2 Xj—x2【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2020天津高考•第20题（2020北京高考•第19题）已知函数/（x）=12-x2.（I）求曲线y=/（x）的斜率等于-2的切线方程；（H）设曲线y=fM在点心/«））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（r）,求s（r）的最小值.【答案】（I）2x+y-13=0,（H）32.【解析】（1）因为/（工）=12-/,所以尸（同=一2以设切点为（马/2-/），贝！]-2/=-2,即为=1,所以切点为（1,11）,由点斜式可得切线方程：y-ll=-2（x-l）,即2x+y-13=0.(II)显然a0,因为y=/（x）在点（32-巧处的切线方程为：y-（12-?）=-2r（x-/）,令X,得i2,令…，得.手，所以S0=N-+冲贽m)iC/A\f4+24厂+144 13— 144匕匚［“不妨设f>0"<0时，结果一样），贝i」S(f)= - =不妨设f>0"<0时，结果一样），-(3r+24-4竽）=-(3r+24-4竽）=3(7+8产―48)

4t2空一4)(7+12)3(/-2)(1+2)(7+12)4/ 4/由S'(f)>。，得f>2,由S'(t)<0,得0<r<2,所以S（f）在（0,2）上递减，在（2,内）上递增，所以r=2时，5（。取得极小值,也是最小值为S(2)=\X=32.o【题目栏目】导数'导数的概念及运算'导数的几何意义【题目来源】2020北京高考•第19题(2019年高考浙江文理•第22题)已知实数a片0,设函数/(x)=alnx+,x>0.3(1)当。=-=时，求函数的单调区间；(1【)对任意xe[，■,+<»)均有立，求。的取值范围.TOC\o"1-5"\h\ze2 2a注：e=2.71828…为自然对数的底数.【答案】【意图】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。【解析】⑴当时，/(X)=~bvc+ ,x>0\o"CurrentDocument"4 4r(x)=-j~+—4==巫*三蹩正山所以，函数/(X)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间4x2\ll+x 4xVl+x为(3,+oo)(II)由 得0<q，¥当0<q,也时，f(戏，近，等价于g-冬叵-2阮V..04 4a aa令r=L则r..2夜a设g")=产&-2/J1+x-2lnx，t..2\/2则g⑺= -Jl+g)2--2lnx(i)当xw+00)时，「^,20则g(x)..g(2夜)=8«-4&屈7-llnx记p(x)=4>/x-2&J1+X-Inx,x..y... 2 >/2 12>/xVx4-1-\[2x-Vx+1则p(x)=-y=--7=——= 7= +1X XVX+1(x-1)[1+\fx(\/2x+2-1)]m士、与、人=X标4+1)(向+国列表讨论：

XJ_71。,一)”(x)—0+PM/7(J)单调递减极小值MD单调递增・•・p(x)..p(1)=0.・.g(隔(2伪=2p(x)=2p(x)0—2.\fxlnx—(—2.\fxlnx—(x+1)

\[x3)当xe宣/寸，g(r)..g(Jl+?=令q(x)=2\[xlnx4-(x4-1),xg则q'3=Mx则q'3=Mx+2+l>0故g(x)在故g(x)在g]上单调递增，q(xX,我；)，由⑺得 =°K、q(x)八)= 7=->0,\/x由(i)"i)知对任意xe，■,+<»),rw12虚,+oo),即对任意xe即对任意xe千用|，均有/(戏惑,综上所述，所求的“的取值范围是0,【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2019年高考浙江文理•第22题19.(2019年高考天津文•第20题)设函数/(x)=lnx-a(x-l)e*,其中aeR.(1)若。40,讨论了(x)的单调性；⑵若0<a<Le⑴证明f(x)恰有两个零点：(ii)设％为f(x)的极值点，3为/(x)的零点，且方>/，证明3%-3>2.1 1—rnpf»x【答案】【思路分析(1)】f(x)=--[aex+a(x-l)ex]=X--,xe(0,-hx)).x x时，f'W>0,即可得出函数/(x)在xw(0,+oo)上单调性.1—cjjp'(2)⑴由⑴可知：r(x)=，-e,X£(0,”),x令gOMl-oxV,因为可得g(x)存在唯一解不e(l,ln3.e a可得％是函数/(X)的唯一极值点.令〃(x)=lnx-x+l,可得X>1时，\nx<x-l./(ln-)<0./(^)>/(1)a可得函数/(X)在(天,田)，上存在唯一零点1.(ii)由题意可得：/'(%)=0,/(5)=0,即渥e&=l,ln±=a(占一1)八，可得e*「&=皂由x>l,可得lnx<x-l.又3>%>1,可得取对数即可证明.册-11 1—cuC【解答】⑴/'(1)二乙一— xg(0,^o).X XoWO时，/,(x)>0,所以函数f(x)在XE(0,”)上单调递增.1—nx^fix⑵证明：⑴由⑴可知：f\x)= ,XG(0,400).X令g(x)=l-or/,因为。<。<0，可知：g(x)在X£(0,M)上单调递减，e又g(l)=l-四>0,且g(lnL)=l-a(ln32,=l-(ln，)2<0,a aaa所以g(x)存在唯一解%w(1,InL).a即函数f(x)在(O,X0)上单调递增，在(％,K)单调递减.所以%是函数f(x)的唯一极值点.—Y令〃(x)=lnx-x+1,(x>0),〃*)= ,x可得〃(理,〃。)=0,所以x>l时,]nx<x-i.1 1ini 11/(In—)=ln(ln—)-a(ln—\)ea=ln(ln—)-(ln——1)<0.aaa aa所以函数/(X)在(公，y)上存在唯一零点1.因此函数f(x)恰有两个零点；

（ii）由题意可得：/'（与）=0,/（Xj）=O,即=1,1nxi=4（〃-1）*,所以ln±=Jef,即e'E=至竺L,因为x>l,可得lnx<x—1.兑 x,-1又斗>为>1,故e*'—<%>('J)=x：,取对数可得：不一毛<21n不<2(x(,-l),苦一］1—ax1ex化为：3%一内>2.法二：(H)证明：⑴由⑴知，f\x)= ,x令g(x)=l-"2凡由0<。<_1,可知g(x)在(0,+8)内单调递减，e又g⑴=l-ae>0,且g(ln')=l-a(ln‘)2L=l-(lnL)2<0,a aaa故g(x)=0在(0,+8)内有唯一解，从而广(X)=0在(0,+8)内有唯一解，不妨设为飞,贝iJl<Xo<ln,，当xe(O,Xo)时，/，(幻=鸟鱼>&d=o,a xx所以/(X)在(0,%)内单调递增；当xe(x0,+8)时，/，")=幽<W曳=0,所以/(x)在(x。,—)内单调递减，XX因此毛是/。)的唯一极值点.令〃(x)=lnx-x+l,则当x>l时，A'(x)=--l<0,故人(x)在(l,+o。)内单调递减,从而当x>l时，力(x)v〃(l)=0,所以lnxvx-1,从而/(In—)=lnln--a(ln--l)e叱=lnln--In—+1=h(\n—)<0,aaa aa a又因为f(%)>/(I)=0,所以/(X)在(%,+8)内有唯一零点,又/(X)在(0,%)内有唯一零点1,从而，/(X)在(0,+8)内恰有两个零点.(ii)由题意,/Xxo）(ii)由题意,/Xxo）=Oax^e^=xInx,=。（玉-I）-从而In%=巧十6』/，即ex'^=

而x02Inx,X]-1以内当x>l时，lnx<元一1,又为>%>1，故</(,J)=x。2-1两边取对数，得Ine』』vIn/?,于是七一毛<2巾/<2(%-1),整理得3%一%>2,【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2019年高考天津文•第20题20.(2019年高考全国IH文•第19题)已知/(x)=2/-a?+2.(1)讨论/(X)的单调性；(2)当0<a<3时，记/(X)在区间［0,1］的最大值为M,最小值为m,求m的取值范围.【答案】【解析】：⑴/(x)=6f-2ax=2x(3x-a),令f\x)=0，得x=。或x=§.若a>0，则当xe(-oo,0)Uq，+°°)时，f'W>0；当丫《(0,今时，f'(x)<0.故/Xx)在(yo,0),(*”)上单调递增，在(0,攵上单调递减；若a=0,7(x)在(yo,+oo)上单调递增；若a<0，则当xe(-«,§U(0,+8)时，f'(x)>0；当*€弓,0)时，f'(x)<0.故/(x)在(-oog),(0,钙)上单调递增，在弓，0)上单调递减；⑵当0<a<3时，由⑴知，“X)在%)上单调递减，在q，1)上单调递增，.,./(X)在区间［0,1］的最小值为./1(§=-1+2，最大值为/(0)=2或/(1)=4-a.于是，相—,于是，相—,M=274—a,0<。<22,2,,a<3a32—a+—,0<a<227、27—2,ci<、27当0<a<2时，可知2-a+*单调递减，.•.例-〃曲取值范围是得,2)；当2,"3时，1单调递增，的取值范围是唠，D.—X综上，的取值范围［句,2).【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2019年高考全国III文•第19题21.(2019年高考全国H文•第21题)已知函数f(x)=(x—l)lnx-x-l.证明：(1)/(x)存在唯一的极值点；(2)/(x)=O有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.Y—J 1【答案】解：(1)/3的定义域为。+8)/*)==+1m-1=1门一上.X X因为y=lnx单调递增，y="单调递减，所以/'(x)单调递增，又/'(1)=一1<0,X

/'(2)=ln2-g=@F>0,故存在唯一/e(1,2),使得/'(%)=0.又当x<Xo时，f\x)<0,/(x)单调递减；当x>Xo时，f\x)>0,/(x)单调递增.因此，/(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知/(毛)</(1)=一2,又/(e2)=e2-3>0,所以/(x)=0在(毛,+8)内存在唯一根x=a.由a>/>1得—v1vXq.a又= = 故L是f(x)=0在(o,毛)的唯一根.)(a1aaa a综上，/a)=o有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【题目栏目】导数'导数的综合应用【题目来源】2019年高考全国H文•第21题.(2019年高考全国I文•第20题)已知函数f(x)=2sinx-x8sx-x,/'(x)为/(x)的导数.(1)证明：/'(X)在区间(0历)存在唯一零点;⑵若xe[0,句时，f{x}..ax,求。的取值范围.JT【答案】【解析】⑴设g(x)=/(x),则8")=85》+心足X一1,8'(》)=工85%.当工€(0,二)时,2当xeg'(x)>0；当xe时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,5)单调递增，在(],兀)单调递减.又g(0)=0,gJ>°，g(2=-2,故g(x)在(0,兀)存在唯一零点.所以尸(x)在(0,兀)存在唯一零点.(2)由题设知/(初.曲/(兀)=0,可得a处由⑴知，/'(X)在(0,兀)只有一个零点，设为毛，且当xe(0,毛)时，f\x)>0；当xe(不，兀)时，f'(x)<0,所以/(x)在(0,毛)单调递增，在(毛，兀)单调递减.又/(0)=0,/(兀)=0,所以，当xw[0,兀]时，/(x)..0.又当a,0,xw[0,7t]时，axsO,故/(x)..公.因此，。的取值范围是(一8,。].【题目栏目】导数\导数的综合应用【题目来源】2019年高考全国I文•第20题.(2019年高考江苏•第19题)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cwR、/'(x)为/(x)的导函数.(1)若。=b=c,/(4)=8,求。的值；⑵若。工。力=c,且/(幻和/(x)的零点均在集合{一3,1,3}中，求/(X)的极小值；4(3)若4=0,0<匕辽1,。=1,且/(x)的极大值为M>求证:—.【答案】【答案】见解析【解析】（1）因为。=〃=c,所以f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）=（x-a）y.因为/（4）=8,所以（4一。）3=8,解得。=2,（2）因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x—h)2=x3-(«+2b)x2+b(2a+b)x-ah2,从而广(x)=3(x-b)[x-^^).令r(x)=O,得x=b或x=^^.因为a,b,也也，都在集合｛—3,1,3｝中，且axh,所以=I,4=3,b=—3.3此时/(x)=(x-3)(x+3)2，f(x)=3(x+3)(x-l).令r(x)=O,得x=-3或x=l.列表如下：X(-oo,-3)-3(-3,1)1(1,+℃)f'(x)+0-0+f(x)/极大值极小值/所以f(x)的极小值为/(I)=(1-3)(1+3尸=-32.(3)因为a=O,c=l,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3~(b+l)x2+bx,f\x)=3x2-2(b+l)x+h.因为所以4=4(6+1)2-128=(26-1)?+3>0,则/'(x)有2个不同的零点，设为菁,%(为<%).»“、八但b+l--Jb2-b+\b+\+>jb2-b+\由/(x)=0，得X= ，%= 列表如下：X(Y0,X|)（不々）X2(W，+oo)r（x）+0—0+/（X）/极大值极小值/所以/（x）的极大值M=〃%）.

解法一：M=/(须)=另一伯+解法一：M=/(须)=另一伯+l)x；+如=(3x；-2(b+1)X(+bX。+1T9"2仅2-b+1) ।bg+1)-9 %+-Q--2(从一"i)s+i)27+券+枭…帅+1)

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