【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件

1．4导数在实际生活中的应用【课标要求】1．通过实例，初步学会解决生活中的优化问题(如求利润最大、用料最省、效率最高等)；2．体会导数的广泛应用性及实际应用价值．【核心扫描】1．掌握由实际问题建立数学模型，并表示为适当的函数关系式．(重点、难点)2．运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题．(重点)

1．4导数在实际生活中的应用【课标要求】自学导引1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．优化问题自学导引1．优化问题优化问题2．用导数解决优化问题的基本思路是 2．用导数解决优化问题的基本思路是 3．正确利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)写出答案．3．正确利用导数解决生活中的优化问题名师点睛1．解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去．名师点睛1．解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

(1)与几何有关的最值问题；

(2)与物理学有关的最值问题；

(3)与利润及其成本有关的最值问题；

(4)效率高值问题.

2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的题型一面积、容积最大、最小问题【例1】

在边长为60cm的正方形铁片(如图)的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？题型一面积、容积最大、最小问题【例1】在边长为60cm[思路探索]

引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[思路探索]引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实当0＜x＜40时，V′(x)＞0，当40＜x＜60时，V′(x)＜0，由此可知x＝40是极大值点，且V(40)＝16000cm3.由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此16000是最大值．答：当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件

利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)利用导数求最值，最后回到实际问题中去．利用导数解决生【变式1】已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上．求这个矩形面积最大时的边长．【变式1】已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件题型二成本最低(费用最省)问题【例2】

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？题型二成本最低(费用最省)问题【例2】某地建一座桥，两端[思路探索]

解题的关键是列出函数关系式，再利用导数求最值．[思路探索]解题的关键是列出函数关系式，再利用导数求最值．【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件

解决最值问题时，往往用函数来解决，即转化为求函数的最值．求函数的最值时，有两种策略：一是利用基本不等式求最值；二是利用导数求最值．解决最值问题时，【变式2】

工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场如图，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【变式2】工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场如图【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件题型三利润最大问题【例3】(14分)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．

(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？题型三利润最大问题【例3】(14分)某集团为了获得更大的审题指导先由题意列出函数关系式，再由导数求最值．审题指导先由题意列出函数关系式，再由导数求最值．[规范解答]

(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t≤3)．故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(4分)【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件当2<x≤3时，g′(x)<0，故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． (12分)∴当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．(14分)【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【题后反思】解决利润最大问题，关键是选择合适的变量x，将利润表示为x的函数，然后运用导数知识解答．利润＝销售收入－成本．【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件方法技巧转化与化归思想在优化问题中的应用

生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题，其解决问题的过程就体现了转化与化归的思想．方法技巧转化与化归思想在优化问题中的应用生【示例】

如图所示，铁路线上AB线段长100km，工厂C到铁路线上A处的垂直距离CA为20km，现在要在AB上选一点D，从D向C修一条直线公路，已知铁路运输每吨千米与公路运输每吨千米的运费之比为3∶5，为了使原料从B处运到工厂C的运费最省，D应选在何处？

解题的关键是设出恰当的变量，将运费表示成变量的函数，然后利用导数求出函数的最值．【示例】如图所示，铁路线上AB线段长100km，工厂C到【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【题后反思】本题用了转化与化归的思想，求费用最省问题是生活、生产中常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，写出函数关系式，然后利用导数的方法求解．【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件谢谢同学们的合作再见!谢谢同学们的合作再见!谢谢大家！谢谢大家！1．4导数在实际生活中的应用【课标要求】1．通过实例，初步学会解决生活中的优化问题(如求利润最大、用料最省、效率最高等)；2．体会导数的广泛应用性及实际应用价值．【核心扫描】1．掌握由实际问题建立数学模型，并表示为适当的函数关系式．(重点、难点)2．运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题．(重点)

1．4导数在实际生活中的应用【课标要求】自学导引1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．优化问题自学导引1．优化问题优化问题2．用导数解决优化问题的基本思路是 2．用导数解决优化问题的基本思路是 3．正确利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)写出答案．3．正确利用导数解决生活中的优化问题名师点睛1．解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去．名师点睛1．解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

(1)与几何有关的最值问题；

(2)与物理学有关的最值问题；

(3)与利润及其成本有关的最值问题；

(4)效率高值问题.

2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的题型一面积、容积最大、最小问题【例1】

在边长为60cm的正方形铁片(如图)的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？题型一面积、容积最大、最小问题【例1】在边长为60cm[思路探索]

引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[思路探索]引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实当0＜x＜40时，V′(x)＞0，当40＜x＜60时，V′(x)＜0，由此可知x＝40是极大值点，且V(40)＝16000cm3.由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此16000是最大值．答：当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件

利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)利用导数求最值，最后回到实际问题中去．利用导数解决生【变式1】已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上．求这个矩形面积最大时的边长．【变式1】已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件题型二成本最低(费用最省)问题【例2】

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？题型二成本最低(费用最省)问题【例2】某地建一座桥，两端[思路探索]

解题的关键是列出函数关系式，再利用导数求最值．[思路探索]解题的关键是列出函数关系式，再利用导数求最值．【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件

解决最值问题时，往往用函数来解决，即转化为求函数的最值．求函数的最值时，有两种策略：一是利用基本不等式求最值；二是利用导数求最值．解决最值问题时，【变式2】

工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场如图，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【变式2】工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场如图【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件题型三利润最大问题【例3】(14分)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．

(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？题型三利润最大问题【例3】(14分)某集团为了获得更大的审题指导先由题意列出函数关系式，再由导数求最值．审题指导先由题意列出函数关系式，再由导数求最值．[规范解答]

(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t≤3)．故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(4分)【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件当2<x≤3时，g′(x)<0，故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． (12分)∴当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．(14分)【教育课件】苏教版选修2-2高中数学14《导数在实际生活中的应用》课件