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文档简介

§2.2向量组的秩与线性相关性

§2.2向量组的秩与线性相关性一.基本概念列向量组:1,2,…,s

矩阵A=(1,2,…,s)

矩阵A的秩

定义为向量组1,2,…,s的秩

记为r{1,2,…,s}

第二章n维向量

行向量组:1,2,…,s

矩阵A的秩

向量组1,2,…,s的秩

矩阵A=12s…r{1,2,…,s}§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

r{1,2,…,s}sr{1,2,…,s}

<sr{1,2,…,s}

=s1,2,…,s

线性无关1,2,…,s

线性相关§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维向量

(I):

1,2,…,r(II):1,2,…,s若向量组(II)中的每个向量都能由向量组(I)线性表示,则称向量组(II)能由向量组(I)线性表示给定两个向量组§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

能由线性表示例如:2317,1001,若向量组(I)能由向量组(II)线性表示;同时向量组(II)能由向量组(I)线性表示,则称这两个向量组等价.§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

(I):1,2,…,r(II):1,2,…,s给定两个向量组(1)任何向量组与其自身等价(反身性);(2)若向量组(I)与(II)等价,则(II)与(I)等价(对称性);(3)若向量组(I)与(II)等价且(II)与(III)等价,则(I)与(III)等价(传递性).

例设有两个向量组(I):1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],(II):1=[1,0],2=[1,2].即(I)可以由(II)线性表示.则1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即(II)可以由(I)线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量组(I)与(II)等价.§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

定理.若向量组1,2,…,t可由向量组1,2,…,s线性表示,则r{1,2,…,t}r{1,2,…,s}.推论1.若向量组1,2,…,t可由向量组1,2,…,s线性表示,并且t

>s,则向量组1,2,…,t线性相关.§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

二.向量组秩的性质证明:记A=(1,2,…,s),B=(1,2,…,t),则存在矩阵C使得B=AC,故r(B)r(A).

推论3.若向量组1,2,…,s和1,2,…,t

均线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.例.设1=1+22,2=2+23,3=21+3.证明:1,2,3线性无关1,2,3线性无关.§2.2向量组的秩与线性相关性

第二章n维列向量

推论2.若向量组1,2,…,

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