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文档简介

§6.2

二重积分的计算二、典型例题一、二重积分计算公式三、利用对称性简化二重积分的计算2.1.直角坐标系下二重积分的计算特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.一、二重积分计算公式应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.ⅠⅡⅢ若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式oxy11例1计算解解法一先对y后对x积分oyx例2计算法二先对x后对y积分oyx例3解12345-2-1123

由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分例4计算oyx1D解注意：在例2中，法1比法2简便，在例4中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。原积分=例5作出积分域，并改变积分次序：解024xy

改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历“由限画图”和“由图定限”两个过程。yox4(2,4)2-2积分区域如图(3)解原式(4)解解：分析：这是先对y后对x的二次积分，但先对y积分是积不出来的。故应先交换积分次序，再计算。O1xy1Dy=xy=1先交换积分次序:例6解例7例7解两曲线的交点例8例9解例10解曲面围成的空间立体形状如下.例11解例12解设这两个圆柱面的方程分别为所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,如图从而所求立体的体积为它的底为使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.三、利用对称性简化二重积分的计算二重积分对称性的应用奇偶对称D1D1二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化xoyxoy例15解2.2.二重积分的换元法二重积分的换元公式例17

计算解于是例18

求由曲线所围区域D的面积S。解令D于是极坐标2.3.

极坐标系下二重积分的计算则按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分:作极坐标变换oxDoxDoxDDoxDoxD解令则在极坐标系中，于是例19

计算显然由于从而例20

计算反常积分解设例8例8而因此从而例21

将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：解积分区域：D:在极坐标下，D：于是解在极坐标下，将D分为二部分表示：于是解在极坐标下，D分为二部分表示：于是解例22

求Bernoulli双纽线围成的面积A.解双纽线在极坐标下的方程为：由的周期性得图形的对称性，而且当从增加到时，由零增加到，再减少到零，于

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