线性代数课件2-1矩阵的定义与运算

§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2）掌握矩阵的基本运算及性质.§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数常数项对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数常数项对线性2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,二、矩阵的定义由个数称为矩阵.简称矩阵.记作排成的m行n列的数表二、矩阵的定义由个数称为矩阵.简记为这个数叫做矩阵A的元素，简称为元.表示第i行第j列的元素，称为（i，j）元.一对圆括弧简记为这个数叫做矩阵A的元素，简称为元.表示第i行第j列的元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个

实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.默认为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如三、几种特殊矩阵例如是一个3阶方阵.(2)只有一行的矩阵行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作称为只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).三、几种特殊矩阵例如是一个3阶方阵.(2)只有一行的矩阵行

（3）形如的方阵,称为不全为0对角矩阵(或对角阵）.（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，注意不同阶数的零矩阵是不相等的.记作零矩阵记作或（3）形如例如(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1例如(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1四、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为2.两个矩阵为同型矩阵,并且则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵.对应元素相等,即四、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,五、线性变换关系式的线性变换.表示一个由变量到变量系数矩阵五、线性变换关系式的线性变换.表示一个由变量到变量系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换称之为恒等变换.

单位阵.对应线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换称之为恒等变换.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.六、矩阵的线性运算１、定义（一）、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B

，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1六、矩阵的线性运算１、定义（一）、矩阵的加法设有两个2、矩阵加法的运算规律称为A的负矩阵.2、矩阵加法的运算规律称为A的负矩阵.（二）、数与矩阵相乘1、定义若求：（1）；（2）；（3）例2（二）、数与矩阵相乘1、定义若求：（1）；（2）；（3）例22、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的七、矩阵与矩阵相乘１、定义称C为A与B的乘积.设,规定

,其中七、矩阵与矩阵相乘１、定义称C为A与B的乘积.设,规定例3，求解：例3，求解：注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.例4说明1：一般来说，，即矩阵乘法无交换律.或满足，未必有说明2：若矩阵.例4说明1：一般来说，，即矩阵乘法无交换律.或满足，未必有例5说明3：例5说明3：例6对角元乘相应行；对角元乘相应列.例6对角元乘相应行；对角元乘相应列.例7已知线性方程组于是那么上述线性方程组可记成例7已知线性方程组于是那么上述线性方程组可记成２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;矩阵乘法的应用---生产成本某工厂生产三种产品.每种产品的原料费、工资支付每季度生产每种产品的数量见表2.、管理费等见表1.矩阵乘法的应用---生产成本某工厂生产三种产品.（1）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一季度三类成本的总数量；（3）四个季度每类成本的总数量.该公司希望在股东会议上用一个表格展示出（1）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一季度三类成本的总解我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.解我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中的每一个均可表的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本计算得：的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第二行元素表每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到表3汇总了总成本每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总八、转置矩阵将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵,

记为

性质八、转置矩阵将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转证明：证明：例9

解法1解法2例9解法1解法2对称阵矩阵

A称为对称矩阵，如果AT=A.是对称矩阵的充要条件是容易知道,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明对称阵矩阵A称为对称矩阵，如果AT=A.是对称矩九、方阵的行列式由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成或的行列式，称为方阵A

的行列式,记作

例103阶方阵，求.性质九、方阵的行列式由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成或的行十、方阵的伴随矩阵设A是

n

阶矩阵，由行列式|A|的各元素的称为矩阵A的伴随矩阵.代数余子式Aij所构成的矩阵性质证明则故十、方阵的伴随矩阵设A是n阶矩阵，由行列式|A|例11求伴随矩阵.伴随矩阵.例12求例11求伴随矩阵.伴随矩阵.例12求思考题1、矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.成立的充要条件是什么?2、答故成立的充要条件为思考题1、矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2）掌握矩阵的基本运算及性质.§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2）掌握矩阵的基本运算及性质.§1矩阵的定义与运算目的要求（1）理解矩阵的定义；（2一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数常数项对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数常数项对线性2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,二、矩阵的定义由个数称为矩阵.简称矩阵.记作排成的m行n列的数表二、矩阵的定义由个数称为矩阵.简记为这个数叫做矩阵A的元素，简称为元.表示第i行第j列的元素，称为（i，j）元.一对圆括弧简记为这个数叫做矩阵A的元素，简称为元.表示第i行第j列的元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个

实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.默认为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如三、几种特殊矩阵例如是一个3阶方阵.(2)只有一行的矩阵行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作称为只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).三、几种特殊矩阵例如是一个3阶方阵.(2)只有一行的矩阵行

（3）形如的方阵,称为不全为0对角矩阵(或对角阵）.（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，注意不同阶数的零矩阵是不相等的.记作零矩阵记作或（3）形如例如(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1例如(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1四、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为2.两个矩阵为同型矩阵,并且则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵.对应元素相等,即四、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,五、线性变换关系式的线性变换.表示一个由变量到变量系数矩阵五、线性变换关系式的线性变换.表示一个由变量到变量系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换称之为恒等变换.

单位阵.对应线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换称之为恒等变换.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.六、矩阵的线性运算１、定义（一）、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B

，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1六、矩阵的线性运算１、定义（一）、矩阵的加法设有两个2、矩阵加法的运算规律称为A的负矩阵.2、矩阵加法的运算规律称为A的负矩阵.（二）、数与矩阵相乘1、定义若求：（1）；（2）；（3）例2（二）、数与矩阵相乘1、定义若求：（1）；（2）；（3）例22、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的七、矩阵与矩阵相乘１、定义称C为A与B的乘积.设,规定

,其中七、矩阵与矩阵相乘１、定义称C为A与B的乘积.设,规定例3，求解：例3，求解：注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.例4说明1：一般来说，，即矩阵乘法无交换律.或满足，未必有说明2：若矩阵.例4说明1：一般来说，，即矩阵乘法无交换律.或满足，未必有例5说明3：例5说明3：例6对角元乘相应行；对角元乘相应列.例6对角元乘相应行；对角元乘相应列.例7已知线性方程组于是那么上述线性方程组可记成例7已知线性方程组于是那么上述线性方程组可记成２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;矩阵乘法的应用---生产成本某工厂生产三种产品.每种产品的原料费、工资支付每季度生产每种产品的数量见表2.、管理费等见表1.矩阵乘法的应用---生产成本某工厂生产三种产品.（1）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一季度三类成本的总数量；（3）四个季度每类成本的总数量.该公司希望在股东会议上用一个表格展示出（1）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一季度三类成本的总解我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.解我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中的每一个均可表的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本计算得：的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第二行元素表每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到表3汇总了总成本每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总八、转置矩阵将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵,

记为

性