高一数学压轴题选（附答案）

试卷第=page6060页，总=sectionpages6161页高一压轴题选学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中正确的是（）A．,B．,C．函数（）的值域为D．若,使得，，，,同时成立，则整数的最大值是5【答案】ACD【分析】由定义得，可判断A；由，得，可判断B；由，得得函数的值域，可判断C；根据，，，，，推出不存在同时满足，．而时，存在满足题意，可判断D.【详解】由定义，所以若，，A正确；，，∴，∴，B错误；由定义，∴，∴函数的值域是，C正确；若，使得同时成立，则，，，，，，因为，若，则不存在同时满足，．只有时，存在满足题意，正确.故选：ACD．【点睛】本题考查取整函数定义，正确理解定义是解题基础．性质1对任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1；性质2取整函数(高斯函数)是一个不减函数，即对任意x1，x2∈R，若x1≤x2，则[x1]≤[x2]；性质3若x，y∈R，则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1；性质4若n∈N+，x∈R，则[nx]≥n[x]；性质5若n∈N+，x∈R+，则在区间[1，x]内，恰好有[x/n]个整数是n的倍数；利用性质解决问题．2．设函数，则（）A． B．的最大值为C．在单调递增 D．在单调递减【答案】AD【分析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断CD的正误．【详解】的定义域为，且，，故A正确．又，令，则，其中，故即，故，当时，有，此时即，故，故B错误．，当时，，故在为减函数，故D正确．当时，，故，因为为增函数且，而在为增函数，所以在上为增函数，故在有唯一解，故当时，即，故在为减函数，故C不正确．故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．3．设函数，，则（）A．的最小正周期可能为 B．为偶函数C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增【答案】BCD【分析】A．分析是否恒成立；B．分析函数定义域，根据的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.【详解】A．因为，所以，所以不一定成立，所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；B．因为的定义域为，关于原点对称；又因为，所以为偶函数，故正确；C．因为，所以，所以令，记，所以，当时，，当时，，当时，，当时，，综上可知：的最小值为，取最小值时，故正确；D．取，所以，所以，所以，所以，又因为在上单调递减，且时，，且在时单调递减，根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，所以存在使在上单调递增，故正确，故选：BCD.【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.4．已知函数，，则（）A．在上单调递减 B．是周期为的函数C．有对称轴 D．函数在上有3个零点【答案】BD【分析】先判断出是周期为的函数，再在给定的范围上研究的单调性和零点，从而可判断BCD的正误，再利用反证法可判断C不正确.【详解】因为，故是周期为的函数，故B正确.当时，，因为，而在为增函数，故在为增函数，故A错误.由可得或或，故D正确.若的图象有对称轴，因为的周期为，故可设，则对任意的恒成立，所以即①，也有即②，也有即③，由②③可得，故，由①②可得，故或.若，则，而，若，则这与对任意的恒成立矛盾，故D不成立.故选：BD.【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.5．下列结论中，正确的结论有（）．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2【答案】AB【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成代入即可得其最小值；C.函数，当且仅当此时无解D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.【详解】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．已知正实数x，y，z满足，则（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令则，可得：，，利用对数的换底公式计算可判断选项A，验证是否正确可判断选项B，由于，比较可判处选项C，利用基本不等式可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】令则，可得：，，对于选项A：，若则，因为，所以，故选项A不正确；对于选项B：由可得，即，因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，因为，所以，因为，所以，即，即，故选项C正确；对于选项D：，，因为，因为所以等号不成立，所以，即，所以，故选项D不正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令则，可得：，，再利用对数的运算性质以及换底公式化简每一个选项的等式，注意利用基本不等式时等号能否成立.二、单选题7．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：①的一个周期是；②是非奇非偶函数；③在单调递减；④的最大值大于．其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．②④ C．①③ D．①②【答案】A【分析】根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用得到④正确，从而得到结果.【详解】因为，所以的一个周期是，①正确；又，④正确；又，，所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；当时，，，所以，所以，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④，故选：A．【点睛】该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目.8．已知函数，其中表示不超过x的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M中至少含有8个元素.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】先对分两段和化简，再对各项分析判断正误：对①，由，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；对②，由题中的对应法则，求出集合，判断正误；对③，计算得到其周期性，计算得到，判断正误；对④，综合①②③的分析，判断正误.【详解】当时，；当时，，则对①，有，则或，得，即定义域为，故①正确；对②，当时，成立；当时，成立；当时，成立，所以故②项正确。对③，，，，一般地即有故③正确。对④，由①可知,所以则所以，由②知,对恒有所以则，由③知，对恒有所以综上所述,，所以中至少含有8个元素，故④正确。故选：D.【点睛】本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力，难度较大.9．设函数的最大值为5，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.【详解】解：由题可知，，设，其定义域为，又，即，由于，即，所以是奇函数，而，由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为：5-3=2，由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1.故选：B.【点睛】本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.10．设函数，下列四个命题中真命题的序号是（）(1)是偶函数；(2)当且仅当时，有最小值；(3)在上是增函数；(4)方程有无数个实根.A． B． C． D．【答案】A【分析】由可判断（1）；根据绝对值的几何意义可得（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号），可判断（2）；在内有，可判断（3）；根据函数为偶函数，且时，，所以要使成立，需或，或，解得可判断（4）.【详解】由得，所以为偶函数，故（1）正确；根据绝对值的几何意义可得（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，所以（2）不正确；，，所以，所以（3）不正确；因为函数为偶函数，且时，，所以使成立，需或，或，解得无解或或或所以或，所以方程有无数个实根，所以（4）正确；所以正确命题的序号是（1）（4），故选A.【点睛】本题考查含绝对值符号的函数的奇偶性、最值和绝对值三角不等式的运用，属于难度题，解决的关键在于理解绝对值三角不等式的成立的条件，表示的意义，以及函数的奇偶性和单调性的判断.11．已知函数（）的一个对称中心为，且将的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由是对称中心，可得，由平移后的函数为偶函数可得，可求得的关系式及，由代入可知恒成立，转化为恒成立，结合可求得实数m的取值范围.【详解】是函数（）的一个对称中心，①的图像向右平移个单位得到的函数为，为偶函数，②由①②可知，，解得：又所以对任意，不等式恒成立，即恒成立即恒成立，又且，，解得：所以实数m的取值范围是故选：B【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.12．设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先设函数，由条件确定周期和的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求，代入求，利用伸缩变换求，最后解不等式.【详解】函数的最大值为2，，在区间上单调，所以，即，，即，，是函数的对称轴，，是函数的对称中心，和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，当时，取到最大值2，，，当时，，，根据题意可知，，，解得：，.的解集是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是对称性和周期性的灵活应用，关键由条件确定相邻的对称轴和对称中心.13．已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上零点的个数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先考虑当时，无零点，在平面直角坐标系中画出当时、的图象后可得两者图象交点的个数，从而可得函数零点的个数.【详解】当时，，故，同理可得当时，，此时，故在无零点，同理在也无零点.因为，故将上的图象向右平移个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：因为，故、在上的图象共有5个不同交点，下证：当，有且只有一个零点.此时，而，故在上为减函数，故当，有，当且仅当时等号成立.故、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，故选：A.【点睛】方法点睛：函数的零点问题，可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题，刻画后者的图象时，注意利用图象变换来处理.14．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】可分解因式，分三类，，求解不等式解集，利用不等式的解集是的子集，求解a的取值范围.【详解】由题意，，得，由，得因为使不等式成立的任意一个x，都满足不等式①若，则的解集为，满足，符合题意②若，则的解集为，则，故，则③若，则则的解集为，则，故综上有：a的取值范围为故选：B【点睛】本题考查了含参的一元二次不等式的解法问题，可先将给定式子十字相乘因式分解，根据一元二次不等式所对应的方程的根的大小分类讨论，写出解集.如若不能十字相乘分解，需要先对判别式与零的大小关系进行讨论，判别式大于等于零时，用求根公式求出对应方程的根，从而写出解集.15．已知函数，若，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令则所以所以，所以，其中，则.当时当且仅当即时等号成立；当时，当且仅当即时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．已知，则的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.17．已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据A,B解集的关系求得的根，再根据不等式恒成立解得实数的取值范围.【详解】可设，则为方程的两个根，因为所以恒成立，因此由恒成立得恒成立，即故选：B【点睛】本题考查二次函数、二次方程与二次不等式关系，考查综合分析求解能力，属较难题.18．设，则取得最小值时，的值为（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、解答题20．已知､分别是定义在上的奇函数和偶函数，满足，且，.（1）求实数的值及和的表达式；（2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求常数的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）令根据函数的奇偶性得到，又，即可求出参数的值，从而得到，再令，得到方程组，即可求出函数的解析式；（2）依题意即方程在区间内恰有两个不等实根.令，将原方程转化为，根据函数的奇偶性及单调性可将问题转化为方程在区间内有唯一实根，最后根据函数的单调性求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由已知，，以代，得，因为是奇函数，是偶函数，所以，又因为，所以，∴，由已知，①，以代，得，因为是奇函数，是偶函数，所以②，联立①②可得，，，（2）依题意即方程在区间内恰有两个不等实根.显然不是该方程的根，所以令，由得，则原方程可变形为，易知函数为偶函数，且在区间内单调递增，所以，且题意转化为方程在区间内有唯一实根.易知在区间内单调递减，又时，，所以，(此时每一个，在区间内有且仅有一个值与之对应)∴的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数方程思想，转化化归思想，属于中档题.21．已知函数我们定义其中（1）判断函数的奇偶性，并给出理由；（2）求方程的实数根个数；（3）已知实数满足其中求实数的所有可能值构成的集合.【答案】（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）.【分析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令，转化条件为或或或，再解方程即可得解；（3）按照、分类，结合函数的单调性可得，再代入验证即可得解.【详解】（1）因为的定义域关于原点是对称的，又，故函数是偶函数；（2）令，则，于是，于是或又，解得或或或，则方程的实数根个数即为或或或的根的总个数，解得或或或或或，所以方程的实数根个数为11；（3）因为，当时，在单调递减，且，，则的值域均为，①当时，，于是，因为当时，，所以，所以，即，注意到在单调递减，于是，于是，②当时，类比同理可得，于是当且时，，若，其中，，则，即，也就是；当时，因为的值域为，所以存在使得，又，所以，即，所以实数的所有可能值构成的集合为.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.22．对定义在上的函数和常数，，若恒成立，则称为函数的一个“凯森数对”.（1）若是的一个“凯森数对”，且，求；（2）已知函数与的定义域都为，问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（3）若是的一个“凯森数对”，且当时，，求在区间上的不动点个数（函数的不动点即为方程的解）.【答案】（1）7；（2）存在“凯森数对”，不存在“凯森数对”；（3）0.【分析】（1）由定义有，因此由这个递推式由已知可依次计算出；（2）根据新定义对两个函数分别判断；（3）求出时，的解析式，然后解方程，此方程在上无解，从而无不动点，由此可得在上无不动点．【详解】（1）由题意，∵，∴，，，；（2）设是的一个“凯森数对”，则，即，由于是上的任意实数，∴，∴存在“凯森数对”，设是的一个“凯森数对”，则，对确定的，此等式最多有两个使它能成立，不可能对上的任意实数都成立，∴不存在“凯森数对”．（3）根据新定义，，当（）时，，，由，得，解得或，均不属于，即在上无不动点．由于，∴在上无不动点．不动点个数为0.【点睛】本题考查函数的新定义问题，解题关键是把新定义转化为函数恒等式．由新定义得递推关系，从而可解决特殊的求值，求函数解析式等问题．23．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满函数”.（2）易知函数的图象在上连续不断.①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，所以.根据函数零点存在定理，存在，使得，所以在上有且只有一个零点.②当时，因为单调递增，所以，因为.所以，所以在上没有零点.综上：有且只有一个零点.因为，即，所以，.因为在上单调递减，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用，利用函数的最值证明不等式..24．设是由个实数构成的一个有序数组，记作．其中称为数组的“元”，称为数组的“元”的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的“子数组”．定义两个数组，的“关系数”为．（1）若，，且中的任意两个“元”互不相等，的含有两个“元”的不同“子数组”共有个，分别记为．①；②若，，记，求的最大值与最小值；（2）若，，且，为的含有三个“元”的“子数组”，求的最大值．【答案】（1）①6；②最大值为199，最小值为5；（2）1【分析】（1）①根据“子数组”的定义可得；②不妨设，则可得，根据可得最值；（2）分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质即可求解.【详解】（1）①根据“子数组”的定义可得，的含有两个“元”的不同“子数组”有共6个，；②不妨设，，因为，则当时，取得最大值为，当是连续的四个整数时，取得最小值为；（2）由，且可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，因为，则，可得，故当时达到最大值，故；②当0不是中的“元”时，，又，则，当且仅当时，取到最大值，故，综上，.【点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解子数组的定义以及“关系数”的定义，巧妙利用不等式的性质求解.25．已知奇函数在上有定义，且在上是增函数，，又，，设，，求．【答案】【分析】先根据的单调性和奇偶性解得或，则得，根据得出恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.【详解】∵是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，又，，从而，当时，有或，则集合或，，由，得，，则整理可得，令，则，令，则，在单调递减，，，.【点睛】本题考查函数不等式问题，解题的关键是利用奇偶性和单调性解出，从而得出，求得恒成立即可.26．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0，6]上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用判别式可求的取值范围.（2）由题设可得当时，有恒成立，就、分类讨论后可得的取值范围.（3）根据（2）的结论可得，就、分类讨论后可得所求的最小值.【详解】解：（1）由题意可得，恒成立，即对任意的x恒成立，所以＝m2﹣12≤0，解得；（2）因为2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，由知，，若当时，，则当时，有恒成立，①当时，，所以，又因为，所以；②当时，，所以，因为，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；综上可知，x的取值范围是；（3）由（2）知，且，即，所以当时，，当时，，①当时，有，此时，当时，，当时，，故在上，，②当时，即时，；故在上，.综上．【点睛】方法点睛：（1）对于恒成立，要弄清楚在什么范围上恒成立，如果在上恒成立，可考虑利用判别式的正负来讨论.（2）分段函数的最小值问题，应该逐段讨论，取各段中的最小值的最小值，必要时需分类讨论.27．已知函数，，其中.（1）当时，求函数的值域；（2）求关于的不等式的解集；（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）由得到，.然后令利用二次函数的性质求解.（2）将不等式转化为，然后分，，三种情况讨论求解.（3）根据，由时，，令，，分，求其值域，当时，由根据，得到，然后再根据的最小值为求解.【详解】（1）当时，，.令，则，所以的值域为.（2）因为，即，所以，当即时，解集为；当即时，解集为，当即时，解集为.（3）因为，①当时，，令，，则，所以当时，（1），，（2），，②当时，，即，因为，所以，..若，，此时，符合题意；.若，(舍)；.若，，此时，不符合题意.综上，实数.【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．28．已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______.【答案】【分析】将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值.【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即令2，所以所以x2+y2+x+4y由均值不等式，当且仅当取等号所以x2+y2+x+4y的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题.四、填空题29．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数是上的“平均值函数”．②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．④若是区间[a.，b]（b>a.≥1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）【答案】①③④【分析】直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明，结合导数可证明④的正误.【详解】解：①由，可得由，可得满足“平均值函数”，故①正确；②举反例，令，，可得，又，故②错误；③由函数是上的“平均值函数”，所以关于的方程：在区间内有实数根，由，可得，可得，或，又，故必为均值点，即，可得，故③正确；④由题意得：，要证明，即证明：，令，原式子等价于：，令，可得，故在区间是减函数，故，故④正确；故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查新定义的应用，函数的导数及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力.30．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若对任意，不等式恒成立，则的最小值是___________.【答案】【分析】由题意，的图象始终在的上方，结合图象可知，，进而得解．【详解】解：如图，作出的图象，因为，所以的图象始终在的上方，所以时，且，所以，，当且仅当时取等号.故答案为：【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题．31．已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为________．【答案】4【分析】观察可构造函数,分析其性质得出的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设,则为往右平移两个单位得来.又为单调递增的奇函数,且关于对称.故为单调递增的函数且关于对称.又可知关于对称.故,即.又对任意的,恒成立.即恒成立.故判别式,得.故的最小值为4.故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数进行分析是关键,属于难题.32．当x、y∈（0，1）时，的最大值是______.【答案】【分析】，花括号内三个数的底数相同，则对其指数进行比较，当为最小时，得到，并求出最小值的最大值，然后讨论当时，分别研究当最小，和最小时，对应的范围，从而得到每种情况下的最大值，并对三中情况进行判断，从而得到结果.【详解】x、y∈（0，1）时，可知花括号内三个数的底数相同，则对其指数进行比较，①当为最小时，，得所以，即，此时；当，则或者为最小，②当为最小时，，则，此时，③当为最小时，，则，此时，所以，综上所述，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查运用函数思想解决问题，考查了函数的值域，不等式的性质，对抽象思维要求较高，属于难题.33．已知函数，，且函数的最大值为5，则实数________.【答案】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式，将函数变形为，令，由绝对值三角不等式得到，然后再由基本不等式变形，结合最大值为5求解.【详解】函数，，，令，则，而，当且仅当时，取等号，所以，解得，故答案为：【点睛】关键点点睛：将函数变形为是本题求解的关键.34．已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．【答案】【分析】先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果.【详解】依题意，对于，使得，只需.时，，，故当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.而函数，显然在单调递减.故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.对于，，当时，故是单调递减的，当时，故是单调递增的，故.故依题意知，，即.所以实数m的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.35．已知函数（），集合，，若，则的取值范围为______.【答案】【分析】先根据，利用求得的范围，再求出集合，利用，即可求解.【详解】解：，即有解，由知：，解得：或，又，，令，解得：，故，，令，即，又，易知：，，故，即，又，故恒成立，即，又，即，即，解得：，又，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用得出.36．已知为正实数，则的取值范围是_______.【答案】【分析】先将分式的分子分母同除以，然后采用换元的方法令，根据基本不等式的变形求解出原式的最小值，再根据分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范围.【详解】因为，令，因为，所以，所以原式，又因为，所以，所以，所以原式，取等号时，即，又因为时，，综上可知原式的取值范围是，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.37．已知，，且，则的最大值为____．【答案】【分析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】由，，得，即又，当且仅当，即时，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值为，故答案为：.38．已知，且，则的最小值时___________.【答案】【分析】将配成，利用基本不等式可求最小值.【详解】由，且，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，故的最小值是4，故答案为：4.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构，求最值时要关注取等条件的验证，考查学生的转化与划归能力与运算求解能力，属于中档题.39．已知，，，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用代入，将式子进行齐次化处理，变为，进一步使用均值不等式即可.【详解】当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：值得注意的是，如果直接将式子拆分化简，变成两个式子分别求最值的话，会发现等号是取不到的，所以我们采用“齐次化”的方法，将代入处理.40．若对任意实数，则最小值是______.【答案】8【分析】令，则，然后利用基本不等式可得到答案.【详解】令，则，当且仅当，即取等号.故答案为：8【点睛】方法点睛：在多次运用基本不等式求最值时，一定要检验等号成立的条件是否一致，不一致的话求出来的最值是取不到的.41．设，若时均有，则________．【答案】【分析】考虑，，三种情况，设，，根据图像知过点，带入计算得到答案.【详解】，当时，，不满足题意；当时，时，，，不满足题意；当时，设，，函数均过定点，函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，，三种情况，构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，属于中档题.42．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______.【答案】【分析】由题分析得到，，再求得两函数的零点，分析得出若不等式对任意的恒成立，则有，再利用基本不等式求得最大值得解.【详解】时，有成立，所以时，有，所以令的零点是，在上，在上的零点是，在上，在上若不等式对任意的恒成立，则，当且仅当时，等号成立.故答案为：【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于，小于，还是大于，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．43．若非负实数满足，则的最大值为_____.【答案】【分析】令，结合题意，得到，根据关于的方程必须有解，利用，求得以，即可求解.【详解】令，则，两边平方，可得，（1）因为，所以，（2）由（1）（2）可得，整理得，因为关于的方程必须有解，所以，解得，因为，所以，所以的最大值为16，即的最大值为.故答案为：.【点睛】解答中把转化为关于的方程必