分类加法计数原理与分步乘法计数原理例题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】分类加法计数原理nm1nmnmNn2n＝m＋m＋…＋m种不同的方法．n1 2分步乘法计数原理nm1nmnmN＝n2nm×m×…×m种不同的方法．n1 2都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．230装有20卡片，有多少种不同的取法？[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种).3在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析]该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的情况进行分类．[解析]1,2,3,4,5,6,7,888个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个2,3,4,5,6,7,8,98类，在每一类中满足条件的两位数分别是12个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6x x 例4 方程m＋n＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中那么这样的椭圆有多少个？解以m的值为标准分类，分为五类．n>m，n6n>m，n5n>m，n4n>m，n3n>m，n2∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1 已知则方(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析] 圆方程由三个量确定分别有3种种种选法，由分步乘法数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有654种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名6×5×4＝120(种乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种例1 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a566y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．y＝ax2＋bx＋c2c6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1 (1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)535本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)35个车间中，可分35N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3第三步：从书架下层取一本英语书，有2由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学名男同学从中任选一名同学参加学科竞赛共有不同的选派方种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不的选派方种．[答案] 9 20[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．15幅不同的水彩画．从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析] (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选有7种不同的选法根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．5×2＝105×7＝352×7＝14种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析] 分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝356×7＝42107(种)．例1 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．SAB12、3C2D345，3C4D352C5D34，2、、BD7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C3D、、CACAC同色时，D3AC不同色时，因CBC225×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种方法三按所用颜色种数分类．5第一类，5种颜色全用，共有A5种不同的方法；55第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A4种不同5的方法；5第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A3种不同的方法．5由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A5＋2×A4＋A3＝420(种)．5 5 5探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．理求和，得到总数．理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1 有一项活动，需在3名老师8名男生和5名女生中选人参加．1人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．3×8×5＝120种选法．3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有A．24种 B．4种 C．43种

( )D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于34．(2)类”“”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)14种投法；第24种投法；第3封4343种方法．因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析]方法一：按末位是1,3,514×4×3＝4833×4×3＝3653×4×3＝3648＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A．300种 B．240种 C．144种 D．96[答案] B[解析] 能去巴黎的有4个人依次去伦敦悉尼莫斯科的有5个人个人个人故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.电视台连续播放6个广告其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告要首尾必须播放公益广告，则共种不同的播放方式结果用数值表)[答案]48[解析] 先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧分类”混合问题一般是先分类再分步．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．“”分类，准确分步．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种 C．18种 D．20种答案B满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＝10种，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名法共种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数( )A．6 B．23 C．42 D．44答案B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种 B．18种 C．37种D．48种答案C433343－33＝37(种有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，不同的配法种数．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．按ABOA、OAB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有ABOO父母血型的所有可能情况有()A．6种 B．9种 C．10种 D．12种答案B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；33×3＝9种．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共种不同的排法答案12805种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依45×4×4×4×4＝1280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛获胜者角逐冠亚军败者角逐第34名，则大师赛共场比赛．答案1644解析小组赛共有2C2场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C2＋4＝16(场)比赛．449．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为( )A．42答案A

B．30 C．20 D．12解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．已知I＝{1,2,3}，AB是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合AB共有 ( )A．12对 B．15对 C．18对答案D

D．20对解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P有的不同映射共( )A．32个 B．27个 C．81个 D．64个答案D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.有ABA种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有A．6种答案C

( )B．5种 C．4种 D．3种解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A2种选派方法；BABA2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.由1到200的自然数中，各数位上都不含8的个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．另外

有9×9＝81个，1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．从集中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数和不等于这样的子集共个．答案3211510,29,38,47,5同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，2×2×2×2×2＝25＝32.从正方体的6个表面中取3个面使其中两个面没有公共点则共种不同取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法． 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共( )A．288种答案B

B．264种 C．240种 D．168种A解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有3种方法，再涂点B，C，FA44有2种方法，故有A3×2＝48(种)方法；4A，D，EA3种方法，4 3故共有A3·3C1＝216(种)方法．4 3由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.标号为ABC12个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(2)解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．若两个球颜色相同，则应在B或C2个．∴应有1＋3＝4种．287个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．1人去献血，有多少种不同的选法？1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．1“128＋7＋9＋3＝47种不同的选法．111的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分){1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为A．3答案D

( )B．4 C．6 D．8解析122,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 ( )A．238个答案C

B．232个 C．174个

D．168个3解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×4＝192个333＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．在某种信息传输过程中，用4)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110相同的信息个数为A．10答案B

( )B．11 C．12 D．15解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①②③④⑤⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.4方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C1＝4(个)；44若2个相同，共有C2＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．4.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色同，则不同的涂法有 ( )A．72种答案A

B．48种 C．24种 D．12种解析3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A4种涂法，B3214×3×2×1＝24()涂法；二3A，B，C4×3×2＝24(种)，DC同色即可，故D224＋24×2＝72(种)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 )答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：444“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C1＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C2＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C3＝4(个)四位数．444综上所述，共可组成14个这样的四位数．某次活动中有30人排成6行5列现要从中选出3人进行礼仪表演要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数用数字作)．答案7200305420431230×20×12＝7200.别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内同的点的个数．答案6解析分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．三、解答题(共22分)8．(10分)97语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解1人只会日语．6162＋1＝3(种6×3＝18(种61121×2＝2(种所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．9．(12分)xOyx＝n(n＝0,1,2，…，5)y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有多少个？解方法一对所构成的矩形中所含“小正方形”的个数进行分类：①含1块：25个②2块：20＋20＝40个③3块：15＋15＝30个④4块：20＋16＝36个⑤含5块：10个⑥含6块：12＋12＝24个⑦含8块：8＋8＝16个⑧含9块：9个⑨含10块：8个⑩含12块：12个⑪15块：6个⑫16块：4个⑬20块：4个⑭25块：1总计：225个方法二在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，4条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C2×C2＝15×15＝225个．6 6B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有 ( )A．6个答案C

B．9个 C．18个 D．36个解析中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2323种