2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十三（学生版+解析版）

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十三学校：——姓名：一 —班级：一 —考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含【、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设i为虚数单位，若复数（1一。（1+由）是纯虚数，则实数。的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2.设集合4={xeN*|l<log2X<3},B={1,2,3,4）.则集合AUB的元素个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9.已知圆锥的高为遥，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2V2 B.2V3 C.2V6 D.472.在AABC中，/.BAC=p点P在边BC上，贝ij"4P=：BC”是“P为BC中点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.记又为等差数列入}的前“项和.若3则+=（）A.- B.- C.- D.-15 4 16 3.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为

主题的知识竞赛活动.现有A,8两队报名参加，4,B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成.比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是（）A.- B.- C,- D.-9 9 18 36.已知Q>b+l>l,则下列不等式一定成立的是（）A.\b-u\>b B.a+工>b+：C.—<y— D.q+InbVb+Inaa-lIna.若斜率为k（k>0）的直线l与抛物线y?=4x和圆M：（x—5）2+y2=9分别交于A,B和C,O两点，且AC=BC,则当AMCC面积最大时A的值为（）A.1 B.V2 C.2 D.2V2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角A.EW//FCD.ECEH=A.EW//FCD.ECEH=ECIDc.Tg=eh+ef.下列命题正确的是（）A.若Zi，Z2为复数，则Izgl=|Zi||z2|B.若五，B为向量，5l!||ab|=|a|■\b\C.若Z],Z2为复数，且％+z?|=%-Zzl，则Z1Z2=0D.若五，石为向量,且|,+石|=\a-b\,则Zi-K=011.已知函数/（x）=1/+：以2+1,则（）VaeR,函数/(x)在R上均有极值SaER,使得函数f(x)在R上无极值VaG/?,函数/(x)在(-8,0)上有且仅有一个零点3ae/?,使得函数f(x)在(一8,0)上有两个零点.甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2,方差在区间［1.2,2.4］内，则这五个点数()A.众数可能为1 B.中位数可能为3C.一定不会出现6 D.出现2的次数不会超过两次第II卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.记数列｛aj的前〃项积为T”，写出一个同时满足①②的数列｛a"的通项公式，则an=•①｛八｝是递增的等比数列；②△=r6..设点P是曲线y= 上的任意一点，则P到直线y=-X的最小距离是.已知Fi，6分别为双曲线C：5一3=1的左、右焦点，若点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为..已知直三棱柱ABC-&B1G中，4B1BC,AB=BC=BBX=2,E分别为棱&G,48的中点，过点Bi，D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为匕，/(匕<%)，则七=；平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.由①MC=2MB；②sinC=丝；③=遮这三个条件中任选一个，补充在下14面问题(2)的横线上，并解答下列题目.在ZL4BC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2夕，fesin^=asinB.⑴求A;(2)若Af为边AC上一点，且乙4BM=nB4C,,求44BC的面积..若数列8"满足4+m=即+d(m6N*,d是不等于0的常数)对任意〃eN*恒成立,则称｛即｝是周期为m,周期公差为d的”类周期等差数列”.已知在数列｛。工中，%=1,an+an+1=4n+l(nGN,).(1)求证：｛即｝是周期为2的“类周期等差数列”，并求。2,。2022的值；(2)若数列｛勾｝满足与=an+1-an(n€N*),求｛b｝的前n项和.2021年8月国务院印发《全民健身计划2021-2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计男性252550女性401050合计6535100(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？附.z2=n(ad-bc)2Z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(x2^)0.1000.0500.0100.0050.001XO2.7063.8416.6357.87910.828(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元)..如图，在四面体A8CO中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，△BCD是以点、C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，尸为线段8。上的点.(1)若4G〃平面CEF,求线段CF的长；(2)若二面角4-BD-C的大小为30。，求CE与平面ABO所成角的大小..在平面直角坐标系xOy中，已知点4(-2,0),8(2,0),直线尸A与直线尸8的斜率之积为-；，记动点尸的轨迹为曲线C.(1)求曲线c的方程：(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点。(0,1),直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G,记直线AQ的斜率为七,直线GQ的斜率为B，求证：融一2k2为定值..已知函数/'(x)=ln(e*—1)-Inx.(1)判断f(x)的单调性，并说明理由：(2)若数列｛aj满足%=1.an+1=/(an),求证：对任意nWN*，an>an+1>白绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十三学校： 一姓名：一 —班级： —考号：.题号--二三四总分得分注意：本试卷包含【、II两卷。第1卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第H卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设i为虚数单位，若复数(l-i)(l+ai)是纯虚数，则实数。的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的基本概念及运算，属于基础题.利用复数的乘法运算法则，得出复数的代数形式，然后利用纯虚数的概念即可得到。的值.【解答】解：可知(1-0(1+ai)=1+ai—i+a=(1+a)+(a-l)i,因为复数(1-i)(l+ai)是纯虚数，所以1+a=0,即。=—1.故选：A..设集合4={x6N*|l<log2X<3},B={1,2,3,4}.则集合4UB的元素个数为()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查并集运算和集合中的元素个数，属于基础题.求出A,再求出4UB,即可得其元素个数.【解答】解：A={xEN'\l<\og2x<3}={3,4,5,6,7},又B=[1,2,3,4},则4UB={1,234,5,6,7},故集合A有7个元素.故选：B..已知圆锥的高为遥，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2V2 B.2V3 C.2V6 D.4近【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥的结构特征，属于基础题.求出底面圆的半径，即可求圆锥的母线长.【解答】解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1则h=V6,因为该圆锥的侧面展开图为一个半圆则2"r=nl=ny/h2+r2=n>/6+r2,解得r=V2故I=>Jh2+r2-2>/2所以圆锥的母线长为2注.故选4.在A4BC中，ABAC=p点P在边BC上，则"4P=^BC”是“尸为8c中点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，及直角三角形的性质，是中档题.由直角三角形的性质知，当4P=。时，点P不一定是BC的中点，而当P为BC中点时必有从而判断B正确.【解答】解：在4ABe中，/.BAC=p点P在边BC上，如图所示，点D为BC的中点时，AD=^BC,当以A为圆心，以AD为半径作弧且弧与BC有另一交点P时，此时满足4P=4D=^BC，但点P不是BC的中点，所以充分性不成立；若P是BC的中点，显然由直角三角形的性质知4P=：BC,故必要性成立:因此“AP=是“P为BC中点”的必要不充分条件.故选：B..记S”为等差数列｛册｝的前〃项和.若条=占则9一=()力+乂5 a3+a6A,- B.- C.- D.-15 4 16 3【答案】c【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题.设等差数列｛6｝的首项为的，公差为d,因为告=占所以S6=4S3,利用求和公式可知d=2%,再根据通项公式即可解决问题.【解答】解：设等差数列｛a.｝的苜项为由,公差为d,因为杀=:，所以S6=4S3，因为$6=6al4-d,S3=3al+ d.>于是可得：6%+等d=4(3%+等d),即d=2%,

因此焉;。1+2d_5al_5(a1+2d)+(a1+5d)-16al-16'因此焉;故选：C.28.北京时间2021年10月16日。时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动.现有4,8两队报名参加，A,8两队均由两名高一学生和两名高二学生组成.比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是（）A.- B.? C.- D.-9 9 18 36【答案】c【解析】【分析】本题考查古典概型概率及其计算，组合与组合数公式，属于基础题.由组合知识算出从A,B两队中各选出两名同学的选法，减去四名同学全来自同一年级的选法，即可得到四位学生不全来自同一年级的选法；由古典概型的概率计算公式=事件4所包含的基本事件个数基本事件总个数 ，即可求解.【解答】解：从A,B两队中各选出两名同学的不同选法：戏x戏=36种，四名同学全来自同一年级的选法：2种（都是高一或都是高二），则四位学生不全来自同一年级的选法：36-2=34种，.事件■所包含的基本事件个数由古典概型的概率计算公式= 基本事件总个数 可得：两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率：P=C=^，36 18故选：C..已知+ 则下列不等式一定成立的是（）A.\b-a|>Z? B.q+白>b+gC."1V--— D.q+InbVb+Ineza-lIna【答案】c【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，不等式的性质，涉及利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想，属于中档题.利用特殊值判断A；利用作差法判断B；构造函数并利用导数研究函数的单调性判断D,再结合排除法，即可得答案.【解答】解：由题意，a>l,b>0,a>b+1,对于A,-a|>b,即b—a<—b或b—a>b,故2b<a或a<0,而a<0不成立，2b<a也不一定成立，比如a=4,b=2.9,故A不一定成立；对于B,a+；>b+：,即(a+；)-(b+1)>0,即(a+»(b+AT^>。，a—b>0,ab>0,但ab-1>0不一定成立，比如a=2,b=0.2,故B不一定成立；对于D,a+Inb<b+Ina,即a—Ina<b-Inb,设/'(x)=x-Inx,则1(x)=1-^=号，当x6(0,1)时，f(x)<0,当x6(1,+8)时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，由于a>1，b>0,无法确定/(a)与/(b)的大小，故D不一定成立.故选：C..若斜率为k(k>0)的直线/与抛物线y2=4x和圆M：(x—5尸+y?=9分别交于A,B和C,。两点，且AC=BD,则当4MCD面积最大时A的值为()A.1 B.V2 C.2 D.2V2【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系，三角形面积的最值问题，是难题.由题设可设直线l的方程为y=kx+b,CD的中点为N,联立直线与抛物线的方程得炉产+(2kb-4)x+b2=0,由题知N是AB的中点，从而可求出N的坐标为N(誓,令，由MN1I得，kb=2-3k2,由SAMCD=：|C0|,d=V^5rl~(d2-1)2+ 知d2=g时，ZMCD面积最大，从而(惊察丫=2,得至I」2b2-19/+31=0,再联立这两个式子求出k的值即可.【解答】解：设直线1的方程为y=kx+6,4(xi，yl，8(X2,、2)，设CD的中点为N,联立方程组｛[[J：；°,消去y得+qkb-4)x+b2=0,由4=(2kb-4)2-4k2b2>o,可得kb<1,由韦达定理得不+处=登，因为|AC|=|BD|,CD的中点为N,所以|AC|+\CN\=\BD\+\DN\,即14Vl=\BN\,所以点N是AB的中点，则方用=号=碧，从而=kxN+b=：,即N(空,方，由宜线1与圆M交于点C,D,可知MN11,则――1,又点M(5,0),所以上匕4=一1，整理得她=2-3人①-P~5不妨设点M到直线1的距离为d,由垂径定理，可知|CD|=275』，所以5AMeD=I\CD\-d=49以一d4=J-(d2T/+票,故当d2=g时，4MCD面积最大，此时d=黯，则(篇A，整理得2方-19k2+31=0②联立①②得—一7k2_8=0,解得/=8,又k>0,故k=2VI,从而b=-£VL满足4>0.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2,则（）A.EH//FC B.AHBE=0C.EG=EH+~EF D.EC-EH=ECED【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积，向量的加减运算等，属于中档题.结合图形的对称性，逐一判断即可.【解答】解：由图可知，说与对不平行，故A错误；由图形对称性，可得14Ml=|BN|,|MH|=|NE|,AHJE=(AM+MH)•(BN+NE)=~AM-BN+AM-NE+~MH-BN+MH'NE=0+|福|•|而|cos45。+1丽|•|丽|cosl35。+0=0,故B正确；由图形对称性，可得四边形EHGF是正方形，所以的=前+谓，故C正确；设4CnBD=0,则ECEH=\EC\-\lHIcoszHEC=\EC\-\E0\,ECED=\EC\\ED|cosZ.DEC=\~EC\■\EO\,aEC-£7/=EC-ED,故D正确.故选：BCD..下列命题正确的是()A.若Zi，Z2为复数，则忆㈤=㈤•㈤B.若五,l为向量,JSO|a-b|=|a|\b\C.若Zi，Z2为复数,且％+Z2I=区一之2],则Z1Z2=0D.若了，方为向量，且|五+方|=|行一至|,则五•方=0【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模，复数运算，向量的模，向量的数量积，属于中档题.对于A,设Z]=q+bi,Q,bWR,Z2=c+di,c,d£R,利用复数的模的计算公式，分别求得Izx-zzbIzjlzzl，即可判断；对于B,利用数量积的运算公式即可判断；对于C,举反例，即可排除；对于D,将|1+石|=同一]|两边平方，化简即可判断.【解答】解：对于A,设Zi=q+bi,a,b€R,z2—c^-di,c,dER,则Zi•Z2=(q+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以[Z]•z2\=J(ac—bd)2+(ad+bc)2=Va2c24-b2d2+a2d24-b2c2,闾㈤=Va24-b2-Vc24-d2=y/(a24-b2)(c24-d2)=Va2c2+b2d24-a2d24-b2c2f故0Z2l=怙1|%|,故A正确；对于B,|a-KI=|aI-Ib||cos(a,b)|,故B错误;对于C,令Z]=1—i,z2=14-i»则Zi+Z2=2,Z]—Z2=-23则Z+Z2I=%一22|=2,但Z1Z2H0,故C错误；对于D,由|日十方|=I日一石I，得I五+另|2=I日一石产，所以五2+至2+2万•方=片+片—2元・比所以五7二0,故D正确.故选：AD..已知函数f(x)=1/+ +1,则()VqwR,函数在R上均有极值maWR,使得函数/。)在K上无极值Va&R,函数/(x)在(一8,0)上有且仅有一个零点BaER,使得函数f(x)在(-8,0)上有两个零点【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，涉及利用导数研究函数的单调性，以及函数零点存在性定理，属于较难题.根据题意，对函数/(x)求导，得到/'(x)=/+ax,然后可对各选项进行分析，考虑a=0可判断A、8正误；其次，可分a>0或a<0,利用导数研究函数f(x)的单调性，以及利用函数的零点存在性定理分析判断C、。选项.【解答】解：由题意，对函数/(x)求导，得到尸(x)=♦2+ax,下面对各选项进行分析：对于4,若a=0,则/''(*)=x2>0对任意x6R恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，即函数/(均在R上无极值，故A错误；对于8,由以上分析可知，故B正确;对于C,由上分析可知，a=0时，函数f(x)在R上单调递增，此时/(X)=；/+1,易知X-»-8,/(X)-»-OO,且/(0)=1,所以由函数零点存在性定理可知，函数/1外在(一8,0)上有且仅有一个零点，下面分a>0或a<0两种情况进行考虑，且xe(-00,0),若a>0,令/'(x)>0,即得x<-a,令/''(x)<0,即得一a<x<0,所以函数/'(x)在(-8,-a)上单调递增，在(-a,0)上单调递减，所以函数f(x)在x=-a处取得极大值，即/(—Cl)=cPH—+1=14(j3>0,3 2 6注意到XT-8,/(X)T-8,/(0)=1,所以函数/(X)在(-8,0)上有且仅有一个零点，若a<0,令/■'(x)>0,即得x<0,所以函数f(x)在(一8,0)上单调递增，注意到XT-00,/(x)T-00,/(0)=1,所以函数/'(X)在(-8,0)上有且仅有一个零点，故C正确；对于。，由上对C的分析可知。错误.故选：BC..甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2,方差在区间[1.2,2.4]内，则这五个点数()A.众数可能为I B.中位数可能为3C.一定不会出现6 D.出现2的次数不会超过两次【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用，各个数据对总体的影响，属基础题.根据题意，结合众数，中位数和方差等知识举例说明，即可得出正确选项.【解答】解：对于A,当每个同学掷骰子出现结果为1,1,1,3,4时，满足平均数为2,众数为1,s2=1[3x(1-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=1.6,满足题意，故A正确；对于B,当个同学掷骰子出现结果为1,1,3,3,3时，满足中位数为3,且此时是平均数最小的情况，平均数大于2,故8错误；对于C,若平均数为2,且出现6,则方差s2>36-2)2=3.2>2.4,所以平均数为2,方差为2.4的一定没有出现6,故C正确；对于£),当掷骰子出现结果为1,2,2,2,3时，平均数为2,方差为s2=i[(l-2)2+(3-2)2]=0.4,当掷骰子出现结果为1,1,2,2,4时，平均数为2,方差为s2=g[2x(l-2)2+(4—2)2]=1.2,满足题意，故。正确.故选：ACD.第II卷(非选择题)三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.记数列｛0｝的前〃项积为〃，写出一个同时满足①②的数列｛aj的通项公式，则«n=■①｛即｝是递增的等比数列；②73=76.【答案】2B-5【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式和性质，属于基础题.由%="得出。5=1，由等比数列递增，可取公比大于1的任意实数，不妨设公比为2,即可写出通项公式.【解答】由73=〃可彳耳，Q］。2。3=。405。6，即Q4a5。6=1，又=。4a6»则Os'=1，解得。5=1»因为数列是递增数列，故可设公比为2,可得由=乙，所以册=a""一I=2n-5.16故答案为：2'-S(答案不唯一)..设点尸是曲线y=W-|lnx上的任意一点，则尸到直线y=-x的最小距离是【答案】V2【解析】【分析】本题考查导数的几何意义以及点到直线的距离公式，体现「转化的数学思想，属于中档题.作直线y=-x的平行线，使此平行线和曲线相切，由导数的几何意义得出切点，再由点到直线的距离公式即可得出结果.【解答】解：作直线y=-x的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为y=-x+m的形式，对曲线求导，得y'=：xW-5，令了二—1,得％=1*故切点为(1,1)，该点到直线y= 的距离即为最小值，， 11+11后工/in=-k=72.故答案为：V2..已知吕，尸2分别为双曲线C：，一，=1的左、右焦点，若点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为.【答案】V5【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.设F2（c,0）,渐近线方程为y= 对称点为A（m,n）,运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，斜率之积为-1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求的值.【解答】解：设尸290）,渐近线方程为y=（x,F2的对称点为4（m,n）,即有」-x2=-l,m-ca且%=工驷"2,2 2aAnzri q2-b? 2ab解得m=丁,n=—,所以A（三竺,等），又炉=c2-a2,即4（四了,等），代入双曲线的方程摄一，=l[a>0,b>0）中，可得处立_业=1J1号C2a2 C2b2-化简可得?一4=1,即有e2=<=5,a2 a2解得e=V5或e=-V5（舍去）.故答案为：Vs..已知直三棱柱ABC-4B1Q中，AB1BC,AB=BC=8位=2,D,E分别为棱4姮，AB的中点，过点Bi，D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为匕，丹（匕＜%）,则%=;平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为.【答案】626

豆兀【解析】【分析】本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，简单组合体及其结构特征，棱柱、梭锥、棱台的侧面积、表面积和体积，面面垂直的性质，空间中的距离和平面的基本性质及应用，属于较难题.利用直三棱柱48C-41B1C1的结构特征，构建边长为2的正方体4BCG-A1B1GG1，利用平面的基本性质得过点当，D,E作平面a就是平面E4DB],再利用棱柱和棱台的体积公式计算得吃=总取。A的中点0,利用直三棱柱4BC 的外接球和正方体4BCG-的外接球的结构特征，可得。是直三棱柱的外接球的球心，且直三棱柱48C- 的外接球的半径为力，再利用面面垂直的性质，结合空间中的距离得0到平面EHD尺的距离为最后计算得结论.【解答】解：因为在直三棱柱48C-481cl中，AB1BC,AB=BC=BBX=2,所以构建边长为2的正方体ABCG-&B1GG1如下图，因为D是棱的中点,连接当的，则BiGin&C】=D,连接BG交AC于5，取A5的中点H,连接EH,因为E是AB的中点，所以EH因此过点3】，D,E作平面a就是平面EHOBi，由图可知:VaEH-A^DV^EHCB-DC^9即匕=K1E//-X1B1D»彩=^EHCB-DCXBX»乂因为S-iDH]=1,ShAEH=->所以％=3X2(1+]+J1* £7 17因此％=K1BC-41B1C1_K1=4_6=T；又因为直三棱柱ABC-AiBiQ的外接球就是正方体ABCG-4B1C1G1的外接球，所以取的中点0,则0是直三棱柱4BC- 的外接球的球心，且直三棱柱ABC-4B1G的外接球的半径为百，又因为在正方体4BCG-48住1。1中，平面EHCBi_L平面44传传交于DH,所以在平面44传也内过作Z\F1。”于F,则由面面垂直的性质知：5F1平面EHD/,因此DiF的长就是到平面EH081的距离，所以0到平面EHCBi的距离为= =(因此平面a截此三棱柱的外接球的截面圆的半径为J(、⑸2一(J?=亨，所以平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为gn.故答案为：二,^7T.0 9四,解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。39.由①MC=2MB；②sinC=答；③S—bm=6这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目.在44BC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2夕，hsin^=asinF.⑴求A;(2)若M为边AC上一点，且乙4BM=/B4C,,求ZABC的面积.【答案】解：(1)由题意，在aABC中，利用正弦定理可得bsinA=asinB,利用二倍角公式可得2bsin：cosm=asinB,①又因为B+C=兀-4利用诱导公式可得sin^=sinF=cos3,于是bsin =asinB可化为bcosg=asinB②注意到4€(0,乃)，所以36(0,；)，同时由①②可得sinT=$所以冷,即得4=：：(2)根据题意，作出图形如下所示：

若选择条件①，由⑴知4=g,又乙4BM=4BAC,所以△ABM为等边三角形，故乙BMC=与设MB=X,即得AM=MB=x,因为MC=2MB,所以MC=2M4=2x,AC=3x,又a=BC=2A/7.在△BMC中，利用余弦定理可得：c〃八 1MB2^MC2-BC2x2+4x2-28coscBMC=—= = ； ,22MBMC 4x2化简上式可得：7/=28,解得x=2（负值式=一2舍去），所以AB=MB=2,AC=3MB=6,于是△ABC的面积为：SAABC=\AB-ACsinA=1x2x6xy=3V3；若选条件②，由（1）知A=；,sinCsin4在A4BC中，利用正弦定理可得等=1，sinCsin4设AC=x,于是在A/IBC中，利用余弦定理可得:化简整理上式可得x2-2x-24=0,解得x=6（负值x=-4舍去），于是△ABC的面积为：S4ABe=^AB-ACsinA=|x2x6xy=36；若选择条件③，由（1）知A=g且由条件①分析知△ABM为等边三角形,于是A4BM的面积为旌48M=^AB2s\nA=^-AB2=V3,所以AB=2（负值AB=一2舍去），于是同条件②，设ZC=x,于是在AABC中，利用余弦定理可得：C0S4=C0S4=-=1_182+"2-8>2_4+-2-282ABAC化简整理上式可得/-2x-24=0,解得x=6（负值x=一4舍去），于是△4BC的面积为:S4ABe=\AB-ACsinA=1x2x6Xy=3vl【解析】本题考查解三角形，涉及正余弦定理以及三角形面积公式、诱导公式以及二倍角公式，属于中档题.(1)根据题意，利用二倍角公式以及诱导公式可得sin：=4,于是可求A的大小；(2)若选择条件①，可证A/JBM为等边三角形，在ABMC中利用余弦定理可求MB长，进而利用三角形面积公式可求△4BC的面积;若选条件②,在4ABC中，利用正弦定理可求4B=2,于是在AABC中，利用余弦定理可求4c=6,进而利用三角形面积公式可求AABC的面积：若选条件③，利用三角形面积公式可求AB=2,后续步骤可类似同条件②可求A4BC的面积..若数列｛斯｝满足an+m=an+d(mGN*,d是不等于0的常数)对任意n6N*恒成立,则称但“｝是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”.已知在数列｛a“｝中，臼=1,an+an+1=4n+l(nWN*).(1)求证:｛av是周期为2的“类周期等差数列”，并求@2,Q2022的值；(2)若数列｛%｝满足%=册+1-an(nWN*),求｛匕｝的前〃项和【答案】解：(1)证明：由于an+Q"+i=4几+1,所以册+i+%i+2=4(几+1)+1,两式相减得：0n+2—an=4(nEN*),所以包工是周期为2,周期公差为4的“类周期等差数列”，由Q]+Q2=5,Q]—I♦不=4,所以Q2022=02+(2022-2)x2=4+4040=4044：(2)解：由于刈=an+l-的1，所以bn+l=%+2-％1+1，两式相加得：bn+1+bn=an+2—即=4，当n为偶数时，7；=(瓦+与)+(/+/)+-+(瓦-1+砥)=4彳=2n,当n为奇数时，7；=瓦+(西+坛)+(/+坛)+-+(%-1+九)=3+4•芋=2n+1.工_[2n+l,n为奇数综上所述："t2n#为偶数【解析】本题主要考查数列的通项公式，考查数列的前n项和，属于中档题.(1)由a”+an+1=4n+1,an+1+an+2=4(n+1)+1,相减得斯+2-an=4(nGN*),即可得证；(2)由垢=即+i-即，bn+l=«n+2-an+l'得%+i+垢=册+2一％,=4,需要按照n为偶数时和n为奇数讨论，即可求得｛九｝的前n项和.2021年8月国务院印发《全民健身计划2021-2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计男性252550女性401050合计6535100(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？P(x2NXo)0.1000.0500.0100.0050.001XO2.7063.8416.6357.87910.828(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元).【答案】解：(1)*2=1OO(25X1O-4O*25)Z=吧〜98901>6,635,'m50X50X65X35 91所以能在犯错误的概率不超过0。1的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关：(2)因为65人中有25个男生，40个女生，所以用分层抽样抽出13人中的男生人数为13x最=5(人)，65女生为13x曰=8(人)，65设补贴的金额为X,则X可能的取值为2000,1500,1000,P(X=2000)噜=£，P(x=1500)=甯=豢P(X=1000)噫.补贴金额的分布列如下：X200015001000

14201439 39 39所以数学期望为E(X)=2000x总+1500x*+1000x蔡=«1385(元).【解析】本题考查独立检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，排列组合等基础知识，是中档题.(1)由列联表求出了2的值，从而得出结论.(2)所抽取的13人中男生有5人，女生有8人，从而补贴金额X的可能值为2000,1500,1000,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.42.如图，在四面体48CO中，已知△48。是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段8。的中点，尸为线段8。上的点.(1)若4G〃平面CEF,求线段CF的长；(2)若二面角A-BD-。的大小为30°,求CE与平面A8O所成角的大小.【答案】解：(1)连接CG,••AG//平面CEF,4Gu平面ABD,平面4BDC平面CEF=EF,AG//EF.••E是AB中点，G是BD中点，•••F是BG中点，所以BF=FG==：.4 2■•ABC。是以点C为直角顶点的等腰宜角三角形，CG=-BD=1,CG1BD,2r- V5CF=yjCG2+FG2=—.(2)•••CG1BD,AG1BD,4AGC就是二面角A-BD-C的平面角，LAGC=30。.在三角形ACG中，AC2=AG2+CG2-2AGxCGxcos/.AGC=1,所以AC=1.

取AG中点M,由AC=CG=1,得CM1AG,vAGC\CG=G,AG,CGu平面ACG,CGLBD,4Gl80,8。1平面ACG,vCMu平面ACG,BD1CM,AGCBD=G,AG,BDu平面ABD,aCM_L平面ABD,所以4CEM就是直线CE与平面ABD所成的角.在三角形CEM中，EM=-BG=-,CM=>JCG2-GM2=2 2 2所以tanzCCEM=器=1.所以CE与平面ABD所成角的大小为45«.【解析】本题考查线面平行、垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，二面角等，属于中档题.(1)由线面平行的性质可得AG〃EF,从而F是BG中点，在RtzlCFG中，由勾股定理求CF；(2)取AG中点M,利用线面垂直的判定与性质证明CM_L平面ABD,所以4CEM就是直线CE与平面A