周期信号频域分析

关于周期信号频域分析第一页，共三十八页，2022年，8月28日2

周期信号：给定连续信号f(t),若存在一个正常数T0,使得4.1连续周期信号的Fourier级数则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。一、指数形式的Fourier级数将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号

虚指数信号是周期信号,(

联想单位圆)第二页，共三十八页，2022年，8月28日在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量；

n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量或一次谐波分量；

n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波分量；

n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。由这些信号的线性组合构成的信号周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。4.1连续周期信号的Fourier级数是一个周期为T0的信号。第三页，共三十八页，2022年，8月28日4根据{en(t)}的正交性，有因此，得：周期信号f(t)的Fourier级数和系数计算公式为：4.1连续周期信号的Fourier级数第四页，共三十八页，2022年，8月28日5结论:若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的系数满足4.1连续周期信号的Fourier级数二、三角形式的Fourier级数证明:注:(4.7)指出“当信号f(t)为实函数时，f(t)的Fourier系数是共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。注意到，上式中括号内两项是共轭的，因此第五页，共三十八页，2022年，8月28日6将上式代入(4.11),得公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。注:对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；三角形式的Fourier级数的系数是实数；

分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。4.1连续周期信号的Fourier级数由于Fourier级数的系数Cn一般为复数，

记易知第六页，共三十八页，2022年，8月28日的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。例4-1求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为解:在(4.6)中取则有因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为其三角形式的Fourier级数为图4-1周期矩形脉冲4.1连续周期信号的Fourier级数第七页，共三十八页，2022年，8月28日8f(t)在区间(-1/2,3/2)的表达式为4.1连续周期信号的Fourier级数例4-2求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数表示式。解:由图4-2可知T0=2,所以因此，该信号的指数形式的Fourier级数为图4-2周期三角形脉冲由f(t)

的波形知，C0=0。取t0=-1/2,则Fourier系数为其三角形式的Fourier级数为第八页，共三十八页，2022年，8月28日9Fourier级数的部分和为三、

Fourier级数的收敛条件1.f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：注：在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且在信号的连续点处，Fourier级数收敛于信号真值；在信号不连续点处，Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如图4-3所示。周期信号f(t)的Fourier级数存在条件在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指4.1连续周期信号的Fourier级数f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极小值点的个数有限(强Dirichlet条件)第九页，共三十八页，2022年，8月28日104.1连续周期信号的Fourier级数图4-3所示第十页，共三十八页，2022年，8月28日11周期为T0的偶对称信号f(t),具有关系例如，图4-4。4.1连续周期信号的Fourier级数四、信号的对称性和Fourier系数的关系周期信号的对称性分为两类。第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)；第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。1偶对称信号在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier级数的系数有图4-4偶对称信号Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，

注：实偶对称信号的Fourier级数展开式中只含直流项和余弦项。第十一页，共三十八页，2022年，8月28日124.1连续周期信号的Fourier级数2奇对称信号周期为T0的奇对称信号f(t),具有关系，例如，图4-5。在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier级数的系数有Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为

注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。图4-5奇对称信号第十二页，共三十八页，2022年，8月28日134.1连续周期信号的Fourier级数3半波重叠信号周期为T0的信号f(t),若具有关系，则称为半波重叠信号。例如，图4-6。易知，这种信号的基波周期T1=T0/2,对应的角频率为

取T0=0,则由(4.6)有注:半波重叠信号的Fourier级数中只有偶次谐波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。图4-6半波重叠信号信号的Fourier级数可写为第十三页，共三十八页，2022年，8月28日144半波镜像信号周期为T0的信号f(t),

若具有关系，则称为半波镜像信号。例如，图4-7。构造周期为T0的信号f1(t),其在第一个周期内的值为因此,有注:半波镜像信号的Fourier级数中只有奇次谐波分量。图4-7半波镜像信号f1(t)的Fourier级数为4.1连续周期信号的Fourier级数则由图4-7可知,则有其中第十四页，共三十八页，2022年，8月28日154.2连续时间Fourier级数的基本性质设f(t)是周期信号，周期为T0,基波角频率为f(t)和其Fourier系数Cn的对应关系记为。设f(t)和g(t)均为周期为T0的周期信号,其Fourier系数分别为1.线性特性则af(t)+bg(t)也是周期为T0的周期信号,且有注:上述结论可以推广到多个具有相同周期的信号。设f(t)是以T0为周期的周期信号,它Fourier系数为2.时移特性则f(t-t1)也是周期为T0的周期信号,且第十五页，共三十八页，2022年，8月28日164.2连续时间Fourier级数的基本性质例4-3求图4-8(a)所示的周期信号的Fourier级数表示式。解:由图4-8(a)可知信号的周期T0=2,基波角频率由例4-1知根据g(t)=f(t-0.5)，以及Fourier级数的时移特性，有图4-8例4-3的周期信号(a)(b)第十六页，共三十八页，2022年，8月28日174.2连续时间Fourier级数的基本性质设f(t)和g(t)均为周期为T0的周期信号,其Fourier系数分别为3.卷积特性周期信号的卷积x(t)=f(t)*g(t)定义为则信号x(t)也是周期为T0的周期信号,且Fourier系数分别为例4-4求图4-9(a)所示的周期三角脉冲信号g(t)的Fourier级数表示式。图4-9例4-4的周期信号(a)(b)第十七页，共三十八页，2022年，8月28日184.2连续时间Fourier级数的基本性质解:易知，图4-9(b)所示周期方波f(t)与自身的卷积恰好等于g(t)，即由例4-1可得f(t)的Fourier系数Cn为(见p118)由Fourier级数卷积特性可得g(t)的Fourier系数Dn为故g(t)的Fourier级数表示为第十八页，共三十八页，2022年，8月28日194.2连续时间Fourier级数的基本性质设f(t)是周期为T0的周期信号,其Fourier系数为4.微分特性则信号f(t)

的导数f’(t)

的Fourier系数为若已知f’(t)的Fourier系数为则信号f(t)

的Fourier系数为而直流项可通过对f(t)

积分得到。周期信号Fourier级数还有一些其它性质，见表4-1(见p128)。例如，第十九页，共三十八页，2022年，8月28日204.3连续周期信号的频谱分析一、周期信号的频谱概念已知周期信号f(t)可以分解为虚指数信号之和(即Fourier级数)其中，每个虚指数信号的频率都是基波频率的整数倍；系数Cn反映f(t)的Fourier级数中角频率的虚指数信号的幅度和相位。

注：若f(t)为实信号，则f(t)的幅度谱为偶对称，相位谱是奇对称。(见(4.7)共轭偶对称，p129)因此，系数Cn反映信号中各次谐波的幅度值和相位值。称周期信号的Fourier级数的系数Cn为信号f(t)的频谱。Cn可表示为如下形式，第二十页，共三十八页，2022年，8月28日4.3连续周期信号的频谱分析

例4-5

画出周期信号的频谱。解：

由欧拉公式，f(t)可表示为因此信号的频谱如图4-10所示。图4-10例4-5信号的频谱第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日

若已知信号频谱，则可由(4-39)重建信号。频谱提供了另一种描述信号的方法-----信号的频谱描述。4.3连续周期信号的频谱分析

信号的时域描述和频域描述是从不同角度展现了信号的特征。也是分析和研究信号的基础。频谱图中的负频率不表示存在一个有物理意义的概念与之对应，在处频谱只是表示在信号的Fourier级数中存在虚指数项。

例4-6

画出例4-1所给周期矩形脉冲信号的频谱图。解：

f(t)在一个周期内可表示为其Fourier系数为f(t)的幅度、相位频谱图见图4-11。(…)图4-11周期矩形脉冲信号的频谱注：当Cn为实数时频谱图只需一幅；当Cn为复数时频谱图需要两幅。第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日234.3连续周期信号的频谱分析周期信号的频谱都是由间隔为的谱线组成，表现为离散频谱特征。不同的周期信号，其频谱分布的形状不同，都是以基频为间隔的离散频谱。1、离散频谱特性结论：当f(t)在断点的幅度是有界时，|Cn|按1/n的速度衰减；当f(t)连续而一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减；当f(t)前

k-1

阶导数连续而k阶导数不连续时，|Cn|按1/nk+1的速度衰减。频谱的幅度表示了周期信号f(t)中各频率分量的大小。当周期信号随着频率的增加，幅度频谱逐渐衰减，并最终趋于零。（幅度衰减特性）2、幅度衰减特性(分析Fourier级数中各次谐波)第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日244.3连续周期信号的频谱分析二、相位谱的作用周期信号的频谱由幅度谱和相位谱组成。信号的相位谱在信号f(t)的合成过程中起着和幅度谱同等重要的作用。为了使合成的信号在不连续点有瞬时的跳变,谐波的相位将使得各谐波分量的幅度在不连续点前几乎取相同的符号，在不连续点后取相反的符号。这样各次谐波合成的结果才能使信号f(t)在不连续点附近存在急剧变化。例如图4-12所示的周期方波信号，其Fourier级数为第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日25

图4-12画出了Fourier级数最低的三个谐波分量的波形。各谐波分量在t=1前各谐波分量的幅度为正，t=1后各谐波分量的幅度为负，其他不连续点情况也是类似的。所有谐波幅度的这种符号变化产生的影响加在一起就产生了信号的不连续点。4.3连续周期信号的频谱分析图4-12相位谱对周期信号波形的影响相位谱对信号中急剧变化点的位置起着重要作用。(如果在重建信号时忽略了相位谱，则重建的信号就会模糊或失去信号原有的特征)。第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日从周期信号脉冲信号的频谱(图4-11)可见，其频谱包络线每当时，即时，通过零点，其中第一个零点在处，此后谐波的幅度逐渐减小。周期矩形脉冲信号的有效频带宽度：包含主要谐波分量的频率范围(也称有效频带)。记为(单位rad/s)或(单位Hz),即4.3连续周期信号的频谱分析三、信号的有效带宽信号的有效带宽是信号频率特性中的重要指标，在信号的有效带宽内集中了信号绝大部分谐波分量。

任何系统也有其有效带宽。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。若信号的有效带宽大于系统的有效带宽，则信号通过系统后会损失一些重要成分而产生失真。若信号的有效带宽小于系统带宽，则信号可以顺利通过，但对系统资源有可能浪费。第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日274.3连续周期信号的频谱分析四、周期信号的功率谱周期信号是功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：将f(t)的Fourier级数其中T0为周期信号f(t)的周期。代入上式，得上式称为Parseval(帕什瓦尔)功率守恒原理。第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日284.3连续周期信号的频谱分析

|Cn|2随变化分布的特性称为周期信号的功率频谱(功率谱)。(4-44)表明周期信号的平均功率可以在频域中用Fourier级数的系数来确定。注意到，因此有可见，周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率谱也为离散频谱。从功率谱不仅可以看到各谐波的功率的分布情况，也可确定周期信号的有效带宽内谐波分量具有的平均功率占整个周期信号的平均功率之比。第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日29例4-7试画出图4-1所示周期矩形脉冲信号的功率谱，并计算在其有效带宽内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中解：由例4-1可知，周期矩形脉冲的Fourier系数为4.3连续周期信号的频谱分析将代入上式得因而，周期矩形脉冲信号的功率谱如图4-13所示。信号的平均功率为

而包含在内的各谐波平均功率之和为两者之比为P1/P2=90%，用不大于4次的各次谐波之和来近似该周期信号，可以达到较高的精度。第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日30图4-13例4-7周期矩形脉冲信号的功率谱4.3连续周期信号的频谱分析第三十页，共三十八页，2022年，8月28日31其中，k=<N>和m=<N>表示对周期序列的一个周期求和。4.4*离散Fourier级数周期为N的周期序列f[k]可分解为N项虚指数序列的线性组合，即：一、周期序列的离散Fourier级数上式称为周期序列f[k]的离散Fourier级数(DFS)表示，其中F[m]为周期序列的DFS系数。利用虚指数序列正交性，可得DFS系数为DFS系数F[m]也是一个周期为N的序列。由于周期序列在一个周期内的求和与起点无关，因此周期序列的DFS和IDFS可写为：第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日32例4-8求周期序列的DFS系数F[m]。由f[k]或F[m]可完全描述一个离散周期信号。f[k]是周期序列的时域表示，F[m]是周期序列的频域表示。周期序列DFS和IDFS的物理意义是：“任一周期为N的序列都可以分解为N个虚指数信号的线性组合，不同的周期序列只是对应不同的DFS系数F[m]”。4.4*离散Fourier级数解：f[k]的周期为N=12。由Euler公式因此，该周期序列的DFS系数为由于F[m]的周期为N=12，上式还可以表示为图4-14周期余弦序列的DFS系数图4-14画出了该序列的DFS系数。第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日334.4*离散Fourier级数例4-9求图4-15所示周期矩形波序列的DFS系数。解：信号的周期为N，且。将(4-48)中求和范围取为k=-M到