2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第9讲数列求和分组求和法（解析版）

第9讲数列求和:分组求和法参考答案与试题解析解答题(共14小题)(2021秋•宝山区校级月考)已知数列｛4｝满足a“=3a,i+2,(〃..2),a,=1.(1)求｛〃”｝的通项公式；(2)若包=3q+2"-1,求｛"｝的前〃项和I,.【解答】解：(1)a“=3a“_|+2,(n..2).可得a“+l=3(a,i+l)，(n..2),即有｛a“+l｝是首项为2,公比为3的等比数列，则+1=2.3"，则an=2»3n-1—1,nwN*：)b„=3a„+2n-l=2»3n+2n-4,Tn=(6+184-...+2・3")+(—2+0+…+2/i—4)=；〃(-2+2〃-4)=3向-3+〃2-3〃.2.(2021秋•广陵区校级月考)已知数列｛a“｝的前”项和为S“，且S”=2S1T+2(〃..2,〃eN*),数列｛"｝中，出=以=2.(1)求｛%｝的通项公式；(2)若％=氏_1+1，b2n+l=b2n+an,求数列｛2｝的前10项和.【解答】解：(I)由S“=2S“T+2(〃..2,〃eN*)，可得:Si=2S,,_2+2(〃..3,〃eN*)，两式相减得：an=2a,i(n..3,«eN*)»又由q=2及昆=2E+2可得：a)=4,a,=2q»•・•数列｛《,｝是首项、公比均为2的等比数列，•••4=2";(2)由(1)和题设可得：b2„~b2n-l=1>%「邑=2"，两式相加得：-”2〃一1=2"+1，义A=1,b2=bx+1=2,:"2n7=(邑-1-怎一3)+(4〃-3-J.5)+…+应一4)+。=(2”t+1)+(2n-2+1)+…+⑵+1)+1=(2+22+...+2w-,)+n=2(5)+〃=2"+”2,„..2,1—2又瓦=1也适合上式，4“_]=2"+〃-2 ，%,=%+1=2"+"-1•b,“_、+b,”=2n+l+2〃—3»数列｛bn｝的前10项和为fb、+b-,+…+blQ=(2?+2,+…+26)+(―1+1+...+7)=-

【解答】解：（1）由25.=（〃+1）可，得S.="也'与"..2时，an=S„-S„_j=~^~'an~^'an-i.•.%=—，:.a„=natnn—\nn—\ 1又4-1,%-2,4成等比数列，得（6—1＞。6=（。4-2）2,(2〃]—1)•64=(4q-2)2,4=2或4=，,又4>1,q=2,an=2n(ntN*)；—+T—+Ta-!,+1勒而+2-W+，）"4（2）证明：由（1）川得以= 4yT。=瓦+b2T \-bn=［。—；）+；］+K；-g）+（；）0+,••+【（/+（；）“］，所以(=所以(=1 —In+1<上3H+134 3=(4+〃•?+…+)+(4+b-y+.・•+〃)=2-1（1）求a”及S”:（2）令"=一!一，求数列依+2"｝的前”项和（1）求a”及S”:（2）令"=一!一，求数列依+2"｝的前”项和7；.【解答】解：（1）由题意，设等差数列｛4｝的公差为d，%=q+2d=3%+%=4+4d+q+6d=12整理得4+2d=32q+10d=12解得ii/八cin(r?-l)in(n+l)=1+1•(/2—1)=n»Sn=n'\-\ 1=---(2)bn=-=-—=---—"2Sn〃(〃+1)n〃+1<=屹+2')+也+22)+…+依+2")=(4+%+…+，)+(2i+22+…+2"),111 1 1 2-2"+， , 1 c“+1 〜M+| 1 ,=1 1 F•••H 1 =1 1-2-2=2 1•223n〃+11-2 〃+17.（2021秋•南京月考）已知正项等比数列｛”"｝的前”项和为5.，邑=7%，且4,4成等差数列.（1）求｛a“｝的通项公式；(2)若b.=::若雷’求数列"的前北项和小【解答】解：(1):S3=7q,q+%q+a/=7a(,：,q2+q-6=U,:.q=-3(舍)或g=2,又4,出+2,生成等差数列，.・.2(生+2)=q+4,即2〃q+6=q+。闯2,4=4,・•.{%}的通项公式为=4・2"T=2n+,：(2)为奇数'"[〃,〃为偶数・・笃”=(4+2+ +邑一1)+(4 +d+ +2〃)=(q+q+ +。2〃-1)+(2+4+ +2/z)=(22+24+ + 22")+(2+4+ + 2”)

4(1-4”)4(1-4”)(2+2〃)〃1-4 -/+〃+”口3(2021•河南开学)已知等差数列伍“｝的公差为d(d>0),前〃项和为S.,等差数列｛2｝的公差为2J,且乙=3,§3=6,%=&.(1)求数列｛4｝,｛"｝的通项公式；(2)设c“=2M+」一，求数列｛c“｝的前”项和C”.她+i【解答】解：(1)根据题意，由户,得产:早;6 解得[%=4 [q+6d=3+4d所以4=1+〃-1=〃； =白+(〃-1)x2d=3+2(〃-1)=2〃+1,(2)由(1)可得c“=2"+ =2n(2)由(1)可得c“=2"+ =2n(2〃+1)(2〃+3)4—( 22〃+12〃+3)C=2'+22+...+2"+-(-2311 1 5511—I-...H 7 2〃+1_i_2(i-r)+112〃+3 1-2 232〃+31

4714-611(2021春•安康期末)已知等差数列｛q｝与等比数列｛"｝满足％=6,%=14,4=2,々=16.(1)求数列｛a,,｝,｛"｝的通项公式；(2)设c,=a”+〃,，求数列｛c“｝的前”项和5”.【解答】解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛或｝的公比为q,由。3=6,%=14,可得q+2d=6,a,+6<Z=14,解得a、=d=2,由4=2,仇=16,可得20'=16,解得g=2,所以a.=2+2(〃-1)=2〃：2=2"：(2)—〃+2",则S,,=(2+4+...+2〃)+(2+4+...+2")=/〃(2+2〃)+2(：-2)=n2+n+2"+,-2.(2021秋•湖南月考)在正项等比数列｛4｝中，已知％=16,a,, 的等差中项为：内•(1)求数列｛”"｝的通项公式：【解答】解：(1)设正项等比数列的公比为q(夕>0),由题意知，所以4(d-q-2)=0,%>0,则夕2一夕一2=0,4>0,则4=2,乂4=16,则4=2,所以。“=2〃.(2)由题意得包=(2”-1)(3"+〃，令c“=(2〃-l)(；)".其前”项和为匕，则勺=1x(；6=1x(J?+3x(夕+...+(2〃-3)«g)"+(2〃- ,两 式 相 减匕［一(_1严］；匕=；+吗)2+(步+.••+(；)"］-(2n-l)^r'=l+2工2—1-2所以工=3-(2〃+3)(g)",而1+2+...+〃=返由，2所以数到｛包｝的前“项和(=3-(2〃+3)(%+皿土».11.(2021•沙坪坝区校级模拟)已知数列｛”"｝为等比数列(1)求数列｛《,)的通项公式；(2)设包=log?cn=anbn+ ，求数列｛q｝的前〃b"i；)+3x(g)2+...+(2〃-l)«；)",得 ：-(2〃-严=白(；尸-(2〃-1)«；尸，且。2=4，2(。1+%)=。2+°4.项和7；.(2)设2=+log2an»求数列｛"｝的前〃项和.【解答】解：(1)设公比为4，则有22+4g)=4+4屋，解得q=2,q所以勺=/广2=2〃；(2)由(1)可得，b=〃，c=n-2WH —,〃 " n(n+l)设｛小2"｝的前"项和为4,\—!—I的前〃项和为纥，A,=lx2+2x22+3x23+...+n-2n,2AB=lx22+2x23+3x24+.-.+n-2n+l,o_ox一…+—+…+*…=^■一…=-2,A„=(n-l)x2n+,+2,nwN*,••Tn=(zi-1)x2""+2H •n+l(2021•河南开学)已知等比数列｛”“｝的公比大于1,4=6，4+4=20.(1)求｛”"｝的通项公式；(2)若"=4+ ! ,求｛4｝的前”项和7；.她驾她缓【解答】解：(I)设等比数列｛4｝的公比为贝4>1),由0=6,q+4=20,得色+6g=20,即3/-10g+3=0,q解得q=3或4 (舍去)，所以q=&=9=2,TOC\o"1-5"\h\z3 q3所以〃“=2x3""；(2)由(1)可知勿=2・3»'+ i r=2-3"_|+—!—=2-3n-l+(-,log38"•/%3"+ n(n+l) nn+l所 以T=2x30+2x3'+2x32+...+2-3"-1+1—=2(1-3\1一——=3n一——" 223nn+1 1-3 n+1 n+1（2021秋•山东月考）已知数列｛a“｝满足a,=1,an+l(i)设a=，求数列也｝的通项公式；(2)求数列｛”“｝的前2〃项和邑“•【解答】解：(I)数列｛4)满足4=1，%*产3-；1)"％+1+(产,；B$,1 [2an(〃为奇数)%+1(〃为偶数)所以仅+1=021M4=a2n+1=a2,1+1+]=202n_]+1=2hn+1-即〃”+1=2(勾+1)，由于々+1=0]+1=2,所以数列附“+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列；故b“+l=2x2"T=2",整理得："=2"-1；(2)由(1)得：/“_|=bn,a2„= =2%i=纥，，所以S["(tZj+Gj+...+(Tjn-i)+(42+。4+■■■+%”)，=(Z?|+b、+...+")+2(瓦+Zz,+…+b)t=3(4+b2+…+2)，=3x[(21+22+».+2N)-n],r「2x(27)i=3x[ n\,2-1=3x2"M—3〃-6.(2021•青羊区校级开学)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，々=2，y=1。，数列｛々J的"项和为7；=^(3"-1).(1)求数列｛%｝和｛"｝的通项公式；(2)若数列&｝满足％=%+；,求数列a｝的前〃项和/>b.【解答】解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,•.•丹=2，S4=10.4x3tZj+d=2,4q+———d=10,解得：q=d=1,%=〃•〃,｝的"项和为7；=J(3"-1),当几.2时，b-z=3"T,4=7]=1，也符合上式.•.也=尸・TOC\o"1-5"\h\z(2)£；=可+?="+&尸，2 3・・・数 歹U {cn]的前n项和n八c 、/11 1、〃5+1) ’3’ 3 1B=(1+2+・..+〃)+(1h—I■…4 r)= H —= 1 .“ 3 3〃-” 2 ,1 2 22x3M-,1—33.(2021秋•罗湖区月考)已知5,为数列｛q｝的前“项和，且S"=2"+'-4.(1)求｛4｝的通项公式；(2)求数列｛a；+log24,｝的前〃项和7；.【解答】17、解：(1)当〃=1时，O|=Sj=22—Oj.解得:4=2,当n..2时，a„=Sn-5“_|=(2"+1-2)-(2"-2)=2",q=2满足上式，.••数列｛4｝的通项公式为:a“=2"：(2)由(I)可知a；+log2an=4"+n>,■,7；=(4l+l)+(42+2)+---+(l+2+---+n)=34^-y)+/1(Y1)n(n+l)4向_4--2--3-'4.(2021秋•湖北月考)已知数列｛4｝前"项和为S"，若2s“=(〃+l)a“，且q>1,a,-1,4-2,4成等比数列.(1)求数列｛a,,｝的通项公式；4 4(2)设〃= +2-,数列｛2｝的前”项和为7；,求证：Tn<~.a„an+i 35.（2021秋•河北月考）已知等比数列｛4｝中，q=l,且2