信号处理-习题(答案)

信号处理-习题（答案）用心整理的精品word用心整理的精品word文档，下载即可编辑！！精心整理，用心做精品精心整理，用心做精品亚1口〕E1］x亚1口〕E1］x[(n)X2(n)y(n)Y(ej)ejndX[0]x[8lX[4]X[12]乂⑵xlio]X[6]X[⑼X[1]刈。】x⑸x[13]X(31X[I1]X[7]X(15)［课堂思考题］若Xi(n),X2(n)是因果稳定序列，求证:： ： 1 ：一一1 ： .— X1(ej)X2(ej)d {- X1(ej)d}{-Xz(ej)d}2 2证：设y(WX1(n)X2(n)则由时域卷积定理，得Y(ej)X1(ej)X2(ej)即X1(ej)X2(ej)ejnd令上式的左右两边n=0,得X1(ejX1(ej)X2(ej)dx[(n)X2(n)n0nX1(k)x2(n0k)n0X[(0)X2(0)又傅里叶反变换公式，得X1(n)1-X1(ej)ejnd,x2(n)UX2(ej)ejndTOC\o"1-5"\h\z1 j 1 jXi（0）2- Xi（ej ）d,X2（0） 2- X2（ej ）d所以j j 1 j 1 j.- X1（ej）X2（ej）d {2- XMej）d}{2_ X?（ej）d}3.18［课堂思考题］在N=16时按时间抽取的基-2FFT算法中，若输入序列x(n)采用倒位序，输出序列X(k)采用自然数顺序，试写出输入序列x(n)的排列顺序，并简述理由。答：N=16的基-2FFT算法中，输入序列x(n)倒位序排列顺序为x(0)、x(8)、x(4)、x(12)、x(2)、x(10)、x(6)、x(14)、x(1)、x(9)、x(5)、x(13)、x(3)、x(11)、x(7)、x(15)。其倒位序排序规则如表所示：自然顺序n自然顺序二进制数倒位序二进制数倒位序顺、人序n0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章时域分析5.1 5.1 随机相位正弦波x(t)xx(t)xosin(t)式中，X式中，X0,3均为常数,力在0~2兀内随机取值，试求其自相关函数并作图。分析:利用自相关函数的定义求解，即1TRxx()Tim-0x(t)x(t)dt解：由自相关函数的定义式，得1TRxx()Tim^0x(t)x(t..11TRxx()Tim^0x(t)x(t..1T/22一lim x0sin(T T T/2 '令ti 1 I则dt—d,且T2)dtt)sin(t)dt故Rxx()lim

xx t2xo2Xo.2sincossincossind一cos2可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率3有关，而不含••相位信息，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同••••频率余弦函数。其自相关函数图形如图所示。X02/2X02/2RRxx(?5.2 两个随机相位正弦波x(t) Aosin(t)y(t)B°sin(t)式中,A,式中,A,B0,3,力均为常数，。在0~2兀内的取值概率相同，即满足P()0,P()0,,0其它试求其互相关函数并作图。分析:利用互相关函数的定义求解，即-试求其互相关函数并作图。分析:利用互相关函数的定义求解，即-,、..1T,、，Rxy()TimT°x(t)y(t解：由互相关函数的定义式，得)dt1TRxy1TRxy() pm x(t)y(tTT02一cA0B0sin(01人A0B0cos(2)dtt)sin(t)RxyRxy()可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在P=。/3处。其互相关函数图形如图所示,

第六章数字滤波器设计6.1 已知模拟滤波器的模方函数H(j)|H(j)|220(4 2)2(9~~2)(16~~2)求模拟滤波器的传递函数。分析：利用模拟滤波器的模方函数|川Q)l2与其传递函数Hs)之间的关系式求解，即TOC\o"1-5"\h\z2 . 2H(j)H(s)H(s)H(s)sjsj 」解：将s=jQ,即Q2=s2代入|H(jQ)|2,得2 2 2 c c2H(s)H(s)H(s)2H(s)H(s)H(s)(s29)(s216)(s3)(s3)(s4)(s4)可见，系统有四个极点si,2=±3,s3,4=±4和两对零点Zl,2=±j2为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给Hs)；并取虚轴上的一对共钝零点作为 H(s)的零点，以保证H(s)收敛，故模拟滤波器的传递函数为H(s)25(sj2)(sj2)

(s3)(s4)H(s)6.2试设计一个巴特沃思(BW低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s处的衰减不大于3dB,在阻带截止频率4X105rad/s处的衰减不小于35dB。

分析：按照§6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实<1先确定滤波器的阶数N由于［公式1］p(p)101g［1 p/c2N］令 plCN10lg1 2求解,s(s)101g［1s/c2N］令 s/CN101g1 2则滤波器的阶数［公式2］N」g_^—［注意：N为正整数］1gp£s且截止频率［公式3］1/N 1/Nc p坎c s②求解位于左半S平面上的极点［公式4］j2kN1sk ce '2N,k1,2,,2N③确定N阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数[公式5]H(s)N

c-Ns skH(s)N

c-Ns skk1sSisS2sSn解：⑪先确定滤波器的阶数N5由题息可知，Qp=10rad/s时，通市取大垠:减％p=3dBQs=4x105rad/s时，阻带最小衰减％s=35dB则代入[公式1],求得参数丫和入TOC\o"1-5"\h\z2 2p (p)10lg1 310lg1 1s (s)10lg1 2 3510lg1 2 56.2将参数丫、入、Qp和Qs代入[公式2],则滤波器的阶数

N -lg一/—— 2.9取N3lgps将参数N、丫和Qp代入[公式3],可得截止频率1/N 5c pp10rad/S②求解位于左半S平面上的极点将参数Qc和N代入[公式4],得极点j2kN1Ske Skcek1,2,3j(k1)/3

ce k1,2,3SiS2j2/3e(1j.3)SiS2j2/3e(1j.3)c/2S3cej ccej4/3 (1j、3)c/2③确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)将参数ZQc和Sk代入[公式5],得巴特沃斯低通滤波器的传递函数（式中Qc=105rad/s）SSS1SSSSS1SS2ss33co2 ~2 3s2cs2cscc c cH(s) —cS

k16.3试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Qc=3rad/s。分析：本题利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为2 1(j) 1jjc2N在上式中代入jQ=s,可得

1

H(s)H(s) 1sjc而Hs)H-s)在左半S平面的极点即为Hs)的极点，因此H(s)koH(s)-Ns skk1j2kN1其中sk cj2kN1其中sk ce ^N，k1,2,,N,ko由H(s)s01来确定。注意:可以证明，系数ko=QcN。解：对于二阶(N=2)巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为H(j)H(s)H(s)H(s)H(s)各极点满足j2kN12Nj2kN12Nsk cej2k1ce八，k1,2,3,4则k=1,2时，所得的Sk位于左半S平面，即为H(s)的极点SiS2四25j4 32ce F322322由以上两个极点构成的系统函数为k0kk0S23.2s9H(s) S23.2s9ss1ss2代入条件H(s)s01,可得ko=9[注:ko=Qc2],故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数9H(s) 2————s3.2s9试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Qc=2rad/s。分析：与习题6.3同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。解：对于三阶(N=3)巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为H(j)H(s)H(s)H(s)H(s)各极点满足Skj2kN1ce2Njk12e3k1,2, ,6不难得知，当kSkj2kN1ce2Njk12e3k1,2, ,6不难得知，当k=1,2,3时，相应的极点Sk均位于左半S平面。则滤波器的系统函数H(s)的极点2SiS2S32ej32ej4卜2e3因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为H(s)SS|SS2H(s)SS|SS2SS38s34s28s8设模拟滤波器的系统函数为saH(s) 2-2(sa)b

试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。分析:给木J用冲激响属不变法，设计IIR数字低通滤波器的过程如图所示指标所示指标确定AF反变换求解AF的单采样获得DF的单位冲Z变换获得DF的的传函 ►位冲激响应令激响应序列h(n)传函H(z)解：将H(s)展开成部分分式，得H(s)sa2 2H(s)sa2 2(sa)b1/2 1/2sajbsajb对Hs)取拉氏反变换，得h⑴1eh⑴1e(ajb)t-e(a2jb)t对h(t)作周期为T的等间隔采样，得h(n)h(t)tnT1e(…)nTe(ajb)nTH(z)h(n)z

n0对h(n)取Z变换，得H(z)h(n)z

n021e(ajb)Tz1 1e(ajb)Tz11(eaTcosbT)z1Z ~aT 5、~~1 2aT~~21(2ecosbT)zez设有一模拟滤波器H(s)1s2 s1采样周期T=2,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数Hz)。分析：双线性变换法是模拟系统函数的S平面和数字系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系i

z-1

z解：将T=2代入变换公式，可得则数字系统函数H(z)H(s)1 2z1z12zz用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率 fs=1.2kHz,截止频率fc=400Hz分析：按照§6.3中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。3利用关系式⑴=TQ将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标②利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿后••的模拟域频率指标2-tanO按补偿后的模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器••••Hs)[参见例6.2.4]劣利用双线性变换公式，将模拟滤波器 H(s)变换为数字滤波器Hz),即

H(z)H(s)s21z1(T为采样周期)

TH 解：此数字滤波器的截止频率ccTccT2fc—fs1 22 400 1200 3由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率2tanT2fs2tanT2fstan—s32.3fs由习题6.4可知，三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数H(s)sSH(s)sSiss2ss3其中，滤波器的系统函数H(s)的极点TOC\o"1-5"\h\z,2 .4j3 j j36 ce3,S2 ce,S3 ce3故有H(s)cH(s)-o2o 2-s2cs2csc c将双线性变换公式和273f将双线性变换公式和273fs代入，可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数H(z)H(s)s2』H(s)s2f!TT1z1 s1z1TOC\o"1-5"\h\z3 1、3c(1z). 3 13 .2 12 1 2.2 1 12 3 13(2fs)(1 z) 2c(2fs)(1z)(1z) 2c(2fs)(1 z)(1 z)c(1z)33(1z1)3(1z1)3 2x3(1z1)2(1z1) 6(1 z1)(1 z1)2 3.3(1 z1)36.8 请选择合适的窗函数及窗宽N来设计一个线性相位低通滤波器HdHd(ej)0,要求其阻带最小衰减为 45dB,过渡带宽为8兀/51,试求出h(n)(设截止频率3c=0.5兀)。分析：本题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择(当然用凯塞窗则可改变B来满足阻带衰减的要求)，而窗宽N的选择则影响过渡带宽。按照§6.4中所述的线性相位FIR数字低通滤波器的设计步骤来实现。3给定所要求的理想频率响应函数Hd(ej。；②确定相应的理想脉冲响应序列i 1 jjhd(n)IDTFTHd(eJ)或Hd(eJ)eJnd(3由阻带最小衰减及过渡带宽的要求，利用表6.4.1(参见教材P156表4.4.1),确定窗函数w(n)的形状及其宽度N;表6.4.1 常用窗函数及加窗后FIR滤波器的特性窗函数旁瓣峰值(dB)主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减(dB)矩形窗-134兀/N1.8兀/N-21三角形窗-258兀/N4.2兀/N-25汉宁窗-318兀/N6.2兀/N-44哈明窗-418兀/N6.6兀/N-53布莱克曼窗-5712兀/N11兀/N-74凯塞窗(B=7.865)-5710兀/N-80结论:过渡带的宽度随窗宽N的增加而减小，而阻带最小衰减则仅••••••••••••••••••••••••••由窗的形状决定，不受N的影响。为求得所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)hd(n)w(n),n0,1, ,N1(5计算FIR滤波器的频率响应H(ej)DTFTh(n)H(ej)DTFTh(n)N1h(n)ejnn0Hd(ej)W(ej)检验是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计。解：根据题目所给的低通滤波器频响的表达式H(ej),可得其脉冲响应序列hdhd(n)IDTFTHd(ej)Hd(ej)ejndcjjn——eedccsincnc c式中，截止频率3