优质课 精品教案 (省一等奖)《垂直于弦的直径》公开课教案

图图1图224.1.2垂直于弦的直径教学时间课题24.1.2教学时间课题24.1.2垂直于弦的直径课型新授课知识探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质;教学目标能力过程和方法情感和教学目标能力过程和方法情感在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法;培养学生独立探索，相互合作交流的精神.使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动态度精神.价值观教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.教学准备教师多媒体课件学生“五个一〃课堂教学程序设计设计意图、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？〔课件：探究圆的性质〕学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的局部能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个。O,沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半局部重合；第二步，得到一条折痕CD;第三步，在。O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸翻开，新的折痕与圆交于另一点B,如图1.图图4在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB,得到等腰AOAB,即OA=OB.因CD，AB,故4OAM与4OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，那么AM=BM.又。。关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合.因此AM=BM,AC=BC,同理得到AD=BD.教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的根底上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：〔1〕垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；〔2〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.活动3：如图3,AB所在圆的圆心是点0,过。作OCAB于点D,假设CD=4m,弦AB=16m,求此圆的半径.图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现假设OCLAB,那么有AD=BD,且4ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程.教师活动设计：在学生解决问题的根底上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距〔圆心到弦的距离〕四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来.〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R—4,AD=8,在Rt△ADO中AO2=OD2+AD2，即R2=(R—4)2+82.解得R=10〔m〕.答：此圆的半径是10m.活动4：如图4,AB,请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法.师生活动设计：根据根本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点.〔解答〕1.连接AB；2.作AB的中垂线，交AB于点C,点C就是所求的点.三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识.活动5解决以下问题.如图5,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米.现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由.图5图6学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比拟量，才能说明能否通过，比方，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比拟，假设大于2米说明不能经过，否那么就可以经过这座拱桥.〔解答〕如图6,连接AO、GO、CO,由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到OC±AB,OCXGF,根据勾股定理容易计算OE=1.5米，OM=3.6米.所以ME=2.1米，因此可以通过这座拱桥..银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图7所示，污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？图7图8师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌

握通过作辅助线构造垂径定理的根本结构图，进而开展学生的思维.〔解答〕如图8所示，连接0A,过。作OELAB,垂足为E,交圆于F,1那么AE=2AB=30cm.令。O的半径为R,那口么0庆=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt^AEO中，OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50cm.修理人员应准备内径为100cm的管道.小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性.作业设计教学反思作业设计教学反思必做选做习题24.1第1题，第8题，第9题.［教学反思］学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。圆(第3课时)教学内容.圆周角的概念..圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半.

推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.教学目标.了解圆周角的概念..理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半..理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径..熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.重难点、关键.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题..难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理..关键：探究圆周角的定理的存在.教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题..什么叫圆心角？.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角.〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题.二、探索新知问题：如下图的。O,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF所在的。。其它位置射门，如下图的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像NEAF、NEBF、NECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题..一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言.老师点评：.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个..通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的..通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.〃〔1〕设圆周角NABC的一边BC是。。的直径，如下图,ZZAOC是^ABO的外角.••NAOC=NABO+NBAO,?OA=OB.•・NABO二NBAO.•・NAOC二NABO

ZABC=1ZAOC2〔2〕如图，圆周角ZABC的两边AB、AC在一条直径0D的两侧,那么ZABC=NAOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程.老师点评：连结BO交。O于D同理NAOD是^ABO的外角，NCOD是^BOC的外角，那么就有NA0D=2NAB0,ND0C=2NCB0,因此NAOC=2NABC.〔3〕如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么NABC=1NAOC吗？请同学们独立完成证明.老师点评：连结OA、OC,连结BO并延长交。。于D,那么NAOD=2NABD,ZCOD=2ZCBO,而NABC=NABD-NCBO=1ZAOD-1ZCOD=1ZAOC222现在，我如果在画一个任意的圆周角ZAB’C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的.从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步，我们还可以得到下面的推导:半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.例1.如图，AB是。。的直径，BD是。。的弦，延长BD到C,使AC二AB,BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD,因为AB二AC,所以这个4ABC是等腰，要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是ZBAC的平分线即可.解：BD=CD理由是：如图24-30,连接AD•「AB是。O的直径.•・ZADB=90°即ADXBC又•「AC=AB.\BD=CD三、稳固练习.教材P92思考题..教材P93练习.四、应用拓展例2.如图，4ABC内接于。O,ZA、ZB、ZC的对边分别设为a,b,c,。。半径为R，求证：。八二=cr=2R.sinAsinBsinC分析：要证明a=L=c=2R,只要证明aA=2R,=2R,.c厂=2R,sinAsinBsinCsinAsinBsinC即sinA二，sinB二，sinC二，因此，十清楚显要在直角三2R2R2R角形中进行.证明：连接CO并延长交。。于D,连接DB「CD是直径.•・ZDBC=90°又：ZA=ZD在Rt△DBC中，sinD=BC,即2R=aDCsinA同理可证：b=2R,.C^=2RsmBsmCabc=.===2RsinAsinBsinC五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：.圆周角的概念；.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；.半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径..应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.六、布置作业1.教材P95综合运用9、10、［教学反思］学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。