卫生管理运筹学-排队论

卫生管理运筹学

OperationalResearchonHealthManagement排队论QueuingTheory复旦大学公共卫生学院医院管理学教研室陈英耀排队论第一节

基本概念BasicConcepts第二节 到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandServicesTimes第三节几个排队模型SomeQueuingModels第四节排队系统的最优化OptimizationforQueuingModels第一节

基本概念BasicConcepts一、排队系统的一般描述二、排队系统的组成和特征三、排队系统的符号表示四、排队问题的求解第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes一、经验分布二、理论分布第三节几个排队模型

（SomeQueuingModels）一、标准的M/M/1模型二、M/M/1/N模型三、M/M/1/m/m模型四、标准的M/M/C模型及其他模型第四节排队系统的最优化

（OptimizationforQueuingModels）一、作出决策二、决策模型（一）M/M/1模型中最优服务率μ（二）M/M/c模型中最优的服务台数c第一节

基本概念BasicConcepts估计每年美国人花37亿小时排队我们可能排队的地方：商店、旅馆、邮局、银行、医院、红绿灯、餐厅、机场、地铁……排队不仅包括人…检验样品第一节

基本概念BasicConcepts排队论主要研究三个方面：排队系统的数量指标——了解排队系统的基本特征统计推断问题——检验有关参数系统优化问题——最优设计和最优运营第一节

基本概念BasicConcepts一、排队系统的一般描述到来离去顾客源排队结构服务机构服务规则排队规则

图排队系统第一节

基本概念BasicConcepts排队（queue）现象是由两个方面构成：一方要求得到服务，另一方设法提供服务顾客（customer）服务台（server）排队论（queuingtheory）是通过研究排队系统中等待现象的概率特性，解决系统最优设计与最优控制的理论，在卫生管理尤其在医院管理中有着广泛的应用第一节

基本概念BasicConcepts排队论最初是在二十世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交换机的效率研究开始的，在第二次世界大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算由于排队现象是一个随机现象，因此在研究排队现象的时候，主要采用的是研究随机现象的概率论作为主要工具

表排队系统的举例到达的顾客要求服务内容服务机构不能运转的机器修理修理技工修理技工领取修配零件发放修配零件的管理员病人诊断或手术医生（或包括手术台）电话呼唤通话交换台文件稿打字打字员提货单提取存货仓库管理员到达机场上空的飞机降落跑道驶入港口的货船装（卸）货装（卸）货码头（泊位）上游河水进入水库放水，调整水位水闸管理员进入我方阵地的敌机我方高射炮进行射击我方高射炮第一节

基本概念BasicConcepts二、排队系统的组成和特征（一）输入过程（Inputprocess）顾客总体有限或无限顾客到来的方式单个或成批顾客相继到达的间隔时间确定或随机顾客的到达可以是相互独立的输入过程可以是平稳的第一节

基本概念BasicConcepts（二）排队规则(Queuingdiscipline)1．排队无限排队与有限排队等待制损失制混合制系统队长有限等待时间有限逗留时间有限第一节

基本概念BasicConcepts2．排队规则(queuingdiscipline)

先到先服务(FCFS,firstcome,firstserved)后到先服务(LCFS,lastcome,firstserved)随机服务(SIRO,serviceinrandomorder)有优先权的服务(PS,priorityservice)第一节

基本概念BasicConcepts（三）服务机构服务机构可以有一个或多个服务员有多个服务台的情形中，服务台可以是串联、并联，也可以是混合的单队—单服务台多队—多服务台单队多服务台（并联）（并联）1c21c21第一节

基本概念BasicConcepts多服务台（串列）多服务台（混合）122c3211第一节

基本概念BasicConcepts顾客或单个或成批接受服务服务时间等长或是服从某一分布的随机变量第一节

基本概念BasicConcepts三、排队系统的符号表示在排队论中广泛采用的是由D.G.Kendall提出的“Kendall记号”来描述排队模型，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；

Z表示服务台的个数；

A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；

B表示顾客源的数目；

C表示排队规则ServerQueueArrival第一节

基本概念BasicConcepts表示顾客相继到达的间隔时间（X）和服务时间（Y）的各种分布的符号为：M———负指数分布（M是Markov的字头）D———确定型（Deterministic）Ek———k阶爱尔朗（Erlang）分布GI———一般相互独立（GeneralIndependent）的时间间隔的分布G———一般（General）服务时间的分布第一节

基本概念BasicConcepts到达过程/服务过程/服务台数/在系统中顾客极限数/在源中顾客数/排队规则例：M/M/1/∞/∞/FCFS如果排队模型是：*/*/*/∞/∞/FCFS，则后两项或后三项可以省略，只要写：*/*/*/∞或*/*/*就可以了。再例：M/M/C/N/∞/FCFS第一节

基本概念BasicConcepts四、排队问题的求解对排队问题求解的目的在于研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、提出解决方案，从而改进系统。（一）主要数量指标1.系统状态系统状态即指系统中顾客数，如果系统中有n个顾客就是说系统的状态是n。第一节

基本概念BasicConcepts系统状态的可能值是：A．队长没有限制时n=0，1，2，…B．队长有限制，最大数为N时，n=0，1，2，…，NC．即时制，服务台个数是C时，n=0，1，2，…，CPn（t）——表示在时刻t系统状态为n的概率第一节

基本概念BasicConceptsPn（t）

非稳态稳态t第一节

基本概念BasicConcepts2．队长与排队长队长是指系统中的顾客数；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。系统中的顾客数=等待服务的顾客数+正在接受服务的顾客数

队长排队长3．逗留时间与等待时间逗留时间指一个顾客从到达系统等待服务起，到服务完毕离开系统为止所停留的时间；等待时间指一个顾客在系统中排队等待服务的时间。逗留时间=等待时间+服务时间第一节

基本概念BasicConcepts4．忙期与闲期忙期是指从顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次成为空闲这段时间的长度，也即服务机构连续繁忙的时间长度，它关系到服务员的工作强度。闲期反映服务机构连续保持空闲的时间。记忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期分别记为、。第一节

基本概念BasicConcepts5.平均到达率(Averagenumberofarrivalsenteringthesystemperunittime)平均到达率——单位时间内顾客的平均到达数，用λ表示。平均到达的间隔时间——顾客相继到达的平均间隔时间，用1/λ表示。平均服务率——单位时间内完成服务的平均顾客数，用μ表示。平均服务时间(Servicetimepercustomer)——顾客被接受服务的平均时间，用1/μ表示。令ρ=λ/μ，则ρ为系统的服务强度。第一节

基本概念BasicConcepts（二）数量指标的常用符号在平稳状态（Steadystate）下，队长的分布、等待时间的分布和忙期的分布都与系统所处的时刻无关，而且系统的初始状态的影响也会消失，系统的状态概率分布不再随时间变化。表主要数量指标在瞬态与稳态时的常用符号

瞬间稳态符号意义符号意义N（t）时刻t时系统中的顾客数（又称系统的状态或队长）N系统处于平稳状态时的队长，其均值为L，称为平均队长Nq（t）时刻t系统中排队的顾客数，即排队长Nq系统处于平稳状态时的排队长，其均值为Lq，称为平均排队长T（t）时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间T系统处于平稳状态时顾客的逗留时间，其均值记为W，称为平均逗留时间Tq（t）时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间Tq系统处于平稳状态时顾客的等待时间，其均值记为Wq，称为平均等待时间

λn当系统处于状态n时，新来的顾客的平均到达率（单位时间内来到系统的平均顾客数）

μn当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以服务完的顾客数）第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes一、经验分布[例1]某医院外科手术室根据病人就诊和完成手术的时间记录，任意抽查100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数整理成病人到达数分布表，又任意抽查100个完成手术的病例，所用时间t（小时）出现的次数整理成手术服务时间分布表。试计算病人的平均到达率、病人平均到达间隔时间、每次手术平均时间（平均服务时间）、每小时完成手术的平均数（平均服务率）。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表病人到达数分布表表服务时间分布表第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表病人到达数分布表表服务时间分布表每小时平均达到率2.1人/小时平均达到间隔时间1/2.1每次手术平均时间0.4小时/人每小时完成手术平均数2.5人第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes二、理论分布1.泊松分布设：①N（t）表示在t时间区间内到达的顾客数（t>0），且N（t）为随机变量，服从泊松分布；②Pn（t）表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，则：第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimest>0n=0，1，2，……随机变量N（t）的数学期望值和方差分别是：E[N（t）]=λtVar[N（t）]=λt第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes当t=1时，即单位时间到达n个顾客的概率为：则：E[N（t）]=λVar[N（t）]=λ第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes顾客到达服从泊松分布的三个条件：（1）无后效性——即在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的。（2）平稳性——对充分小的△t，在时间区间[t，t+△t）内有一个顾客到达的概率与t无关，而约与区间长△t成正比。（3）普通性——对于充分小的△t，在时间区间[t，t+△t）内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以致可以忽略。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes表9-1患者在单位时间内到达数的频数分布【例】某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时，每小时患者到达数的出现次数如表9-1，问每小时患者的到达数是否服从泊松分布。到达数n0123456≥7出现次数f1028291610610【例】求解解：依题意，患者平均到达率（人/小时）。现检验这个经验分布是否适合=2.1的泊松分布，利用2检验法计算统计量，结果如表。所以可认为患者到达数的分布服从=2.1的泊松分布。

返回首页第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes2.负指数分布A、时间间隔T的分布当输入过程是泊松流时，则顾客相继到达的间隔时间T（也是随机变量）服从负指数分布，反之也然。负指数分布的分布函数为：t>0第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes概率密度为：

t>0期望值E（T）=1/λ方差Var[T]=1/λ2第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesB、服务时间V的分布对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，一般也服从负指数分布。设它的分布函数和概率密度分别是：t≥0t≥0其中，μ表示单位时间内完成服务的顾客数，称为平均服务率，而1/μ表示一个顾客的平均服务时间，也就是期望值。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesC、服务强度服务强度——单位时间内顾客的平均到达数与完成服务的顾客平均数之比，用ρ表示，即ρ=λ/μ第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes3．爱尔朗（Erlang）分布设υ1，υ2，υ3……υk是k个相互独立的随机变量，服从参数为kμ的负指数分布，那么T=υ1

+υ2

+υ3+……+υk

的概率密度是:

t≥0我们说T服从k阶爱尔朗分布。期望值E（T）=1/μ；方差Var（T）=1/kμ2。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes[例]串列的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数kμ），那么一顾客走完这k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k阶爱尔朗分布。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes事实上，当k=1时，爱尔朗分布转化为负指数分布，这可看成是完全随机的；当k增大时，爱尔朗分布逐渐趋于对称；当k≥30时，爱尔朗近似于正态分布；当k趋于无穷时，方差趋于0。因此，这时爱尔朗分布转化为确定型分布所以，一般k阶爱尔朗分布可以看成完全随机与完全确定的中间型，对现实事物具有更广泛的适应性。第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimesk=3k=2k=1bk（t）k=∞

1/μt第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes5．生灭过程用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离开，假设N（t）表示在t时刻系统中的顾客数，那么N（t）（t≥0）就构成了一个生灭过程。生灭过程的性质:设N（t）（t≥0）为一个随机过程，如果N（t）的概率分布具有：（1）假设N（t）=n，那么从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为λn负指数分布，n=0，1，2，……；第二节到达的时间间隔分布与服务时间分布DistributionofInterarrivalTimesandserviceTimes（2）假设N（t）=n，那么从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为μn负指数分布，n=0，1，2，……；（3）同一时刻只有一个顾客到达或离去。那么N（t）（t≥0）被称为一个生灭过程。要得到N（t）的概率分布pn（t）=P{N（t）=n}（n=0，1，2，……）很困难，因此，通常是求当系统到达平稳状态时的状态分布pn（n=0，1，2，……）。讨论与实例介绍思考下医院服务中的排队问题某医院排队问题的实证研究思考题阅读《趋势预测法结合排队论在区域大型医疗设备配置规划中的应用》《Markov排队模型在医院管理中的应用》第三节几个排队模型

一、标准的M/M/1模型1．输入过程—顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从参数为λ的泊松分布；2．排队规则—系统容量无限，先到先服务；3．服务机构—单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从参数为μ的负指数分布。通用记号为M/M/1/∞/∞/FCFS或M/M/1第三节几个排队模型

（一）稳态概率(Steady-StateProbabilities)（二）几个主要数量指标1．平均队长L(Averagenumberofcustomerspresentinthequeuingsystem)

P0=1－ρPn=(1－ρ)ρn

n

≥1第三节几个排队模型

2．平均排队长Lq(Averagenumberofcustomerswaitinginline)3．平均逗留时间W(Averagetimeacustomerspendsinthesystem)顾客在系统中逗留的时间W（随机变量），在M/M/1排队模型中，服从参数为μ-λ的负指数分布。第三节几个排队模型分布函数F（w）=1-e-(μ—λ)ww≥0概率函数f（w）=（μ-λ）e-(μ—λ)w

平均逗留时间W为:4．平均等待时间Wq(Averagetimeacustomerspendsinline)第三节几个排队模型（9-3）

它们之间的关系为：

第三节几个排队模型5．忙期与闲期平均忙期为：平均逗留时间(W)等于平均忙期第三节几个排队模型6．系统内顾客数不超过S+1的概率【例】设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服从负指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排队系统的状态概率和运行指标。利用公式（9-2）及公式（9-3）计算得：（人）（人）解：这是一个M/M/1//

系统，单列，FCFS规则，依题意知：【例】某医院欲购一台X光机，现有4种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4人。4种机型的服务时间均服从负指数分布，其不同机型的固定费用、操作费、服务率见表9-3。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元，试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+逗留损失费）最低。表9-34种机型的使用费用和服务率

机型固定费用C1（元/小时）操作费用C2（元/小时）服务率

（人/小时）A8605B10756C18847D201208【例】求解综合费

f:,计算后将各类指标及综合费列入表9-4。

表9-4四种机型在1小时内的综合费用

机型固定费用

操作费C2L逗留损失费15L综合费f

A80.848460116B102/35023090C184/7484/32086D201/26011595可见选用C型X光机其综合费最小。

解：该问题属M/M/1//

系统，单列，FCFS规则．依题意只需计算各种机型在单位时间内的综合费。已知：第三节几个排队模型[课堂练习1]某三级医院出院处平均每5分钟有1人办理出院手续，并且到达过程符合泊松流。出院手续办理时间服从负指数分布，平均每份需要4分钟。如果该出院处只有1名工作人员，试求：（1）出院处病人的平均数是多少？（2）每个病人等待办理出院手续的时间为多少？（3）病人等待办理出院手续时间超过2分钟的概率为多少？解：该情形可视为M/M/1系统，若取单位时间为5分钟，则： λ=1，μ=5/4=1.25，ρ=λ/μ=1/1.25=0.81．平均病人数：4人2．每个病人等待办理出院手续的时间:16分钟3．病人等待时间超过2分钟的概率为：0.74

第三节几个排队模型[课堂练习2]某医院夜间急诊放射科设1台X光机，来检查的病人到达过程为泊松流，平均4人/小时，检查时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：（1）该X光机空闲的概率；（2）放射科刚好有3名急诊病人的概率；（3）放射科至少有1名急诊病人的概率；（4）放射科内的平均急诊病人数；（5）每个急诊病人在放射科平均逗留时间；（6）等待检查的平均急诊病人数；（7）每个急诊病人平均等待检查时间；（8）急诊病人在放射科逗留时间超过10分钟的概率。解：该情形可视作一个M/M/1排队问题，其中 λ=4；μ=1/0.1=10；ρ=λ/μ=0.41．该X光机空闲的概率:P0

=1－ρ=1－0.4=0.62．放射科刚好有3名急诊病人的概率:P3

=ρ3（1－ρ）=（0.4）3（1－0.4）=0.0383．放射科至少有1名急诊病人的概率:P（N≥1）=1－P0

=ρ=0.44．放射科内的平均急诊病人数:L=ρ/（1－ρ）=0.4/0.6=0.67（人）5．每个急诊病人在放射科平均逗留时间:W=10分钟6．等待检查的平均急诊病人数:Lq=L-ρ=ρ2/（1-ρ）=（0.4）2/（1-0.4）=0.267（人）7．每个急诊病人平均等待检查时间:Wq=4分钟8．急诊病人在放射科逗留时间超过10分钟的概率:0.3679第三节几个排队模型[课堂练习]某医院外科开设专家门诊，每天（工作4小时）看专家门诊的平均病人数为12人，诊治时间平均每人15分钟。假定病人到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，试求：（1）这个排队系统的各项运行指标（Ls，Lq，Ws，Wq）；（2）病人在门诊室的停留时间在1小时以上的概率（病人在系统中停留时间W服从参数为μ-λ的负指数分布；（3）门诊室内有5位及以上病人的概率。第三节几个排队模型二、M/M/1/N模型

M/M/1/N模型指顾客到达数服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的负指数分布，单服务员，系统最大容量为N，先到先服务。在这种排队模型中，排队等待的顾客最多为N-1。在某一时刻，如果系统中已有N个顾客，那么再到达的顾客将被“拒绝”而离开系统。当N=1时，即为即时制的情形；当N趋于无穷时，为系统容量无限的情形。第三节几个排队模型当系统达到平稳状态，M/M/1/N模型状态概率为：

ρ≠1

第三节几个排队模型式中ρ=λ/μ由于系统中容量有限，而顾客来源无限。因此，当系统达到饱和状态（即系统处于状态N）时，后来的顾客将被“拒绝”（即到达率为0），此概率为PN，则单位时间内遭到“拒绝”的顾客数为λPN。故，有效到达率λe=λ（1-PN）。有效到达率也可按λe=（1-P0）计算。第三节几个排队模型M/M/1/N排队系统的其它数量指标（当ρ≠1）：

系统的状态概率（9-4）系统的主要指标（9-5）【例4】某私人牙科诊所配备一台牙科综合治疗台，由于诊疗室面积有限，只能安置3个座位供患者等候，一旦满座则后来者不再进屋等候。已知患者到达诊所的时间间隔和诊断时间均为负指数分布，平均到达时间间隔为50分钟，平均治疗时间为40分钟。试分析系统的状态概率和运行指标。解：该问题为M/M/1/4/系统，单列，FCFS规则。已知：其它运行指标第三节几个排队模型[课堂练习3]某医院体检中心设有1台多普勒彩色超声心动图机，上午可对7个病人进行检查。如果病人的到达按泊松分布，平均到达率为1.5人/小时，检查时间服从负指数分布，平均服务时间为30分钟，试求该系统的数量指标。解：该系统可视为1个M/M/1/7排队系统，其中 N=7，λ=1.5（人/小时），μ=2（人/小时），ρ=λ/μ=1.5/2=0.751.病人到达后立即得到检查的概率：P0＝0.2778 2.彩超室逗留的平均病人数：L=2.11人3.等待检查的平均病人数：Lq=2.11-（1-0.2778）=1.39（人）4.有效到达率：λe=μ（1-P0）=2（1-0.2778）=1.44（人/小时）5.病人在心超室的平均逗留时间：W=1.46 6.病人在心超室的平均等待时间：

Wq=W-1/μ=1.46-1/2=0.96（小时）=57.6（分钟）第三节几个排队模型[课堂练习]某医院针灸科有1名针灸师，只安置3个座位供病人候诊，一旦满座则后来者不再进屋等候。已知病人到达间隔与治疗时间均为指数分布，平均到达间隔为40分钟，平均治疗时间为25分钟。试求任一病人期望候诊时间及该科潜在病人的损失率。第三节几个排队模型三、M/M/1/m/m模型

该模型即指顾客到达数为泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务员，系统容量有限而顾客源有限的排队系统。在顾客源为m有限的情形中，设每个顾客的到达率λ（指单位时间内每个顾客到达系统的次数）均相同，每个顾客在系统外的时间服从参数为λ的负指数分布。第三节几个排队模型当系统中平均顾客数为L时，那么系统外的顾客的平均数为m－L，则该系统的顾客平均到达率为：λe=λ（m-

L）

该模型的系统状态概率为：

1≤n≤m第三节几个排队模型该排队系统的主要数量指标为：(1)

(2)(3)(4)

M/M/1/m/m模型

该模型是指单位时间内每个顾客到达系统次数服从参数为的泊松分布，服务时间服从参数为的负指数分布，单服务台，顾客源总数为m，系统容量也为m（或m）。该模型常用于机器故障维修系统和医院病房医护人员对住院病人的护理工作等。

系统的状态概率系统的主要指标

（9-6）（9-7）【例5】一名护士在ICU病房护理6位重症病人，每位病人一小时内平均呼叫5次，每次护理时间平均为4分钟，呼叫的时间间隔和护理时间服从负指数分布．试分析：①护士空闲的概率；②2人及以上需要护理的概率；③等待护理的病人数；④每位病人等待护理的平均时间。解：该问题为M/M/1/6/6系统，m=6,单列，FCFS规则。已知：①

护士空闲的概率

②2人及以上病人需要护理的概率③病房中需要护理的病人数为：因为有效到达率:

④每位病人等待护理的平均时间第三节几个排队模型四、标准的M/M/C模型这是对多服务台负指数分布排队系统的分析，该模型指顾客的到达时间间隔服从参数为λ的负指数分布，服务台个数为C，系统容量和顾客源不限，服务时间服从参数为μ的负指数分布。第三节几个排队模型

图9-4M/M/C模型

服务台队列μ2μ1μ3第三节几个排队模型在这种模型中设各服务台工作相互独立且平均服务率相同μ1=μ2=，…，=μc=μ，则整个服务机构的平均服务率为cμ（当n≥c）或nμ（当n≤c）。定义ρ=λ/cμ，当λ<cμ时，系统中的顾客才不会形成无限的排队，ρ称为该系统的服务强度或服务机构的平均利用率。第三节几个排队模型该模型的状态概率为：（0≤n≤c）

（c≤n≤）Pn=第三节几个排队模型该排队系统的运行指标为：(1)(2)(3)(4)

第三节几个排队模型系统内至少有C位顾客（即所有服务台都繁忙）的概率为：

（一）M/M/C系统的状态概率（9-8）（二）系统的主要指标（9-9）【例6】某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间服从负指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后排成一列，依次就诊。求：①4台仪器同时空闲的概率；②计算系统的运行指标；③患者到达后必须等待的概率。解：该问题为M/M/4//系统，已知：①

4台仪器同时空闲的概率②计算系统的运行指标③患者到达后必须等待的概率【例7】在例2中，为了减少患者等待取药的时间，考虑增加一名药剂员，其它条件不变。试分析增加一名药剂员后药房排队系统的状态概率和运行指标。解：原排队系统是M/M/1//系统，且知：L=5（人），Wq=12.5（分钟）现考虑增加一名药剂员后系统为M/M/2//，此时①系统空闲的概率：②

系统运行指标：

结论：增加一名药剂员后，患者在药房排队的平均人数比原来减少了约4人，等待取药的时间减少了约12分钟。

二、M/M/C/N/模型该模型系统顾客源无限，容量为N（NC），当系统中顾客数达到N时，后来的顾客被拒绝进入系统，其它条件与M/M/C//模型相同。系统的状态概率（9-10）系统的主要运行指标（9-11）【例8】某乡镇卫生院只有4张病床，病人的到达和输出服从最简单流，平均每两天有1名新患者住院，每名病人平均住7天。求此系统的有关运行指标。解：该排队系统是M/M/4/4/系统，依题意：①系统空闲的概率：②患者不能立即住院的概率：

③平均住院病人数：

其它指标：

三、M/M/C/m/m模型该模型系统有C(C1)个服务台，顾客源为m（mC），每个顾客在单位时间内需要服务的平均次数为，每个服务台在单位时间内服务的平均顾客数为，顾客的到达时间间隔和服务时间均服从负指数分布。系统的状态概率（9-12）系统的主要运行指标（9-13）【例9】某医院病房有3名护士和18位病人，平均每位病人每2小时需要护理1次，每次12分钟，护理时间间隔与护理时间均服从泊松分布．现在医院考虑两种工作方案：方案Ⅰ为3名护士共同护理18位病人；方案Ⅱ为3名护士各自独立工作，每人固定负责6位病人。试比较两个方案的工作情况。解：方案Ⅰ是M/M/3/18/18系统，依题意：①系统空闲的概率：②病人不能马上得到护理的概率：

③系统工作指标：方案Ⅰ与方案Ⅱ的比较方案Ⅱ是3个M/M/1/6/6系统，其中：

比较结果：表9-5方案Ⅰ与方案Ⅱ排队系统的工作指标

指标方案Ⅰ方案Ⅱ系统空闲率（%）17.0148.45平均队长（人）1.830.85平均等待队长（人）0.210.33平均逗留时间（分钟）1419.67平均等待时间（分钟）1.67.67等待概率（%）26.3451.55M/G/1模型该模型是指到达系统的顾客数服从泊松分布，单位时间平均到达率。各顾客的服务时间是相互独立且为一般分布。服务时间T的期望值E（T）=1/，方差D（T）=,单服务台，顾客源与容量无限。系统空闲状态概率和主要运行指标为：（9-14）【例10】某医院放射科有一台CT，患者的到来服从泊松分布，平均每小时2人。每个患者做CT检查时间相互独立，平均为20分钟，标准差为15分钟。据患者反映等候CT检查的时间较长，而管理人员认为是CT设备的利用率不高，试对双方所提问题进行简要分析。解：依题意：①设备的空闲概率：②等待队长：

③等候检查的时间：二、M/D/1排队模型

该系统对顾客服务时间为确定常数，即在M/G/1中：E（T）=1/=，方差D（T）=0。【例11】某医院检验科有一台全自动血液分析仪，已知每个血样分析需要1分钟，送检样品按泊松分布到达，平均每小时30份。试求该系统的主要工作指标解：依题意：按式9-14计算，求出系统运行指标三、具有优先服务权的M/M/1//

模型

考虑在M/M/1//系统中，进入系统的顾客分为两级：第一级是优先类，到达率为1；第二级是普通类，到达率为2。两类顾客的服务时间均为相同1/

的负指数分布。当系统中有第一级顾客到达时，正在接受服务的第二级顾客将被中断服务，重新等待；当系统中只有同一级别顾客时，按先来先服务的原则。模型分析

设：=1+2，第i级顾客在系统中的平均逗留时间Wi(i=1,2),第i级顾客的平均等待队长和平均等待时间Lqi和Wqi。两级综合在一起的每个顾客在系统中的平均等待队长Lq和平均等待时间Wq，满足:系统的主要运行指标（9-15）服务时间不相同的优先服务（9-16）

当系统中两类顾客服务时间不相同时，设第一级为1，第二级为2

，其它条件不变，则系统中两类顾客的队长分别为：

【例12】某私人诊所只有一名医生，来就诊的病人按每小时2人的泊松分布到达，每个病人的服务时间服从均数为15分钟的负指数分布。假如病人中90%属一般病人，10%属危重病人。该诊所的服务规则是先治疗危重病人，然后是一般病人。试计算两类病人等候治病的平均时间。解：依题意知，危重病人是第一级，一般病人是第二级，=2危重病人等待时间：由式9-15算出：一般病人等待时间：平均等待队长和平均等待时间危重病人和一般病人等待队长：

整个系统的病人平均等待队长和平均等待时间为：

返回首页第三节几个排队模型[课堂练习]某医院新建门诊大楼，妇科门诊设3个诊室。已知病人到达服从泊松分布，平均到达率为每10分钟0.9人。接诊时间服从负指数分布，平均服务率为每10分钟0.4人。现医院有两种考虑，选择病人到达后的排队方式：一是排成一队，依次到空闲的诊室就诊；二是病人到达后，在每个窗口前排成一队，且进入队列后坚持不变，形成3个队列,如下图。请问：医院应该选择哪一种排队方式？第三节几个排队模型

λ=0.9λ=0.9方式1方式2

图两种排队方式窗口1窗口2窗口3窗口1窗口2窗口3μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4μ=0.4第三节几个排队模型

summary顾客到达数顾客到达间隔时间服务时间服务台系统容量顾客源其他M/M/1/∞/∞泊松分布负指数分布负指数分布1无限无限M/M/1/N泊松分布负指数分布负指数分布1N无限M/M/1/m/m泊松分布负指数分布负指数分布1mmSummary(2)顾客到达数顾客到达间隔时间服务时间服务台系统容量顾客源其他M/M/C/∞/∞泊松分布负指数分布负指数分布多个无限无限M/M/C/N/∞泊松分布负指数分布负指数分布多个N无限M/M/C/m/m泊松分布负指数分布负指数分布多个mmM/G/1泊松分布一般分布1M/D/1泊松分布常数1第四节排队系统的最优化

作为一个管理决策人员，仅知道如何描述排队系统，计算出它的有关数量指标是不够的。我们研究的目的是要在掌握排队模型的基础上，利用它作为决策的工具。对排队系统进行最优化设计可以从两个方面考虑：其一，给出系统的某种费用（或利润）结构，要求平均总费用（或平均总利润）最低的情况下做出最优设计(经济效益)；其二，在一定服务质量指标下要求系统运行效能达到必要的水平(社会效益)第四节排队系统的最优化

一、作出决策排队优化的目标就是要确定适当的服务水平，使总的期望费用达到最小。

E（Tc）min=E（Wc）+E（Sc）第四节排队系统的最优化

第四节排队系统的最优化

二、决策模型（一）M/M/1

模型中最优服务率μ

设费用函数E为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留所致费用之和的期望值，则：第四节排队系统的最优化

式中：Cs表示当μ=1时服务机构单位时间的费用，即单位时间内服务一个顾客的费用；Cw为每个顾客在系统停留单位时间的费用；L为系统内逗留的顾客数；μ为平均服务率。第四节排队系统的最优化

第四节排队系统的最优化

因为在标准M/M/1模型中，要求ρ<1（即μ>λ），所以最优服务率：

将*的表达式代入费用函数，则最小总平均费用:第四节排队系统的最优化

[例]某医院血清样本按Poisson流送到检验科，平均每小时50个血清样本，检验科的平均服务率为μ。设血清样本在检验科每放置1小时的费用为10元，平均检验费为μCs，其中Cs=20元，求出使总费用最少的平均服务率μ*。第四节排队系统的最优化

[例]某医院门诊药房正在考虑以下两个用人方案（见表）。设病人以每小时50的泊松流到达，服务时间服从指数分布