轴向拉伸与压缩课件

第4章轴向拉伸和压缩§4.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例§4.2截面法、轴力与轴力图§4.3横截面上的应力§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律§4.5材料在轴向拉压时的力学性能§4.6轴向拉压杆的强度计算☆分析轴向拉（压）时杆件的受力特点和变形情况，介绍材料力学分析内力的基本方法——截面法。☆通过对拉（压）杆的应力和变形分析，解决拉（压）杆的强度和刚度计算问题。第4章轴向拉伸和压缩§4.1轴向拉伸与压缩的概念§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例

工程中的许多二力直杆构件§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例工程中的许多二力直☆轴向拉伸与压缩的概念

以汽缸的活塞杆为例。观察活塞杆在工作时受什么样的外力作用？它可能发生什么样的变形？

通过观察分析可知，杆件的受力特点是：作用在杆端的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称轴向拉伸与压缩。§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例☆轴向拉伸与压缩的概念以汽缸的活塞杆为例。观察活塞§4.2截面法、轴力与轴力图4.2.1内力的概念☆内力：为保持物体的形状寸，物体内部各质点间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。☆材料力学中的内力是指在外力作用下，构件内部各质点之间相互作用力的改变量，称为“附加内力”，简称“内力”---其大小及分布随外载荷的变化而变化，外力消失，内力也消失。内力与构件的尺寸形状材料无关。☆感受手拉弹簧，将有助于理解内力概念的本质仅取决于外力☆杆件横截面上若某处内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。§4.2截面法、轴力与轴力图4.2.1内力的概念直接利用外力计算内力（轴力、扭矩、弯矩剪力）的方法—---截面法。规则—内力与外力平衡。4.2.2内力的求法＊用截面法求算内力的步骤：1）一截为二，在想求内力的截面，将整个构件截为2段2）留一弃另一，扔掉一段，留下一段(研究对象)。2）内力替代，以内力按规定的正号方向替代弃去部分对研究对象的作用，3）求算画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力☆内力有正负号的规定。轴力向外拉为正。直接利用外力计算内力（轴力、扭矩、弯矩剪力）的方法—---截例4.1

直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN，F2=10kN，F3=20kN，画轴力图

§4.2截面法、轴力与轴力图F2解：1）计算D端支座反力。整体为对象，受力图，建立平衡方程得4.2.3轴力图用x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的纵坐标FN表示对应横截面上的轴力，所绘出的轴力随横截面位置变化的函数图线称为轴力图。例4.1直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN，F2=将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设为拉力，由平衡方程分别求得：kN

kN

kN

§4.2截面法、轴力与轴力图

2）截面法分3段求内力F2∑Fx＝0AB段b图：BC段c图∑Fx＝0DC段d图∑Fx＝03）画内力图e图将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分①☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；可见内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。

☆杆件横截面上内力的大小及其在杆件内部的分布规律随外力的改变而变化，若内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。

总结：

§4.2截面法、轴力与轴力图②内力随外力增大而增大外力消失，内力也消失。

直接利用外力计算轴力的规则

杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等于截面一侧（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背离截面时取正号，外力指向截面时取负号。

①☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量例4.2

钢杆上端固定，下端自由，受力如图所示。已知l=2m，F=4kN,q=

2kN/m，试画出杆件的轴力图。

（0≤x≤2）解以B点为坐标原点，BA为正方向建立x轴；将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。由BC受力图建立平衡方程：

由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力图为一斜直线。当x＝0时，FN＝4kN；当x＝2m时，FN＝8kN。画出轴力图如图所示，FN.max＝8kN，发生在截面A上。

.FN例4.2钢杆上端固定，下端自由，受力如图所示。已知l=§4.3横截面上的应力

4.3.1应力的概念

杆件强度与内力的（大小、截面积有关）与截面上每一点处的内力集度有关。＊应力：内力在截面上某一点处的集度称为应力

为确定杆件某一截面m-m（上任意一点K处）的应力，在截面上任一点K周围取微小面积,设ΔA

面积上分布内力的合力为,则比值称为面积ΔA

上的平均应力。用pm表示,即

§4.3横截面上的应力4.3.1应力的概念杆件

应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。

§4.3横截面上的应力

一般情况下内力并非均匀分布的，故将比值在所取的无限地趋近于零的极限值。用p表示☆p称为点处的应力，它是一个矢量，通常可分解为与截面垂直的分量称为正应力和与截面相切的分量称为剪切应力。应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1G☆根据研究观察分析，可作如下假设：横截面在杆件拉压变形后仍保持为垂直于轴线的平面，仅沿轴线产生了相对平移。☆拉压时的只有正应力：横截面上各点均布，pm=

p，其方向与横截面上的轴力FN一致。其计算公式为§4.3横截面上的应力

☆根据研究观察分析，可作如下假设：横截面在杆件拉压变形后仍保

例4.3

如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN的作用。已知h＝25mm，h0=10mm，b=20mm。求杆内最大正应力。解:1）计算轴力。用截面法求得各截面上的轴力均为（画出轴力图）kN2)计算最大正应力。开槽部分的横截面面积为则杆件内的最大正应力为§4.3横截面上的应力

负号表示最大应力为压应力。

例4.3如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F解：1.作轴力图用截面法分段求轴力，并作轴力图如图b所示。

2.计算最大正应力经过分析可知，AB和CD段内横截面上可能产生最大正应力（绝对值）。例4.4

阶梯杆自重不计，受外力如图a所示，试求杆内的最大正应力。已知截面积分别。可见AB段内横截面上的正应力最大，其值为40MPa。§4.3横截面上的应力解：1.作轴力图用截面法分段求轴力，并作轴力图如图b所示。4.4.1纵向线应变和横向线应变杆件受拉作用时的变形设原长为l，直径为d的圆截面直杆，受轴向拉力F后变形，其杆纵向长度由l变为l1，横向尺寸由d变为d1，则绝对纵向变形为绝对横向变形为§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

相对变形线应变

纵向线应变横向线应变4.4.1纵向线应变和横向线应变杆件受拉作用时的变形§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

当应力不超过某一限度时，存在正比关系，且负号相反。

§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律当应力不超过某一限常数E

称为材料的弹性模量上式表明：1）弹性模量E表征了材料抵抗弹性拉伸压缩变形的性能，是材料的刚性指标。2）乘积EA反映杆件抵抗弹性拉伸压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。☆

上式的适用条件为：1）杆件的变形应在线弹性范围内；

（2）在长为l的杆段内，E、A均为常量。§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律4.4.2胡克定律☆胡克定律的另一表达式为常数E称为材料的弹性模量上式表明：1）弹性模量E表征了材解:1）作轴力图。用截面法求得CD和BC段轴力kN，AB段的轴力为kN。2）计算各段杆的变形量。(3)计算杆的总变形量。4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

例4.5

阶梯状直杆受力如图所示，试求杆的总变形量。已知其横截面面积分别为ACD=300mm2,AAB=ABC

500mm2,E=200GPa。解:1）作轴力图。用截面法求得CD和BC段轴力§4.6轴向拉压杆的强度计算

4.6.1极限应力许用应力安全因数

＊构件在载荷作用下出现的断裂和屈服都是因强度不足而引起的失效，如右图零件。引起构件丧失正常工作能力的应力称为极限应力，用表示。塑性材料和脆性材料的失效原因各不相同。对于塑性材料，取；对于脆性材料，取。

＊构件在工作时产生的应力称为工作应力。最先发生强度失效的那些横截面称为危险截面，危险截面上的应力称为最大工作应力。为保证构件能正常工作，应使最大工作应力小于材料的极限应力，并使构件留有必要的强度储备。一般把极限应力除以大于1的安全因数n，作为强度设计时的最大许可值，称为许用应力，用表示。

塑性材料：

；脆性材料：

§4.6轴向拉压杆的强度计算

4.6.1极限上式称为拉压杆的强度条件。式中分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。利用强度条件，可解决下列三类强度计算问题，现以拉压杆为例加以说明1）强度校核已知外载荷、杆件的各部分尺寸以及材料的许用应力，检验危险截面的应力是否满足强度条件。计算步骤一般是：确定危险截面，计算其工作应力，检验是否满足强度条件，。≤§4.6轴向拉压杆的强度计算

AFN和max

AN/Fσmax,max=4.6.2拉（压）杆的强度条件为保证拉压杆安全正常工作，必须使杆横截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力，即,≤对等直杆可写成上式称为拉压杆的强度条件。式中分（2）截面设计已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设计杆件横截面尺寸。即满足≥。

（3）确定许可载荷已知杆件的横截面尺寸以及材料的许用应力值，确定杆件或整个结构所能承受的最大载荷。既确定杆件最大许用轴力≤

A，然后确定许可载荷。

§4.6轴向拉压杆的强度计算

（2）截面设计已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设例4.7某机构的连杆直径，承受最大轴向外力，连杆材料的许用应力。试校核连杆由圆形改为矩形截面，高宽之比，试设计连杆的尺寸。

解:1）求活塞杆的轴力。由题意知连杆为二力杆属于拉压变形；画出受力图截面法求得连杆的轴力为2）校核圆截面连杆的强度。连杆横截面上的正应力为§4.6轴向拉压杆的强度计算

3）设计矩形截面连杆的尺寸4）分别计算出b≥0.173m，h≥0.242m。实际设计时可取整为b＝175mm，h=245mm。例4.7某机构的连杆直径，承受最大轴

例4.5

如图所示为一三角形构架，AB为直径的钢杆，其许用应力，BC为尺寸的矩形截面木杆，其许用应力，求该结构的B点可吊起的最大许用载荷F。

解（1）分析：依题意需要分别根据AB、BC两杆的强度条件求出相应的两个许可载荷和。取两者中较小者为杆件的许用载荷。

§4.6轴向拉压杆的强度计算

例4.5如图所示为一三角形构架，AB为直径由上式，可解得：

3）分别计算由两杆确定的许用载荷。BC杆≤因≤，故整个构件的许用载荷为。

≤AB杆平衡方程可求得各杆轴力。§4.6轴向拉压杆的强度计算

030cosº=--BCNABNFF030sinº=--FFBCNkN

36ABABABABNAFF][3s≤=BcBCBcBcNAFF][2s≤=BCF2）计算两杆的轴力。取B点为研究对象，绘出受力图，若不计杆重，则两杆都是二力杆，所受的外力就是两杆的轴力和。

由上式，可解得：3）分别计算由两杆确定的许用载荷。BC杆作业P1024.34.44.54.64.74.84.12作业P1024.34.44.54.第4章轴向拉伸与压缩小结

（1）本章研究了轴向拉压杆的内力和应力的计算。应用截面法可求出的轴向拉压杆的内力——轴力。轴向拉压杆件横截面上只有正应力，且在横截面上均匀分布，其计算公式为

（2）直杆轴向拉压时的强度条件为≤上式可解决强度校核、设计截面和确定承载能力三类强度计算问题。

纵向线应变和横向线应变之间有如下关系:（3）胡克定律建立了应力和应变之间的关系，其表达式为第4章轴向拉伸与压缩小结（1）本章研究了轴（4）重点介绍了以低碳钢为代表的塑性材料的拉伸应力——应变曲线。它可分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈縮阶段。低碳钢的强度指标有δs和δｂ，塑性指标有δ和ψ。（5）简要介绍了拉压超静定问题的解题方法和压杆稳定的概念。第4章轴向拉伸与压缩小结

（4）重点介绍了以低碳钢为代表的塑性材料的拉伸应力——应变曲§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.1拉伸试验应力－应变曲线轴向拉伸试验：圆截面拉伸标准试样，试验段长度l为标距，两端为装夹部分；标距l与杆径d之比取试验机上的绘图装置自动绘出载荷F与相应伸长变形关系曲线，称为拉伸图或F－曲线。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.1拉伸试§4.5材料在轴向拉压时的力学性能

为消除试样横截面尺寸和长度的影响，将F－曲线的纵坐标F和横坐标分别除以试件的原始横截面面积和原始标距得到曲线，称为应力-应变曲线。§4.5材料在轴向拉压时的力学性能为消除试样横

4.5.2低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时表现出来的力学性能具有典型性。由上图的曲线可以看出，整个拉伸过程大致分为以下四个阶段：

(1)弹性阶段

＊拉伸的初始阶段（OA），曲线为一直线，直线段最高点A所对应的应力称为比例极限，用表示。

＊应力与应变成正比，即满足胡克定律。,弹性模量E是直线OA的斜率，

即

。

＊图中的A段，应力超过比例极限，与不再是线性关系。但当应力不超过点所对应的应力时，卸载后，变形仍可完全消失，这种变形为弹性变形，称为弹性极限。§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.2低碳钢拉伸时的力学性能(1)轴向拉伸与压缩课件

＊材料屈服会产生显著的塑性变形，并影响构件的正常工作。故将屈服极限作为极限应力或危险应力。

(2)屈服阶段

＊当应力超过点增加到某一数值时，在曲线上出现锯齿形线段BC，此时应力几乎不变，而应变却显著增大，暂时失去抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。

＊屈服阶段的变形主要是不可恢复的塑性变形。屈服阶段的最小应力值较为稳定，用称为屈服点应力。低碳钢的屈服点应力＝220～240MPa。表面磨光的试件屈服时，在试件表面上可看到与轴线大致成45°的条纹。条纹是材料沿最大切应力面发生滑移而产生，通常称为滑移线。

＊应力超过弹性极限后，若再卸载，则试件的变形中只有一部分能随之消失，此即上述的弹性变形；但还留下一部分不能消失，此即为塑性变形或残余变形。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能＊应力超过弹性极限后，若再卸(3)强化阶段

＊屈服阶段后，材料抵抗变形的能力有所恢复，在曲线上自C点开始继续升高到D为止。这种材料又恢复抵抗变形的能力的现象称为材料的强化。

＊CD段称为材料的强化阶段。曲线最高点D对应的应力值用表示，称为材料的抗拉强度，它是材料所能承受的最大应力。低碳钢的抗拉强度＝370～460

MPa。

＊在超过屈服极限后，卸载后重新加载时，材料的比例极限有所提高，而塑性变形减小，这种现象称为冷作硬化。工程上常用冷作硬化来提高材料的强度，提高构件的承载能力。如预应力钢索和钢筋等，常用冷拉工艺来提高强度，从而节省钢材。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能(3)强化阶段

＊屈服阶段后，材料抵抗变

（4）颈缩阶段＊应力达到强度极限后，在试件的某一局部范围内，截面突然急剧缩小，这种现象称为颈缩。颈缩后，材料完全丧失承载能力，因而曲线为一急剧下降曲线DE，直至试件被拉断。

＊试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留下来。根据拉断后的有关尺寸定义以下两个塑性指标：伸长率和断面收缩率ψ，分别为

伸长率

断面收缩率

式中是标距原长，是拉断后标距的长度，A为试样原始横截面面积，A为拉断后缩颈处最小横截面面积。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能A¢（4）颈缩阶段＊试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形

＊伸长率≥5%的材料称为塑性材料；＜5%的材料称为脆性材料。低碳钢的＝20%～30%，断面收缩率ψ＝60%～70%，它是很好的塑性材料。

＊综上所述，当应力增大到屈服点应力时，材料出现明显的塑性变形；抗拉强度则表示材料抵抗破坏的最大能力，故和是衡量塑性材料强度的两个重要指标。

＊需要指出的是，材料的塑性与脆性不是固定不变的。它们随着温度、变形速度、受力状态等条件而变化。例如常温条件下的某些塑性材料，在低温时会发生脆性断裂。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能＊伸长率≥5%的材料称为塑性材料；＜5%的材§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.3其它材料在拉伸时的力学性能§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.3其§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.3其它材料在拉伸时的力学性能§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.3其4.5.4材料压缩时的力学性能

＊低碳钢压缩时的曲线§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.4材料压缩时的力学性能＊低碳钢压缩时

＊下图为铸铁压缩时的曲线。由图可知，其力学性能与拉伸时有显著差异。压缩时的强度极限约为拉伸时的4～5倍，且发生明显的塑性变形。其破坏形式为沿45º左右斜面剪断角。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能＊下图为铸铁压缩时的曲线。由图可知，其

＊塑性材料断裂时延伸率大，塑性好。＊多数塑料材料在拉压变形时的抗拉和抗压性能基本相同.＊脆性材料承受动载能力差，塑性材料承受动载能力强，故承受动载作用的构件应由塑性材料制作。

＊多数塑料材料在弹性范围内，应力与应变符合胡克定律；而多数脆性材料在拉压时曲线没有直线段，应力与应变间的关系不符合胡克定律，只是由于曲线的斜率小，在应用上假设它们成正比关系。

＊表征塑性材料力学性能的指标有等；表征脆性材料力学性能的指标常用。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.5工程材料力学性能的比较

＊塑性材料断裂时延伸率大，塑性好。＊多数塑料材料在拉第4章轴向拉伸和压缩§4.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例§4.2截面法、轴力与轴力图§4.3横截面上的应力§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律§4.5材料在轴向拉压时的力学性能§4.6轴向拉压杆的强度计算☆分析轴向拉（压）时杆件的受力特点和变形情况，介绍材料力学分析内力的基本方法——截面法。☆通过对拉（压）杆的应力和变形分析，解决拉（压）杆的强度和刚度计算问题。第4章轴向拉伸和压缩§4.1轴向拉伸与压缩的概念§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例

工程中的许多二力直杆构件§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例工程中的许多二力直☆轴向拉伸与压缩的概念

以汽缸的活塞杆为例。观察活塞杆在工作时受什么样的外力作用？它可能发生什么样的变形？

通过观察分析可知，杆件的受力特点是：作用在杆端的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称轴向拉伸与压缩。§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例☆轴向拉伸与压缩的概念以汽缸的活塞杆为例。观察活塞§4.2截面法、轴力与轴力图4.2.1内力的概念☆内力：为保持物体的形状寸，物体内部各质点间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。☆材料力学中的内力是指在外力作用下，构件内部各质点之间相互作用力的改变量，称为“附加内力”，简称“内力”---其大小及分布随外载荷的变化而变化，外力消失，内力也消失。内力与构件的尺寸形状材料无关。☆感受手拉弹簧，将有助于理解内力概念的本质仅取决于外力☆杆件横截面上若某处内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。§4.2截面法、轴力与轴力图4.2.1内力的概念直接利用外力计算内力（轴力、扭矩、弯矩剪力）的方法—---截面法。规则—内力与外力平衡。4.2.2内力的求法＊用截面法求算内力的步骤：1）一截为二，在想求内力的截面，将整个构件截为2段2）留一弃另一，扔掉一段，留下一段(研究对象)。2）内力替代，以内力按规定的正号方向替代弃去部分对研究对象的作用，3）求算画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力☆内力有正负号的规定。轴力向外拉为正。直接利用外力计算内力（轴力、扭矩、弯矩剪力）的方法—---截例4.1

直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN，F2=10kN，F3=20kN，画轴力图

§4.2截面法、轴力与轴力图F2解：1）计算D端支座反力。整体为对象，受力图，建立平衡方程得4.2.3轴力图用x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的纵坐标FN表示对应横截面上的轴力，所绘出的轴力随横截面位置变化的函数图线称为轴力图。例4.1直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN，F2=将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设为拉力，由平衡方程分别求得：kN

kN

kN

§4.2截面法、轴力与轴力图

2）截面法分3段求内力F2∑Fx＝0AB段b图：BC段c图∑Fx＝0DC段d图∑Fx＝03）画内力图e图将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分①☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；可见内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。

☆杆件横截面上内力的大小及其在杆件内部的分布规律随外力的改变而变化，若内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。

总结：

§4.2截面法、轴力与轴力图②内力随外力增大而增大外力消失，内力也消失。

直接利用外力计算轴力的规则

杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等于截面一侧（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背离截面时取正号，外力指向截面时取负号。

①☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量例4.2

钢杆上端固定，下端自由，受力如图所示。已知l=2m，F=4kN,q=

2kN/m，试画出杆件的轴力图。

（0≤x≤2）解以B点为坐标原点，BA为正方向建立x轴；将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。由BC受力图建立平衡方程：

由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力图为一斜直线。当x＝0时，FN＝4kN；当x＝2m时，FN＝8kN。画出轴力图如图所示，FN.max＝8kN，发生在截面A上。

.FN例4.2钢杆上端固定，下端自由，受力如图所示。已知l=§4.3横截面上的应力

4.3.1应力的概念

杆件强度与内力的（大小、截面积有关）与截面上每一点处的内力集度有关。＊应力：内力在截面上某一点处的集度称为应力

为确定杆件某一截面m-m（上任意一点K处）的应力，在截面上任一点K周围取微小面积,设ΔA

面积上分布内力的合力为,则比值称为面积ΔA

上的平均应力。用pm表示,即

§4.3横截面上的应力4.3.1应力的概念杆件

应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。

§4.3横截面上的应力

一般情况下内力并非均匀分布的，故将比值在所取的无限地趋近于零的极限值。用p表示☆p称为点处的应力，它是一个矢量，通常可分解为与截面垂直的分量称为正应力和与截面相切的分量称为剪切应力。应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1G☆根据研究观察分析，可作如下假设：横截面在杆件拉压变形后仍保持为垂直于轴线的平面，仅沿轴线产生了相对平移。☆拉压时的只有正应力：横截面上各点均布，pm=

p，其方向与横截面上的轴力FN一致。其计算公式为§4.3横截面上的应力

☆根据研究观察分析，可作如下假设：横截面在杆件拉压变形后仍保

例4.3

如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN的作用。已知h＝25mm，h0=10mm，b=20mm。求杆内最大正应力。解:1）计算轴力。用截面法求得各截面上的轴力均为（画出轴力图）kN2)计算最大正应力。开槽部分的横截面面积为则杆件内的最大正应力为§4.3横截面上的应力

负号表示最大应力为压应力。

例4.3如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F解：1.作轴力图用截面法分段求轴力，并作轴力图如图b所示。

2.计算最大正应力经过分析可知，AB和CD段内横截面上可能产生最大正应力（绝对值）。例4.4

阶梯杆自重不计，受外力如图a所示，试求杆内的最大正应力。已知截面积分别。可见AB段内横截面上的正应力最大，其值为40MPa。§4.3横截面上的应力解：1.作轴力图用截面法分段求轴力，并作轴力图如图b所示。4.4.1纵向线应变和横向线应变杆件受拉作用时的变形设原长为l，直径为d的圆截面直杆，受轴向拉力F后变形，其杆纵向长度由l变为l1，横向尺寸由d变为d1，则绝对纵向变形为绝对横向变形为§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

相对变形线应变

纵向线应变横向线应变4.4.1纵向线应变和横向线应变杆件受拉作用时的变形§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

当应力不超过某一限度时，存在正比关系，且负号相反。

§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律当应力不超过某一限常数E

称为材料的弹性模量上式表明：1）弹性模量E表征了材料抵抗弹性拉伸压缩变形的性能，是材料的刚性指标。2）乘积EA反映杆件抵抗弹性拉伸压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。☆

上式的适用条件为：1）杆件的变形应在线弹性范围内；

（2）在长为l的杆段内，E、A均为常量。§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律4.4.2胡克定律☆胡克定律的另一表达式为常数E称为材料的弹性模量上式表明：1）弹性模量E表征了材解:1）作轴力图。用截面法求得CD和BC段轴力kN，AB段的轴力为kN。2）计算各段杆的变形量。(3)计算杆的总变形量。4.4轴向拉压杆的变形胡克定律

例4.5

阶梯状直杆受力如图所示，试求杆的总变形量。已知其横截面面积分别为ACD=300mm2,AAB=ABC

500mm2,E=200GPa。解:1）作轴力图。用截面法求得CD和BC段轴力§4.6轴向拉压杆的强度计算

4.6.1极限应力许用应力安全因数

＊构件在载荷作用下出现的断裂和屈服都是因强度不足而引起的失效，如右图零件。引起构件丧失正常工作能力的应力称为极限应力，用表示。塑性材料和脆性材料的失效原因各不相同。对于塑性材料，取；对于脆性材料，取。

＊构件在工作时产生的应力称为工作应力。最先发生强度失效的那些横截面称为危险截面，危险截面上的应力称为最大工作应力。为保证构件能正常工作，应使最大工作应力小于材料的极限应力，并使构件留有必要的强度储备。一般把极限应力除以大于1的安全因数n，作为强度设计时的最大许可值，称为许用应力，用表示。

塑性材料：

；脆性材料：

§4.6轴向拉压杆的强度计算

4.6.1极限上式称为拉压杆的强度条件。式中分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。利用强度条件，可解决下列三类强度计算问题，现以拉压杆为例加以说明1）强度校核已知外载荷、杆件的各部分尺寸以及材料的许用应力，检验危险截面的应力是否满足强度条件。计算步骤一般是：确定危险截面，计算其工作应力，检验是否满足强度条件，。≤§4.6轴向拉压杆的强度计算

AFN和max

AN/Fσmax,max=4.6.2拉（压）杆的强度条件为保证拉压杆安全正常工作，必须使杆横截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力，即,≤对等直杆可写成上式称为拉压杆的强度条件。式中分（2）截面设计已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设计杆件横截面尺寸。即满足≥。

（3）确定许可载荷已知杆件的横截面尺寸以及材料的许用应力值，确定杆件或整个结构所能承受的最大载荷。既确定杆件最大许用轴力≤

A，然后确定许可载荷。

§4.6轴向拉压杆的强度计算

（2）截面设计已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设例4.7某机构的连杆直径，承受最大轴向外力，连杆材料的许用应力。试校核连杆由圆形改为矩形截面，高宽之比，试设计连杆的尺寸。

解:1）求活塞杆的轴力。由题意知连杆为二力杆属于拉压变形；画出受力图截面法求得连杆的轴力为2）校核圆截面连杆的强度。连杆横截面上的正应力为§4.6轴向拉压杆的强度计算

3）设计矩形截面连杆的尺寸4）分别计算出b≥0.173m，h≥0.242m。实际设计时可取整为b＝175mm，h=245mm。例4.7某机构的连杆直径，承受最大轴

例4.5

如图所示为一三角形构架，AB为直径的钢杆，其许用应力，BC为尺寸的矩形截面木杆，其许用应力，求该结构的B点可吊起的最大许用载荷F。

解（1）分析：依题意需要分别根据AB、BC两杆的强度条件求出相应的两个许可载荷和。取两者中较小者为杆件的许用载荷。

§4.6轴向拉压杆的强度计算

例4.5如图所示为一三角形构架，AB为直径由上式，可解得：

3）分别计算由两杆确定的许用载荷。BC杆≤因≤，故整个构件的许用载荷为。

≤AB杆平衡方程可求得各杆轴力。§4.6轴向拉压杆的强度计算

030cosº=--BCNABNFF030sinº=--FFBCNkN

36ABABABABNAFF][3s≤=BcBCBcBcNAFF][2s≤=BCF2）计算两杆的轴力。取B点为研究对象，绘出受力图，若不计杆重，则两杆都是二力杆，所受的外力就是两杆的轴力和。

由上式，可解得：3）分别计算由两杆确定的许用载荷。BC杆作业P1024.34.44.54.64.74.84.12作业P1024.34.44.54.第4章轴向拉伸与压缩小结

（1）本章研究了轴向拉压杆的内力和应力的计算。应用截面法可求出的轴向拉压杆的内力——轴力。轴向拉压杆件横截面上只有正应力，且在横截面上均匀分布，其计算公式为

（2）直杆轴向拉压时的强度条件为≤上式可解决强度校核、设计截面和确定承载能力三类强度计算问题。

纵向线应变和横向线应变之间有如下关系:（3）胡克定律建立了应力和应变之间的关系，其表达式为第4章轴向拉伸与压缩小结（1）本章研究了轴（4）重点介绍了以低碳钢为代表的塑性材料的拉伸应力——应变曲线。它可分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈縮阶段。低碳钢的强度指标有δs和δｂ，塑性指标有δ和ψ。（5）简要介绍了拉压超静定问题的解题方法和压杆稳定的概念。第4章轴向拉伸与压缩小结

（4）重点介绍了以低碳钢为代表的塑性材料的拉伸应力——应变曲§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.1拉伸试验应力－应变曲线轴向拉伸试验：圆截面拉伸标准试样，试验段长度l为标距，两端为装夹部分；标距l与杆径d之比取试验机上的绘图装置自动绘出载荷F与相应伸长变形关系曲线，称为拉伸图或F－曲线。

§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.1拉伸试§4.5材料在轴向拉压时的力学性能

为消除试样横截面尺寸和长度的影响，将F－曲线的纵坐标F和横坐标分别除以试件的原始横截面面积和原始标距得到曲线，称为应力-应变曲线。§4.5材料在轴向拉压时的力学性能为消除试样横

4.5.2低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时表现出来的力学性能具有典型性。由上图的曲线可以看出，整个拉伸过程大致分为以下四个阶段：

(1)弹性阶段

＊拉伸的初始阶段（OA），曲线为一直线，直线段最高点A所对应的应力称为比例极限，用表示。

＊应力与应变成正比，即满足胡克定律。,弹性模量E是直线OA的斜率，

即

。

＊图中的A段，应力超过比例极限，与不再是线性关系。但当应力不超过点所对应的应力时，卸载后，变形仍可完全消失，这种变形为弹性变形，称为弹性极限。§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.2低碳钢拉伸时的力学性能(1)轴向拉伸与压缩课件

＊材料屈服会产生显著的塑性变形，并影响构件的正常工作。故将屈服极限作为极限应力或危险应力。

(2)屈服阶段

＊当应力超过点增加到某一数值时，在曲线上出现锯齿形线段BC，此时应力几乎不变，而应变却显著增大，暂时失去抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。

＊屈服阶段的变形主要是不可恢复的塑性变形。屈服阶段的最小应力值较为稳定，用称为屈服点应力。低碳钢的屈服点应力＝220～240MPa。表面磨光的试件屈服时，在试