平面向量四心问题(最全).#精选

/9word.图1A.夕卜心BA.夕卜心B・内心C・重心D・垂心分析已知等式即AP=+_^C),设AE=^B,AF=^C，显然IABIIACIIABIIACIAE,AF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为ZABC的平分线，选B・一例7、AABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH二m(OA+OB+OC)，则实数m=・分析：本题除了利用特殊三角形求解夕，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观•解法如下，由已知，有向量等式AHBC二0,代入将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH-OA)(OC-OB)=0，将已知代入有[m(OA+OB+OC)-OA](OC-OB)=0m(OC2-OB2)+(m-1)OABC=0,由O是外心，得(m-1)OABC=0,由于AABC是任意二角形，则OABC不恒为0,故只有m=1恒成立.或者8点O作OM丄BC与M,则M是BC的中点玮OM=-(OB+OC)；H是垂心，贝UAH丄BC,故AH与OM共线，设AH二kOM,则k’»»OH=OA+AH=OA+—(OB+OC),又OH=m(OA+OB+OC),故可得2kk>»k»»(m-1)OA+(m--)OB+(m--)OC=0,有m-1=m--=0,得m=1・222根据已知式子OH二m(OA+OB+OC)中的OA+OB+OC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式设三角形的重心为G,O是平面内任一点,均有OGZ°A+如O匚由题意,题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1,由图上观察，很容易猜想到HG=2GO，至少有两个产生猜想的诱因其一是BF,OT均与三角形的边AC垂直则BF//OT；其二，点G是三角形的中线BT的三等分

点.此时，会先猜想△BHG^△TOG,但现在缺少一个关键的条件，即BH=2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG：GH=1：2,利用向量表示就是OH=3OG・例8、点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OCOA,则点0是AABC的（）・A・三个内角的角平分线的交点A・三个内角的角平分线的交点B・•三条边的垂直平分线的交点八、、C・三条中线的交点C・三条中线的交点D.三条高的交点移项后不难得出OBCA=OCAB=OACB=0，点0是AABC的垂心,3推广应用题例9在AABC内求一点P，使AP2+BP2+CP2最小・分析如图2,构造向量解决•取CA二a,CB二b为基向量，设CP=x，有AP=x-a,BP=x-b・TOC\o"1-5"\h\z►—►►—►是，AP2+^BP2TCP2土(x一a)2+(x一b)2+x=3[x一1(a+b)]2+a2+b2一1(a+b)2.当x=-(a+b)时，AP2+BP2+CP2最小，此时，即OP=1(OA+OB+OC),33则点PABC的重心匚〜〜〜〜〜〜--例f10--已知O为AABC所在平面申一^点十满足心・IOA|2+1BC|2=1OB|2+1CA|2=1OC|2+1AB|2，则O为AABC心・分析将丨BC|2=(OC一OB)2=OC2+OB2-2OCOB,ICAb,|ABI2也类似展

开代入，已知等式与例4的条件一样•也可移项后，分解因式合并化简，0为垂心．例11已知例11已知O为△ABC的外心求证：OAsinBOC+OBsinAOC+OCsinAOB=0.分析构造坐标系证明•如图3,以A为坐标原点,B在x轴的正半轴,C在x轴的上方.S二1xy,直线BC的方程是△AOB220yx+（x-x）y-xy=0，由于点A与点O必在直32323线BC的同侧，且-xy<0,因此有23xy-xy+xy-xy<0，得03302023S=(xy+xy-xy-xy).△BOC230230320直线AC的方程是yx-xy=0，由于点(1,0)与点O必在直线AC的同侧，且33yx1-xx0>0，因此有xy-xy>0，得S=(xy-xy)・330330△AOC20330于是，容易验证，OAxS+OBxS+OCxS=0，又△BOC△AOC△AOBS=丄丨OBIIOCIsinBOC,△BOC2S=11OBIIOAIsinAOB,S二11OAIIOCIsinAOC□又IOAI=IOB1=IOCI,△BOA2△AOC2则所证成立总结：知识综述一-—-—-一一—（一）三角形各心的概念介绍1、重心——三角形的三条中线的交点；2、垂心——三角形的三条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件・比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等・二）三角形各心的向量表示1、O是A1、O是AABC的重心oOA+OB+OC=0；2、O是AABC的垂心oOA-OB=OB-OC=OC-2、TOC\o"1-5"\h\zF*"*■ry&QH03、O是AABC的外心olOA1=1OB1=1OC丨(或OA2=OB2=OC2)；4、O4、O]，I，ABACBABCCACBA_oOA-(-)=OB-