2022年中考数学常考点《一次函数与反比例函数综合题》必背知识手册

2022年中考数学常考点03一次函数与反比例函数综合题》题型归纳一、用待定系数法求一次函数解析式一般步骤：(1)设一次函数的解析式为y=Ax+b伏*0)；(2)列出关于左、〃的二元一次方程组；(3)解方程组，求出攵、b的值；(4)写出解析式.【例】(2021•内蒙古呼和浩特市•中考真题)在平面直角坐标系中，点A(3,0),8(0,4).以AB为一边在第一象限作正方形ABC。，则对角线8。所在直线的解析式为()A.y=-；x+4 B.y=-；x+4C.y=-；x+4 D.y=4【答案】A【分析】过点D作_Lx轴于点E,先证明aABO=aDAE(AAS)，川||全等三角形时应边相等的性质解得。(7,3),最后由待定系数法求解即可.【详解】解：正方形A6CZ)中，过点。作轴于点E,ZABO+ZBAO=ZBAO+NDAE=90°ZABO=/DAETOC\o"1-5"\h\zZBOA=ZAED=90°,AB=AD \：.^ABO=^DAE(AAS) \AO=DE=3,OB=AE=4 I、/—匚O|A ExA57,3)设直线BO所在的直线解析式为y=kx+h(k*0),代入5(0,4),。(7,3)得J6=4\lk+b=3y=——x+4

故选：A.二、反比例函数解析式的求法求反比例函数的解析式的方法有两种：(1)根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)由k的几何意义直接得反比例函数的解析式.【例】(2021•湖南常德市)如图，在R/aAOB中，AO1.BO.A8_Ly轴，O为坐标原点，A疗若的面；的坐标为反比例函数弘="的图象的一支过A点，反比例函数％=&的图象的一支X X疗若的面；过B点，过4作A〃_Lx轴于”,(1)求〃的值；(2)求反比例函数为的解析式.3【答案】(1)1;(2)%=-一x【分析】(1)根据三角形面积公式求解即可;(2)证明A4OE〜AA8O,求出BE的长即可得出结论.【详解】解：(1) 6),且四_1_工轴:.AH=+,OH=n又△40”的面积为XL2.'.-AH»OH=—,^-xy/3xn=—2 2 2 2解得，n=1；(2)由(1)得，AH=6,OH=l.,.AO2如图，VAO1BO,A8_Ly轴，二ZA£O=ZAOB=90°,四边形AHOE是矩形,：.AE=OH=\5LZBAO=ZOAE：.MOE-MBO.AOAEBn2 1ABAOBE+\2解得，BE=3•••8在反比例函数必=幺的图象上，Xk2=—3x1=—3. _3••二 •X三、用一次函数的相关知识解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）作答.【例】（2021•江苏南通市•中考真题）A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；8超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500-100”0.8=420（元）.（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.6.9x（04x4300）【答案】（1）A商场），关于x的函数解析式：乃=J ;8商场丫关于x的函60+0.7x（x>300）fx（0<x<100）数解析式…=|20+0,8x（x>100）；（2）当200vx<400时，去8超市更省钱；当户400时，去4、8超市一样省钱；当x>400时,

去A超市更省钱.【分析】（1）利用促销方式，分别写出4、8两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数；（2）小刚一次购物的商品原价超过200元，则可以确定8的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论.【详解】0.9x（0<x<300）解：⑴A商场y关于”的函数解析式：以=0.91300+0.7（,00）（»300），即:_0.9x（0<x<300）“-[60+0.7a:（x>300）：B商场yB商场y关于x的函数解析式:x（0<x<100）"=（100+0.8（x-100）（^>100）'即x（0<x<100）'B-|20+0.8x（x>100）：（2）•小刚一次购物的商品原价超过200元二当2（XXxW300时，yA-yB=0.9x-（20-0.8x）=0.1x-20,令乃一%=0，x=200,所以，当200VxW300时，即力-%>。，去8超市更省钱；当x>300时，=（60+0.7x）-（20+0.8x）=40-0.lx,令力一%=°，户400，所以，当x=400时，即以一%=0,此时去4、8超市一样省钱;当3（XXx<400时，即%-%>。，去8超市更省钱；当x>400时，即力一%V。，去A超市更省钱；综上所述，当200Vx<400时，去5超市更省钱；当户400时，去A、8超市一样省钱；当x>400时，去A超市更省钱.四'反比例函数的性质在几何中的应用反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等结合起来综合考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式.【例】（2021•四川凉山彝族自治州）如图，aAQB中，ZAB（9=90°,边。8在x轴上，反比TOC\o"1-5"\h\z,k .. 、 9例函数y=Ax＞。)的图象经过斜边OA的中点M,与A8相交于点N,Sjob=12,AN=%.X 2.(1)求攵的值；(2)求直线A/N的解析式.9【答案】(1)6；(2)y——x+—2【分析】(1)设点A坐标为(团，〃)，根据题意表示出点8,N,M的坐标，根据的面积得到机/?=24,再根据M,N在反比例函数图像上得到方程，求出加值，即可得到〃，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得左值；(2)由(1)得到M,N的坐标，再利用待定系数法即可求出例N的解析式.【详解】解：(1)设点A坐标为(m,n),VZAfiO90°,9.'.B(m,0),又A7V=—,29:.N(m,n——),2•••△AOB的面积为12,^mn=\2,即府=24,•.•历为0A中点，.一，11、..M(—m,-n),2 2•••M和N在反比例函数图像上，•324一9=。，解得：加=4,k.M(2,3),代入y=一

3（2）由（1）可得：M（2,3）,N（4,一），2设直线MN的表达式为y=ax+b9[3=2。+〃3a=—则34 .解得：・\-=4a+b4,9[2h=—< 23 9**•直线MN的表达式为丫=一[1+],五、反比例函数与一次函数的综合应用1.利用函数图象确定不等式狈+6>£或"+6<£的解集的方法如图，过交点A、B分别作

x xX轴的垂线，它们连同y轴把平面分为四部分，相应标为I、II、III、IV.从图象可以看出,*在I、HI部分，反比例函数图象位于一次函数图象的上方，所以不等式ax+b（人的解集为x犬<4或o<x<*a；在n、w部分，反比例函数图象位于一次函数图象的下方，所以不等式kax+b>—的解集为4vx<0或x>xA.x[例]（2021•四川乐山市）如图,直线I分S△“用=S&AOC+S△例此 SAAOB=S“ABD-SAAOC-SA80Ks施弗0cDE、k*0）X的图象于尸、。两点.若45=2的，且的面积为4(1)求k的值；(2)当点P的横坐标为-1时，求APOQ的面积.【答案】(1)-6；(2)8【分析】(1)过P作PE垂直于x轴，垂足为E,证明aABO-aAPE.根据相似三角形的性质可得AO=2OE,#=：，由此可得S0pe=9,S/e0=3.再由反比例函数比例系数攵的几何意义即可求得火值.(2)先求得P(-1,6),8(0,4),再利用待定系数法求得直线总的解析式为y=-2x+4.与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得Q(3,-2).再根据£。。2=邑/＞。8+5.0。/)即可求解.【详解】(1)过P作PE垂直于x轴，垂足为E,:.PE//BO,：.aABO^aAPE.;AB=2BP,SAAOB=4,AO=2OE, =iSjpe⑴ 9•q=9q=3，I%1=；x3,|&|=6,即2=—6.(2)由(1)知丁二/，AP(-l,6).x,•*AB=2PB9 S.pbo=2, |BO\=4,8(0,4).设直线P3的解析式为丁=云+。,将点P（T，6）、8（0,4）代入y=丘+"得〈解得k解得k=—2b=4/.直线PB的解析式为y=-2x+4.f=Z6联立方程组）一% ,解得七=3,x2=-l,[y=-2x+4・•・Q（3,-2）.777【例】（2021•四川遂宁市）如图，一次函数+b（原0）与反比例函数必=一（加加）的图象交于点A（1,2）和8（-2,a）,与y轴交于点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N,当AAMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线片向下平移2个单位后得到直线力，当函数值,>%>、3时，求x的取值范围.2【答案】（l）yi=x+l；%=-：（2）N（0,7）或（0,—5）；（3）—2VxV-l或1Vx【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出5点坐标，再求一次函数解析式即可；（2）根据面积求出A/N长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果.

【详解】解：(1)'•,%='过点A(1，2),

X.*./n=1x2=2,2即反比例函数：%二—，x当x=-2时，a=—1,B|JB(—2,—1)yi=h+h过A(1,2)和3(-2,-1)代入得k+b=2_2k+b=l,，一次函数解析式为力=x+1,(2)当x=0时，代入y=x+l中得，y=l,