初中数学人教九年级上册第二十四章圆-垂径定理 一等奖

圆是轴对称图形.

想一想圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.1.圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的?

想一想●O2.圆是中心对称图形吗？你又是用什么方法解决这个问题的?圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.如果是,它的对称中心是什么?用旋转的方法即可解决这个问题.AM=BM,垂径定理

如图：AB是⊙O的一条弦.（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法.

探究活动1作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O（1）所作的图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

发现图中有:ABCDM└CD是直径CD⊥AB可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.操作探究垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧知二得三动动脑筋

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒C.OAEBD叠合法证明：连结OA、OB，则OA＝OB。∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.提示:

垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

记一记●OABCDM└如图∵CD是直径,CD⊥AB。∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.CD⊥AB,垂径定理的推论AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

探究活动2过点M作直径CD.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?发现图中有:CDCD是直径AM=BM可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?

提示:

这两条弦在圆中位置有两种情况:

垂径定理的推论●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

练一练驶向胜利的彼岸挑战自我1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√√

3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：相等。理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，∴AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE∴AC＝BD.ACDBOE2.在半径为5㎜的⊙O中，弦AB=8㎜，则O到AB的距离=

，∠OAB的余弦值=

。OABP0.83mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法．CDABE4.平分已知弧AB已知：AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：AB的中点⌒⌒你能破镜重圆吗？ABACmn·O1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；

2.以O为圆心，OA为半径作圆。你能破镜重圆吗？ABACmn·O1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；

2.以O为圆心，OA为半径作圆。1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).

例题解析RD7.237.4赵州石拱桥

赵州石拱桥解：由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2垂径定理的应用

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

做一做ED┌

600ED┌

练一练你可以写出相应的命题