2022年中考数学压轴题押题附答案

2022年中考数学压轴题1.如图，边长为5的正方形。48c的顶点。在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是04边上的点(不与点Z重合)，EFVCE,且与正方形外角平分线4G交于点P.(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3,0),在y轴上是否存在点使得四边形8MEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.冰图1"：OC^OA,NCOA=NBA0=90",4OEK=NOKE=45°,：AP为正方形OCB4的外角平分线，；.NB/P=45°,：.ZEKC=ZPAE=\?>5°,:.CK=EA,:ECLEP,:.NCEF=NCOE=90°,:.NCEO+NKCE=9G°,NCEO+NPEA=90°,；.NKCE=NCEA,在△CKE和△E4尸中(Z.KCE=Z.PEAlCK=EAliCKE=LEAP:•△CKEQAEAP,:・EC=EP；(2)解：y轴上存在点M,使得四边形尸是平行四边形.如图，过点8作8M〃尸E交y轴于点M,连接8P,EM,图2则NCQB=NCEP=90。,所以NOCE=NC80,(lCBM=zOCE・•在△8CM和△(%>£t中，\BC=OCUBCM=乙COE:ABCM9ACOE,；.BM=CE,:CE=EP,:・BM=EP.,:BM〃EP、・・四边形BMEP是平行四边形，VA^CM^ACOE,:・CM=OE=3,：.OM=CO-CM=2.故点M的坐标为(0,2).

.如图1, 是。。的直径，点/、C是直径DE上方半圆上的两点，且4OLCO.连接图2AE,CQ相交于点F,点8是直径DE下方半圆上的任意一点，连接力B交CD于点G,连接CB交AE于点H.图2AOLCO,则AOLCO,则Nl+N2=90°,N4BC=45° ；(2)证明：△CFHs/XCBG；(3)若弧DB为半圆的三分之一，把/月0c绕着点O旋转，使点C、。、E在一直线上FH时，如图2,求下的值.DU解：⑴'：ZAOC^90°,二乙18c=45°,故答案为45°(2)如图1,ZCFH^ZCDE+ZAED=j(180°-ZAOC)=45°=NABC,ZFCH=ZGCB,:.△CFHs^CBG；(3)设乙40。为/I,/COE为N2,NOEA=NOAE=a,圆的半径为??,Zl—2a,弧08为半圆的三分之一，则NOE/=NO/E=30°

则N2=60°,a=30°,在△OE4中，Z2=60°,a=15°,OE=R,在OE上取一点K,使HK=EK,则N〃KO=2a=30°,设HK=EK=x,则x+e=R，F5WlJx=OH=xtanNHKO=（2—遮）R,v3+2则C〃=CO-OH=（V3-1）R,在△F//C中，NDCB=3Q°,NHFC=45°,CH=（V3-1）R,同理可得：FC=R,,:ACFtisACBG,FHFCR1BGBC2R2.如图，在RtZXZBC中，NZC8=90°,以斜边48上的中线CD为直径作。0,与8c交于点与48的另一个交点为E,过M作“垂足为N.(1)求证：MN是。。的切线；(2)若的直径为5,sin3=*求EZ)的长.：・4OCM=4OMC,在Rt△48c中，是斜边上的中线,：.CD=^AB=BD,：.NDCB=NDBC,：.乙OMC=ZDBC,：.OM//BD,'：MN1BD,C.OMLMN,；OA/过O,是OO的切线:(2)解：连接。M,CE, 圉2：CO是OO的直径，；.NCED=90°,ZDMC=90°,BPDMIBC,CELAB,由(1)知：BD=CD=5,.,.A/为5c的中点，3Vsin^=引4cos^=耳,在RtZSBA/Q中，BM=BD・cosB=4,：.BC=2BM=S,Q9在RtAC£5中，BE=BC・cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=W-5=g4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点Z,B,。。的半径为r.(1)如图1,点C在点A,8之间的优弧上，NMPN=80°,求/4C8的度数：(2)如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，NZPB的度

数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.PBNP BNP BN图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接04OB,图1;玄，P8为。。的切线，AZPAO=ZPBO=90°,，乙仍5+乙4。吐180°,，乙仍5+乙4。吐180°,VZAPB=SQ°,/.ZAOB=\00°,ZACB=50°；(2)如图2,当乙4尸8=60°小连接CM,OB,P B N囱2由(1)可知，NAOB+NAPB=t,四边形力P8C是菱形,180°,VZAPB=60°,AZAOB=120°，：.ZACB=60°=NAPB,・,点。运动到尸。距离最大，PC经过圆心，・・RL尸8为。。的切线，：.PA=PB./APC=NBPC=30°,又•：PC=PC,:AAPgABPC(S4S),AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：・AP=AC,：.AP=AC=PB=BC9・・四边形ZP8C是菱形；(3)・・・OO的半径为小：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,工前的长度=黑黑=?r,loUJ...阴影部分的周长=A4+PO+丽=8什r+枭=(V3+l+^)r..如图，均为。。的切线，P8C为。。的割线，尸于点O,△AOC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接ON,OB,OC,BD."JOA1.AP,ADYOP,

工由射影定理可得：PA?=PD*PO,%。2=尸。・。。…（5分）又由切割线定理可得P42=PB・PC,:・PB・PC=PD・PO,:・D、B、C、。四点共圆，…（10分）:•/PDB=4PCO=NOBC=4ODC,NPBD=NCOD,:ZBUsRcOD,PDBD—=—,…（15分）CDOD:・bd*cd=pd・od=aN,.BDAD・•布=CD,又NBDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZADC,:•丛BDAs丛ADC,：./BAD=NACD,：.AB是△ADC的外接圆的切线，:・/BAE=/ACB.7.如图，点/为y轴正半轴上一点,48两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y=^x2于P,。两点.(1)求证：NABP=NABQ；(2)若点4的坐标为(0,I),且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点4的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线尸0的函数解析式为》=京+3并设P,。的坐标分别为（xp,yp）f（X0，»0）.由（y=kx+t=27'3,27得石公—kx—t=0,于是XpX。=—13EPt=—^xpXq.十口BC于是 =yp+t=舞2+t2o-lXp2~lXpXQ—2 922, 、-Xp(Xp-XQ)-2=_生BD%+t3XQi+t3XQ^~XPXQ/q(xqF)XQ,PC又因为777；XpBC所以77_PCQDXQBDQD因为N8CP=N8O0=9O°,所以ABCPsABD。,故N48尸=N4B0；(2)解：设PC=a,DQ=b,不妨设a》b>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=V3b,所以4。=百。-2,AD=2-V36.因为PC〃DQ,所以△ZCPs/\4)0.PCACaV3a-2于征"而二而，即％=百正所以q+b=