2022年中考数学压轴题押题及解析

2022年中考数学压轴题1.问题：如图（1）,点、E、尸分别在正方形48co的边8C、C。上，NEAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△48E绕点A逆时针旋转90°至△ZOG,从而发现E/=8E+尸。，请你利用图（1）证明上述结论.【类比引申】如图（2）,四边形X8CZ）中，/历1。片90°,AB=AD,N8+NO=180°,点£、尸分别在边BC、CD上,则当NEAF与NB4D满足NBAD=2NEAF关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形48CD已知48=/10=80米，NB=60°,ZJDC=120",ZBAD=\50°,道路8C、CC上分别有景点E、F,且。尸=40（V3-1）米，现要在E、尸之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：V2=1.41,V3=1.73）图（1） 图（2） 图⑶【发现证明】证明：如图（1）,〈△ADGq4ABE,：.AG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE,又・.・N£4/=45°,BPZDAF^ZBEA=ZEAF=45°,：・/GAF=NFAE,在AGAF和△刈£1中，(AG=AEMF=AF；・/\AFG@4AFE(SAS).:・GF=EF.又•：DG=BE,:.GF=BE+DF,：.BE+DF=EF.【类比引申】NBAD=2/EAF.理由如下：如图(2),延长C5至使8M=0£连接ZA/,VZJ5C+ZD=180°,ZJ5C+ZJ5A/=180°,・•・/D=N4BM,在2BM和△/£＞尸中，(AB=AD\z-ABM=ZD,(BM=DF・••△ABMWAADF(SZS),：.AF=AM9/DAF=/BAM,■:NBAD=2NEAF,：./DAF+NBAE=/EAF,：./EAB+NBAM=ZEAM=NEAF,在△61E和△A7/E中，(AE=AE\z.FAE=Z.MAE,{AF=AM:.△FAEqAMAE(SAS),：.EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF.故答案是：NBAD=2NEAF.【探究应用】如图3,把△力8E绕点力逆时针旋转150°至△力。G,连接力R过/作彳〃±GD,垂足为〃.图(3)VZ^J£>=150°,ZDAE=9Q°,：.ZBAE=60°.又・・・N5=60°,△/8E是等边三角形，.•.8E=48=80米.根据旋转的性质得到：ZJDG=Z5=60°,又•.•//£>尸=120°,•,.ZGDF=180°,即点G在C。的延长线上.易得，△ADG9AABE,：.AG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE,又•.1H=80x孚=40g，HF=HD+DF=40+40(V3-1)=40V3故NH/1尸=45°,；.NDAF=NH4F-NHAD=45°-30°=15°从而/£'4尸=/£'4。-/。4尸=90°-15°=75°又助。=150°=2X75°=2NEAF,'：AE=AG,NE4G=NFAE,AF=AF,:.XFAGmXFAE(SAS),...EF=FG=DG+DF=BE+DF,.,.£,F=BE+DF=80+40(V3-1)-109(米)，即这条道路所的长约为109米.

.在平面直角坐标系xQy中，有不重合的两个点。（xi，“）与尸（X2,二）.若Q,P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点0与点尸之间的“折距”，记做Dpq.特别地，当尸0与某条坐标轴平行（或重合）时，线段尸。的长即点。与点P之间的“折距”.例如，在图1中，点尸（1,7）,点。（3,-2）,此时点0与点尸之间的“折距"DPq=3.（1）①已知O为坐标原点，点4（3,-2）,8（-1,0）,则Dao=5,Dbo=j__.②点C在直线y=-x+4上，请你求出。co的最小值.（2）点E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点尸是直线y=3x+6上以动点.请你直接写出点E与点尸之间“折距”Oef的最小值.解：（1）0Djo=|3-0|+|-2-0|=5,同理。80=1,故答案为：5,1：②设点C(.m,4-m),则。(7。=网+加-4|,当0Wzn<4时，0co最小，最小值为4；(2)如图2,过点E分别作X、夕轴的平行线交直线y=-x+4于乃、Fi，则EFi是“折距”Oef的最小值，即求EQ的最小值即可,当点E在y轴左侧于平行于直线y=-x+4的直线相切时，最小,如图3,将直线y=-x+4向右平移与圆相切于点E,平移后的直线与x轴交于点G,连接OE,设原直线与x、y轴交于点A/、N,则点M、N的坐标分别为(-2,0)、点N(0,6),则MN=2尺,则△MONs/\GEO,MNON„2V10 6则 = ,即 =一,GOOEGO1则GO=皑EFs=MG=2-孚=^52.如图，在RtZUBC中，NACB=90°,以斜边48上的中线C。为直径作。0,与BC交于点M,与48的另一个交点为E,过M作垂足为M(1)求证：MN是。。的切线；(2)若。。的直径为5,sinB=*求的长•

c•：OC=OM,：・4OCM=4OMC,在RtZ\X8C中，CQ是斜边上的中线,：・CD=%B=BD,:"DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：・OM〃BD,■:MN工BD,：・OM1MN,•・・OM过O,・・・A/N是。。的切线；(2)(2)解：连接OM,CE,•・・CQ是OO的直径,：.ZCED=90°,ZDA/C=90°,

即QA/_L6C,CELAB.由（1）知：BD=CD=5,・•・”为8C的中点，Vsin5=J,4cos^=耳,在RtABMD中，BM=BD・cosB=4,:・BC=2BM=8,在RtZkCEB中，BE=BC・cgsB=*D32 7：.ED=BE-80=苔一5=春.□ □4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点4B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点4,8之间的优弧上，NMPN=80°,求N4C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，N/1P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.M-fePBM-fePB NP B N1图1 囱2【解答】解：（1）如图1,连接04OB,MPB N图1'：PA,尸8为。。的切线，:.NPA0=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,M上, B N（备用图）/.ZJP5+ZJOB=180°,VZJP5=80°,.•.408=100°,.,.N/CB=50°；(2)如图2,当N4尸8=60°时，四边形4PBe是菱形,连接。LOB,由(1)可知，N4O8+NZP8=180°,VZAPB=60°,.,.408=120°,/.ZJC5=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，'：PA,尸8为。。的切线，：.PA=PB,N4PC=NBPC=30°,又＜PC=PC,:.XAPgABPC(SAS),；.NACP=NBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,四边形4PBe是菱形；(3);。。的半径为r,.'.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,前的长度=噌需=?r,loUJ,阴影部分的周长=以+尸。+而=旧什厂+宗=(V3+l+^)r.5.如图，以为。。的切线，PBC为。。的割线，尸于点O,ZVIOC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.'JOALAP,ADYOP,由射影定理可得：PA1=PD^PO,AD1=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB・PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）NPDB=NPC0=NOBC=NODC,NPBD=4COD,:ZBDsXCOD,PDBD--（155»：.BD-CD=PD*OD=AD1,.BDAD・・布=CD,又/BDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZJDC,：・4BDAsAADC,:・NBAD=NACD,：.AB是△4DC的外接圆的切线，:・/BAE=/ACB.

76.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工曰 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所以.口PCACna