2022-2023学年数学人教A版必修一单元测试第一章 集合与常用逻辑用语（通关解析版）

2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元卷第一章集合与常用退辑用语知识详解考点一：集合的定义及其关系基础知识复习(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象。与集合M的关系是aeM,或者。任M,两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：｛无次具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).题型一：集合的概念例1：1.下列各组对象能构成集合的是()A.充分接近的所有实数 B.所有的正方形C.著名的数学家 D.1,2,3,3,4,4,4,4【答案】B【详解】选项A,C不满足集合的确定性：集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性.故选：B.举一反二.下列选项能组成集合的是()A.著名的运动健儿B.英文26个字母C.非常接近。的数D.勇敢的人【答案】B解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.故选：B.2.下列所给的对象能组成集合的是（A.“金砖国家”成员国C.著名的科学家【答案】A.【详解】对于A,“金砖国家”成员国即巴B,C,D三个选项来说，研究对象无法麻故选：A.题型二：元素与集合例2：1.下列关系中，正确的是（ ）A.V3gN B.-eZ4【答案】c【详解】根据常见的数集，元素与集合的故选：C2.已知集合4={0,1,2},8=比€用岳e【答案】{0,2}【详解】若J57=O=>x=0eN,符合题：$符合题意.故答案为：{0,2}.举一反三.若集合4={划如2-依+140}=0,则§A.{a\0<a<4} B.［a\O<a<4}【答案】B【详解】当。=0时，不等式等价于1<0,当。工0时，要使原不等式无解，应满足］综上，。的取值范围是［0,4）.故选：B..已知集合A={-2,-1,0,1,2},8={xeZ|A.6 B.7【答案】Bx+2解：由土」<0,解得-2<x<3,所以Bx-3所以{z|z=m\xwc8}={2,0,-2,-4,1,题型三：集合中元素的特性）B.接近1的数D.漂亮的鲜花西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；对于白定，所以不能组成集合.C.0g{0} D.-- L 1 1关系可知，>/3gN»-Z, QC正确，4 2A},则8= .霜若=1nx=g任N,不符合题意；若=2nx=2eN,口数。的取值集合为（）C.{a|0<a<4} D.{a|0<a<4}此时不等式无解：（7>0.24 „>解得0<a<4；A=a-4a<0y17 1x-3<°卜则集合{z|z=xy，xwA,ye8}的元素个数为（ ）C.8 D.9={-1,0,1,2}.-1,4},共有7个元素，故选：B.例3：2.若集合A={H"2-2x+l=0}有且只有一个元素，则。的取值集合为.【答案】{0,1}##{1,0}【详解】①若〃=0，则-2x+l=O,解得x=；,满足集合A中只有一个元素，所以。=。符合题意；②若。声0,则a--2x+1=0为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于A=(-2)2-4xaxl=0,解得。=1故答案为：{0,1}..下列命题中正确的是()①。与{0}表示同一个集合②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x-D2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{l,l,2}④集合{M4<x<5}可以用列举法表示A.只有①和④B.只有②和③A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都对【答案】C解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而。不含任何元素，所以①不正确；对于②,根据集合中元素的无序性，知②正确:对于③，根据集合元素的互异性，知③错误;对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.举一反三.已知A={a-2,2/+5a,12}且_3gA,则由。的值构成的集合是【答案】【答案】【详解】；-3【详解】；-3wA,A={a-2,2a2+5a,12|；/.a-2=-3+5a*—3q戈v2a2+5。w122/+5a=-33〃-2~3，解得〃 1.故答案为:a-2wl2.设集合A={x,xy,J^-l},其中xeZ,ywZ且ywO,若OwA,则A中的元素之和为.【答案】0【详解】因为OgA,所以若x=0,则集合4={0,0,-1}不成立.所以xhO.若因为ywO,所以孙声0,所以必有肛-1=0,所以肛=1.因为xeZ,yeZ,所以x=y=l或x=y=-l.若x=y=l,此时4={1,1,0}不成立，舍去.若x=y=-l,则4={—1,1,0},成立.所以元素之和为1-1+0=0.故答案为：0.题型四：集合的表示法例3：1.设全集。=1^,集合A={x|x>3},B={xeZ|l<x<6},则如图所示的阴影部分表示的集合为()A.{2,3} B.{1,2,3} C.{x[l<x<3}D.{x[3<x<6}【答案】A【详解】B={xwZ|l<x<6}={2,3,4,5},图中阴影部分表示的集合为{x|xeB,x倍力={2,3}.故选：A.2.试分别用列举法和描述法表示下列集合：⑴方程V-x-2=0的解集；(2)大于一1且小于7的所有整数组成的集合.【解析】(1)方程丁-》-2=0的根可以用x表示，它满足的条件是/一工-2=0,因此，用描述法表示为卜€明/一工一2=0}：又方程f-x—2=0的根是一1,2,因此，用列举法表示为{-1，2}.(2)大于一1且小卜7的整数可以用x表示，它满足的条件是xwZ且-1<x<7,因此，用描述法表示为{xeZ|-l<x<7}；大于-1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6,因此，用列举法表示为{0,123,4,5,6}举一反三.设集合A={(x,y)|x+y=3,xeN*,yeN*},则用列举法表示集合A为.fx>0【详解】'；x+y=3,xeN',yeN’，则可得〈 ,则0<X<3[y=3-x>0又'；xeN"，则当x=l,y=2成立，当x=2,y=l成立，/.A={(1,2),(2,1)}故答案为：2,2),(2,1)}..用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；⑵不等式2x-3>5的解集；(3)方程V+x+l=0的所有实数解组成的集合；(4)抛物线丫=-/+3犬-6上所有点组成的集合；(5)集合{1,3,5,7,9}.【解析】(1)解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：(Wx=3AMeZ)(2)解：不等式2x—3>5的解集，用描述法可表示为：{x|x〉4,xeR}.(3)解：方程Y+x+l=0的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：{x|x2+x+l=o,xeR}.(4)解：抛物线y=-x2+3x-6上所有点组成的集合，用描述法可表示为：{(x,y)ly=-x2+3x-6}.(5)解：集合{1,3,5,7,9},用描述法可表示为：{乂|》=2〃-1,14〃45且〃€?4*}.考点二：集合间的基本关系.子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集A^B(或33A)A中的任一元素都属于B(l)AcA⑵A(3)若AqB且BqC,则AqC(4)若 且B^A,则A=B©◎或真子集ACB(或BnA)Aq8,且B中至少有一元素不属于A(1)0uA(A为非空子集)(2)若AczB且BuC,则AuC**集合相等A=BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(l)AcB(2)BcA.已知集合A有〃(〃N1)个元素，则它有2"个子集,它有2"-1个真子集,它有2"-1个非空子集,它有2"-2非空真子集.题型一：子集、真子集例I：1.已知集合Aq{2,4,7},且A中的至多有一个偶数，则这样的集合A共有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【答案】D【详解】当集合A中无偶数，则A=0,或4={7},当集合A中只有一个偶数，则4={2},或4={叫，或4={2,7},或人={4,7},

共有6个，故选：D.TOC\o"1-5"\h\z2.集合M={x\ojc2+3x-1=0）至多有1个真子集，则〃的取值范围是（ ）9 9D.4=0或D.8A.d<— B.D.4=0或D.84 4【答案】D【详解】当。=0时，知={；},满足题意，一 9当〃工0时，由题意得A=9+4aW0,得aW—■-♦49综上，〃的取值范围是（—，-J]U{0}故选：D4举一反三.集合A={0,l,2}的非空真子集的个数为（）A.5 B.6 C.7【答案】B【详解】由题意可知,集合A的非空真子集为{。},{1}，{2},{0,1},{0,2},{1,2},共6个.故选：B..（多选）下列说法正确的是（ ）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{4。}共有4个子集C.集合{dx=3〃+1,〃wZ}={x|x=3〃-2,〃eZ}D.集合{dx=l+a\awN"}={x|x=a。-4a+5,aeN*}【答案】BC【详解】对A,空集不是它自身的真子集，故A错误；对B,因为集合{。，母中有2个元素，所以有2?=4个子集，故B正确：对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对D,因为x=/-4a+5=（a-2）2+l,当。=2时，x=l,所以1e{Hx=a?-4a+5,aeN*},但1任{Mx=l+a2,awN*},故两个集合不相等，故D错误.故选：BC.题型二：包含关系例2：若集合A满足AaB,AaC,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A的个数为（）B.1B.1C.2 D.4【答案】D解：因为4口8,AqC,所以A中最多能含有0,2两个元素,所以A=0,(0,2},{0},⑵共4个.故选：D.举一反三(2022•江苏盐城•高一期末)设集合P={x|x是正四棱柱},Q={x|x是长方体),M={x|x是正方体},则()A.MqQqPB.MqPqQC.PqQqMD.QqMqP【答案】B【详解】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体：当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；•..〃=尸口。.故选：B.(2022•黑龙江♦鸡西市第四中学高二期中)用适当的符号(U,2,G,⑤填空：(L3){(x,y)|y=2x+l}；2{m\m-2(n-l),neZ)；N*N；RQ.【详解】(1)当x=l时，y=2xl+l=3,故(L3)e{(x,y)|y=2x+l}；(2)当〃=2wZ时，故2w{/n|/n=2(〃一l),〃wZ}；(3)因为N*为正整数集，N为自然数集，所以N*qN(4)因为R为实数集，Q为有理数集，所以RaQ.故答案为：G；E；G；题型三：相等关系例3：已知集合"={3,4},'={或丫-3)(万+4)=0,。€1<},若M=N,则。=( )A.3 B.4 C.-3 D.—4【答案】D解：因为M={3,4}且"=N,所以3eN,且4eN,又N={x[(x-3)(x+a)=0,aeR},所以x=3和x=4为方程(x-3Xx+a)=0的两个实数根，所以a=T；故选：D举一反三设集合M={5,x2},N=[5x,5).若M=N,则实数x的值组成的集合为()A.{5} B.{1} C.{0,5} D.{0,1}【答案】C解：因为M=N,所以f=5x,解得x=0或5,'x的取值集合为{0,5},故选：C题型四：空集例3：①0e{0},②0=0},③{0,1}={(0,1)},④{(叫}={(。明("6),其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【详解】0w{0}正确；0a{0}正确；{0,1}={(0,1)}不正确，左边是数集，右边是点集；{(a,b)}={(b,a)}(aHb)不正确，左边是点集，右边是点集，但点、不相同.故正确的有①②，共2个.故选：B.举一反三下列各式中关系符号运用正确的是()A.lc{0,l,2} B.0a{0,1,2}C.0C[2,0,1} D.{1}e{0,l,2}【答案】c.【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.考点三：集合的基本运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作ADB(读作“A交B")，即ADB={x|xGA,且xGB}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作:AUB(读作“A并B")，即AUB={x|xGA,或xRB}.3、交集与并集的性质：ACIA=A,An(p=(p,AnB=BnA,AUA=A,AU(p=A,AUB=BUA.4、全集与补集(1)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(2)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即AqS),由S中H所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)。 /a记作：CsA,即CsA={x|xeS且x《A} CsA J(3)性质：(l)Cu(CuA)=A(2)(CuA)DA=<D(3)(CuA)UA=U (4)(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)⑸(CuA)U(CuB)=Cu(ACB)题型一：交集例1：(2022•全国•高考真题)已知集合人={-1,1,2,4},8=卜卜一1归1},则AnB=()A.{-1,2} B.(1,2) C.{1,4} D.{-1,4}【答案】B【详解】B={x\0<x<2},故AD3={L2},故选：B.举一反三(2022・全国•高考真题(文))设集合A={-2,-l,0,l,2},8={d04x<|),则408=()A.{0,1,2} B.{-2,-1,0}C.{0,1} D.[1,2)【答案】A【详解】因为A={-2,—1,0,1,2},B=jx|0<x<|j,所以4口3={0,1,2}.故选:A.题型二：并集例2：(2022・浙江•高考真题)设集合A={1,2},8={2,4,6},则AuB=()A.{2} B.(1.2) C.{2,4,6} D."2,4,6}【答案】D【详解】5={1,2,4,6},故选：D.举一反三(2021•北京•高考真题)已知集合人={幻—B={x|0<x<2},则()A.{jr|-l<x<2} B.{x|-l<x<2}C.{x|0<x<1} D.{x|0<x<2)【答案】B【详解】由题意可得：AUB={x|-1<x42}.故选：B.题型三：补集、全集例3：(2022•全国•高考真题(理))设全集。={123,4,5},集合M满足0A/=；L3；,则()A. B.3eM C.4gM D.5^M【答案】A【详解】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A举一反三(2022・北京・高考真题)已知全集U={R-3<x<3},集合A={x|-2<x41},则0/()A.(-2,1] B.(-3,-2)U[1,3) C.1-2,1) D.(-3,-2]U(l,3)【答案】D【详解】由补集定义可知：Q/A={x|-3<x4-2或l<x<3},BgA=(-3,-2]U(l,3),故选：D.题型四：集合的交并补例4：（2021•天津・高考真题）设集合A={-l,0,l},B={l,3）5},C={0,2,4）,贝lJ（AcB）uC=（）A.{0} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4） D.{0,2,3,4）【答案】C［详解］vA={-l,0,l},B={1,3,5},C={0,2,4},AcB={l},.•.（AcB）uC={0,l,2,4}.故选：C.举一反三（2022•全国•高考真题（理））设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={乂/-4x+3=。},则q（4u8）=（）A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}【答案】D【详解】由题意，B={x|x2-4x+3=0}={1,3},所以AuB={-1,1,2,3},所以A（AuB）={_20}.故选：D.题型五：Venn图例5：（2019•全国•高考真题（理））《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【详解】由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70X00=0.7.故选C.【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.举一反三（2022•江西•九江实验中学模拟预测（理））学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为.【答案】52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A,参加乒乓球赛为集介B,依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有17+6+29=52人；故答案为：52题型六：集合的新定义例6：（2022.贵州•凯里一中高一期中）已知M={x|xwA且xeB},若集合4={1,2,3,4,5},8={2,4,6},则A/=（ ）A.{1,3,5,6} B.{1,3,5} C.{2,4} D.{6}【答案】B【详解】解:由题得M={1,3,5}.故选：B举一反三（多选）非空集合卬关于运算8满足：对于任意的。、beW,都有则称集合W关于运算③为“回归集下列集合W关于运算③为“回归集''的是（ ）A.卬为N,8为自然数的减法B.叩为Q,③为有理数的乘法C.W为R,③为实数的加法D.已知全集。=1<,集合A=Q,卬为\A,③为实数的乘法【答案】BC【详解】对于A选项，若卬=1>1,③为自然数的减法，则203=2-3=-1任N,A不满足条件；对于B选项，若卬=（^,对任意的。、heQ,则a«）b="wQ,B满足条件：对于C选项，若卬=上对任意的。、beR,则。住b=（a+6）eQ,C满足条件：对于D选项，已知全集。=11,集合A=Q,W=%A,取a= 6=5五e，A,则a®b=ab=10任备4,D不满足条件.故选：BC.考点四：充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知p= 那么就说：”是q的充分条件，q是〃的必要条件；

若poq,则P是4的充分必要条件，简称充要条件.⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系:1、从逻辑推理关系上看：①若p=q,则p是q充分条件，q是p的必要条件；②若p=q,但BP1则p是4充分而不必要条件；③若P声q，但q=p,则p是q必要而不充分条件；④若p=>q且qnp,则p是4的充要条件；⑤若P/4且g/P，则p是q的既不充分也不必要条件.II、从集合与集合之间的关系上看2已知A={x|x满足条件p},B={x|xII、从集合与集合之间的关系上看®_x0001_ 8,则0是4充分条件； ②若3口A,则「是q必要条件；③若A复B,则p是q充分而不必要条件；④若B复A,则〃是q必要而不充分条件；⑤若A=6,则p是q的充要条件；⑥若A（ZB且BUA,则〃是q的既不充分也不必要条件.题型一：充分不必要条件例1：请写出不等式。>人的一个充分不必要条件.【答案】a>b+l（答案不唯一）【详解】因为。>6+1能推出但是a>。不能推出a>b+l,所以。>。+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，故答案为：a>b+l（答案不唯一）举一反三已知I集合A= ,B-\x\-\<x<m+2},若xGA是xGB成立的充分不必要条件，则实数"?的取值范围是.【答案】。,内）求出.【详解】集合A=«言<0卜出1<》<3}.因为xCA是xC8成立的充分不必要条件，所以AB.因为8={xH<r<m+2},所以只需满足:〃i+2因为8={xH<r<m+2},所以只需满足:C.>解得：E>1.

m+2>3故答案为：（1，+°°）.题型二：必要不充分条件1-i-r例2：己知"二>0”是"x2-以=0”的必要不充分条件，则。的取值范围是 .1-x【答案】(T1)【解析】【分析】先化简不等式二>0，应根据一，^>0”是“犬一以=0"的必要不充分条件求解.1—X 1—X【详解】不等式Ue>o等价于山<0,np(x+i)(x-i)<o,解得1-x x-l14-r因为“户>0”是12-改=0”的必要不充分条件，1-X所以即a的取值范围为(T1).故答案为：(T1)举一反三若“V-3x-4>0”是“V-3ar-10«2>0”的必要不充分条件，则实数。的取值范围是.【答案】(-°°,一2川[3,+8)解：由/一3X一4>0,得x>4或x<-l,即不等式的解集为4={x|x)4或x<-l},由x2-Sax-lOa?>0,得(x+2a)(x—5。)>0,若a=0,则不等式的解为x/0,此时不等式的解集为为8={x|.rw()}.若a>0,则不等式的解集为8={x|x)5。或x<-2a],若a<0,不等式的解集为8={x[x)-2a或x<5a},若“V一3X一4>0”是"％2-3奴-10<?>0"的必要不充分条件，则蚱A,则当。=0时，不满足条件.,、4TOC\o"1-5"\h\zf5a>4 4当〃>0时则满足"即:，得心三一2。<一1 1 5i a>—2[-2a>4 ,4-2当a<0时，则满足<,,，得<1，Wa<-2,5a<-la<——i 5综上实数。的取值范围(y，-2]ug，+8).故答案为：(-a>>-2]ug,+a>).题型三：充要条件例3：“VxeR,/一2办+30>0”的充要条件是（B.0<a<3B.0<a<3C.\<a<3D.3<。<5【答案】B【详解】“WxeR,x2-2ar+3a>0”等价于△=4"-12a<0,即0<a<3,故“VxeR,丁-2奴+3a>0”的充要条件是0<”3,故选：B举一反三“对于任意xeR的实数，不等式lx+2|-|3-x|2。恒成立”的一个充分必要条件是（）A.ae（-<»,-2]o[3,+<x>） B.ae[-2,3]C.ag（-a>,5] D.a«y,-5]【答案】D【详解】•••对于任意xeR的实数，不等式|x+2|-|3-x|Z"恒成立，<[|x4-2|—|3—XLn»由x+2=0,得x=-2,由3—x=0,得x=3,当XV-2时,|x+2|-|3-x|=-x-2-3+jc=-5；当一24x<3时，|x+2|-|3-x|=x4-2-3+x=2x-1g[-5,5]；当x>3时，|x+2|-|3-x|=x+2-x+3=5,综上,|x+2H|3-x|e[-5,5]./.a<[|x+2|-|3-x|]inin=-5,对于任意xeR的实数，不等式|x+2|-|3-x|Na恒成立”的一个充分必要条件是（-8,-5],故选：D.题型四：既不充分也不必要条件例4：设xeR,贝『',一2卜2”是“3x-尤2>0”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】解不等式|x-2|<2,得0<x<4,解不等式3%-工2>0,得0<x<3,故由0<x<3可推出0<x<4,由0<x<4推不出0<x<3,所以卡-2|<2”是“3'-/>0”的必要不充分条件.故选：B.举一反三若a,beR,则>1”是“a>b”的( )bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若q>1，当6>0时，a>b,当b<0时，a<b；h又当a>b>0时，两边除以近得2>1,当a>b且6<0时，两边除以6,得q<1.h b故'咚>1"是“a>b”的既不充分也不必要条件.h故选：D考点五：全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短