2022届广东省广州市天河区高三三模数学试题（解析版）

2022届广东省广州市天河区华南师范大学附属中学高三三模数学试题一、单选题1.复数Z=二，则z在复平面内对应的点是()1-1A.(0,-1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(-1,-0【答案】B【分析】先计算求出z,即可求出答案.【详解】因为z=n=/,°.：?[、=[=i,所以z在复平面内对应的点是(0,1).1—1(1— 2故选：B..已知集合"={x|y=ln(x-2)},N={y[y=e*},则Mp|N=( )A.(O,-H») B.(2,+oo) C.(0,2) D.[2,-h»)【答案】B【分析】首先根据指数函数、对数函数的性质求出集合N、M,再根据交集的定义计算可得；[详解]解：因为M={x|y=ln(x_2)}={x|x>2},N={小=e、}={y|y>0},所以McN={x|x>2}；故选：B.函数〃x)=sin(2x+9+1)为偶函数的一个充分条件是()TOC\o"1-5"\h\z71 c 兀 一 兀 e 兀A.(p=- B. (p=— C. (p=- D. (p=~6 6 3 3【答案】c【分析】先求得函数,f(x)为偶函数的充要条件，再去求函数/(X)为偶函数的充分条件即可解决.【详解】函数，(x)=sin(2x+/+1)为偶函数,TT IT JT 7T则有夕+2=ht+7，解之得°=E+：7，keZ,令&=0,则有夕=；6 2 3 3则函数"X)为偶函数的一个充分条件为故选：C.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为一^―,则圆柱的体积为（）A.167r B.8% C.407t D.2&%【答案】C【分析】设圆柱的底面圆半径为,，高为2r,球。的半径为R,由题可得R=2,进而可得r=夜，然后利用圆柱的体积公式即得.【详解】设圆柱的底面圆半径为『，高为2r,球。的半径为R,4 32万由题可知§万穴=子，解得R=2,则/+，=心=4，可得r=0，所以丫=兀3-（2r）=4>/2^.故选：C..“幻=/-幽，则函数y=/（x）的大致图象为（）

【分析】根据/（X）的奇偶性可判断选项B、C错误，又/（一目＜0可判断选项D错误,从而可得答案.【详解】解：由题意，函数/（X）的定义域为（-8,0）U（0,E）,e山、 7InIxlby在/、2In|-x| ,Inlxl因为fW=x2--U,所以f（-x）=（-x）-—」=x2+'*±/（x）,X -x X所以f（x）为非奇非偶函数，故选项B、C错误；. lne-'1n当》=--时，eJe2+1e?,故选项D错误，选项A正确；ee故选：A..已知点A、8在单位圆上，ZAOB=~,若OC=Q4+xO8（xeR）,则OC的取值范围是（）A.[0,+＜x＞） B.-,+°°lC. D.【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得OC的取值范围.【详解】|oc|：=(OA+xOB|oc|：=(OA+xOB)2=OA2+x2OB2+2x|oa|-|ob|cos^=+y/^,X+1=V2Xd 2Yii+—>—22因此，回2孝.故选：C..已知O为坐标原点，F是椭圆C：二+与=1（。＞人＞0）的左焦点，A,8分别为C的CTb一左，右顶点.P为C上一点，且尸尸J_x轴.过点A的直线/与线段P尸交于点何，与y轴交于点£若直线8M经过OE的中点，则C的离心率为A.- B.- C.- D.-3 2 3 4【答案】Ah2【详解】试题分析：如图取尸与M重合，则由A（-a,0）,例（-C,—）=直线aAM:y= (x+a)nE(0,同理由TOC\o"1-5"\h\z一c+a a—c>2 »2 12 »2 ]B(a,O),A/(—c,—)=>G(0, )=> = =a=3cne=—，故选A.a a+ca-ca+c 3【解析】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.如图取P与M重合，则由4一w0),时(7：二)=直线4〃.、,_a,— 从、a /\1V1.y— (人~rCl)—zZLyV, )-C+Cl Cl—Ch2同理由B(«,O),A/(-c,—)=G(0,aa+ca-ca+c 3.已知数列｛《,｝满足a“+2+(T)"a"=3,4=1，％=2,数列｛q,｝的前〃项和为，则Sjo=()A.351 B.353 C.531 D.533【答案】B【分析】根据题意讨论〃的奇偶，当〃为奇数时，可得+2-。”=3,按等差数列理解处理，当〃为偶数时，可得4*2+4=3,按并项求和理解出来，则现按奇偶分组求和分别理解处理.【详解】依题意，an+2+(-l)n«n=3,显然，当〃为奇数时有4+2-4=3,即有%-q=3,a5-a,=3, a2n+l-a2n_,=3,令故加*=3,所以数列出｝是首项为1,公差为3的等差数列,故包=3〃-2；当〃为偶数时有见+2+。〃=3,HP^4+a2=3,。6+〃4=3,・・・，〃2n+2+〃2n=3，于是'S3G=(q+4+…+%)+(%+4+…+/)=(4+&+・・・+45)+[%+(/+46)+・・・+(6/28+/)]=^^xl5+2+7x3=330+23=353,2故选：B.二、多选题.如果4<分<0,c<d<0,那么下面一定成立的是( ), dcA.a+d<b+cB.ac>bd C.ac2>be2 D.—<—aa【答案】BD【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.【详解】^La=c=-2,b=d=-\,则a+d=b+c=-3,ac2=-8,be2=-4,故AC不正确；因为一一b>O,-c>-d>。，所以ac>bd,故B正确；因为c<d,』<0,所以&<£,故D正确.a aa故选：BD.已知(a+2b)"的展开式中第5项的二项式系数最大，则〃的值可以为( )7 B.8 C.9 D.10【答案】ABC【分析】按照哪几项的二项式系数最大分三种情况讨论，结合二项式系数的性质可得答案.【详解】当(。+26)”的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，〃=7；当当(〃+处)"的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，〃=9；当(〃+%)”的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，〃=8.故选：ABC..圆M：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2or+外+6=0对称，记点P(ab),下列结

论正确的是（）A.点P的轨迹方程为x-y-3=0 B.以尸例为直径的圆过定点。（2,-1）C.|尸网的最小值为6 D.若直线以与圆M切于点A,则|网24【答案】ABD【分析】由题意可知2or+by+6=0过圆心，代入即可得。-6-3=0,作出图象，利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.【详解】圆M：J+y2+2x_4y+3=0配方得：(x++('-2)?=2,•••圆M关于直线2ar+by+6=0对称,二直线2ar+外+6=0过圆心M（-1,2）.—2d+2/?+6=0,即3=0,点户的轨迹方程为x-y-3=0,A正确.由右。=与\=一1，则%?.％=一1，则以尸”为直径的圆过定点Q（2,T），B正确.-1-2俨M的最小值即为M（-l,2）到直线x-y-3=0的距离，由于d=则I尸吸=四=3&,C错误.由于1PAi[1=^|PA/|2-|AM|2=yj\PM^-2,要使1PAi取最小，即由于1PAi1PMmin=俨。=3柄,|尸*』尸4_2=>/18-2=4,则D正确.故选：ABD.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直径为26，A,B,C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（ ）A.当A,8为底面圆直径的两个端点时，ZAPB=120°AflAB面积的最大值为6C.当△以B面积最大值时，三棱锥C-布B的体积最大值为近史3D.当AB为直径且C为弧AB的中点时，M4+M3的最小值为后【答案】ACD【分析】对于A,利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B,由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断，对于C,当AfiAB面积最大值时，AB=2应，从而可求出点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-FB的体积最大值，对于D,由题意可得△外。和△尸BC全等，在△阳C中求出sinNAPC,从而可求出PC边上的高，则可求出+的最小值【详解】对于A,记圆锥底面圆心为O,sinZAPO=—=—,所以NAPO=60。，所AP2以NAPB=120。，故A正确；对于B,设44尸8=。（0。<。<120。），则截面三角形的面积S」PAPBsine=2sin6><2,故B不正确；2对于C,由选项B中推理可知，此时AB=2应，所以点C到AB的距离的最大值为6+'（可_（可=6+1,从而可知三棱锥C-两8的体积最大值为；x（；x（6+l）x2&）xl=6产,故C选项正确；TOC\o"1-5"\h\z对于D,由题意可得△%C和△PBC全等，在△朋C中，PA=PC=2,AC=y[6,所4+4—61 、斤以cos/APC=c：：=；，进而sinZAPC=也，2x2x24 4记尸C边上的高为〃（垂足为Q）,则〃=P4sinZAPC=2x4i5=巫，所以4 2MA+MB22h=而,当M与。重合时取等号，故D选项正确；故选：ACD.三、填空题.当x>“时，曰>0成立，则实数。的取值范围是.X【答案】口,一）【分析】由二>0可得x>l或x<0,当X>a时，三二1>0成立，即可求出。的取值X X范围.【详解】±^>0=>x(x-l)>0=x>l或x<0,则当x>a时，--5■>()成立，所以aNl.X X故答案为：［L+®)..为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)随时间x(单位：小时)的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与释放的过程中，y与x成正比;药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=为常数)，根据测定，当空气中每立方米的含药量降低叫毫克以下时，学生方可迸教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.3【答案】0.6j【分析】根据函数图象经过点(021),求出。的值，然后利用指数函数的单调性解不等I11【详解】由题意知，点(021)I11【详解】由题意知，点(021)在函数y32的图象上,所以1=1产

32)解得a=0.2,x—0.2所以y=32所以y=32x-0.2 1I小即2~5x+i<2~2得-5x+l<-2,所以x>0.6.所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.6小时.故答案为：0.6..已知随机变量 且P（歹41）=P（jNa-3）,则1+-^-（0<x<a）的最xa-x小值为.【答案】4【分析】由正态曲线的对称性得出。=4,再由基本不等式得出最小值.【详解】由随机变量€~N（l,b2）,则正态分布的曲线的对称轴为。=1,又因为P（J41）=尸（jNa-3）,所以1+（。-3）=2,所以”=4当0vxv4时，后1 9 （1 9V+（4-x）（ 4-x9x、110+2^.有一+ =一+ —— -=10+ + x-> =4,x4-x\x4-xJ4Vx4-xJ4 44—rQr当且仅当上三==匚，即x=l时等号成立，故最小值为4.故答案为：4.设函数= -2”（〃>0）的图像与g（x）=/lnx+人的图像有公共点，且在公共点处切线方程相同，则实数b的最大值为.【答案】止【分析】设公共点坐标为（毛,%）,求出两个函数的导数，利用r（%）=g'（不）,推出b=-x^-2axii-a2lnx[],然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可.【详解】解：设公共点坐标为（/，%），则/«）=3工-%/（幻=》&>0）,2所以有八%）=g'（x（））,BP3x0-2a=—,解出/=々（/=-♦舍去），3_ _又％=f（%）=g（%）,所以有-刎,=。-侬>+b,3故〃=一4-a"/叫），所以有〃=-a2Ina,对h求导有=-2^（1+Ina）,故6关于。的函数在（0」）为增函数，在（L故）为减函数，e e所以当a=g时b有最大值表.故答案为：■四、解答题

17.“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：周末体育锻炼时间r（min）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)频率0.10.20.30.150.150.1（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数7：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在［40,60）内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在［50,60）内的人数为X,求X的分布列以及数学期望E（X）.【答案】（1）58.5；（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据平均数的定义，7等于频率乘以每一组数据的中点值之和：（2）根据题意，X的可能取值是0,1,2,3,再根据古典概型计算方法分别计算概率即可.【详解】（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数7=35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.（2）依题意，周末体育锻炼时间在［40,50）内的学生抽6人，在［50,60）内的学生抽9人，则上=。）小脸P（x=D=警嗡尸-2）=警嘿,山=3）吟吟,则E（则E（X）=0x±+1x2Z+2x21691 91 455故X的分布列为:X0123P4912791216455126518.已知等差数列｛%｝中，%=3,4=6,且窜著.(1)求数列｛或｝的通项公式及前2〃项和；(2)若c.=H,i也“，记数列｛q,｝的前〃项和为S.，求S”.【答案】⑴"I"；"普，数列间的前2〃项和为〃(〃+1)+#-1)2，〃力侬双 388-9+【分析】(1)结合为=3,4=6求得等差数列｛4｝的通项公式，即可得｛〃｝的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前〃项和公式求解即可；(2)由(1)可知c.=&iO“=2〃x22"=2〃-4",利用错位相减法求解即可.【详解】(1)设等差数列｛《,｝的公差为d，则1=之二?=1,6—3r.., / \, , . +为奇数所以—(〃-3)小，从喃=|2”,〃为偶数bl+b2+b3+--+b2n_t+b2n=(2+4+---+2n)+(22+2'+---+22n)_〃x(2+2〃)4x0-4")F -1-4=n(n+l)+-(4"-l).(2):c„=b2n_,-b2n=2nx22"=2n-4n,/.S„=2x4'+4x42+6x43+---+2n-4n,4S„=2x42+4x43+6x44+--+2(n-l)-4"+2n-4"+l,相减得，-3S„=2x4l+2x42+2x43+---+2x4n-2n-4n+l,19.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2s=-6丽.及，作AB±AD,使得四边形4BCC满足NACO=(,AD=6

⑴求NB；（2）设NBAC=。，BC=/（e）,求函数的值域.24【答案】（1）8=与⑵（。，2）【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入2s=-行而•及计算可得2x—acsinB=-\[?>accosB,化简即可得解；2jr 7T（2）首先找到各个角之间的关系，ZCAD=--0,ZCDA^0+-,再由正弦定理可2 6得AC=3啜黑°=2sin伍+外再在三角形ABC中，由正弦定理得=等,sinZACDV6J sinBsin。所以8c=黑，=爰5吊（。+看卜血利用三角函数求最值即可得解.【详解】⑴由2s=-J5丽・册，可得Zx^acsinBu-GaccosB,即sinB=-6cosB,可得tanB=-6,因为8€（0,左），所以8=因为8€（0,左），所以8=半，AC在三角形A。中,由正弦定理得尚而AD

sinZACD可得AC=ADsinZADCsinZACD在三角形神中，由正弦定理得焉二签AC-sin042sin在三角形神中，由正弦定理得焉二签AC-sin042sin(6+：卜in6=-^(sincos20)+1=^sin[^20-y^+l,•sin。因为。＜04，可得一代＜2。-工（工，TOC\o"1-5"\h\z3 33当2。一工=工时，即。=工，33 3可得毡sinC+l=2,3 3TT7T当2。一生=-二时，即。=0,可得苧sinf1=0,所以/（。）的值域为（0,2）.20.如图所示，已知矩形4BC。和矩形AOEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线8。，AE上异于端点的动点，且BM=4V.（1）求证：直线MV〃平面CCE；（2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值.【答案】（1）证明见解析⑵华【分析】（1）根据边对应成比例，可证明平行四边形，进而可得线线平行，即可求解.（2）根据空间中两点距离公式，可得线段MN的最小值，进而根据空间向量，求平面法向量,进一步可求解.【详解】（1）过N作与ED交于N'点,过”作W〃A。与CO交于AT点，连接MW.由已知条件AD=2AF=2AB=2.可知矩形ABCD与矩形ADEF全等.VBM=AN,AE=BD,NN'//AD//MM'.NN'_AE-AN_BD-BMMM'_MM',,AO—AE一BDBCAD：.NN'=MM'又MV，〃AD〃MW',则四边形MNN，AT为平行四边形，所以MN〃N'M;MNN平面CDE,MNu平面CDE,二MN〃平面CDE.(2)由平面ABC£)_L平面ADEF,平面ABCDCl平面ADEF=AD,又AFu平面AOE尸，AFLAD,."尸"L平面ABC3.以4为原点，分别以48,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,过M点作MG_LAO,垂足为G,连接NG,易知NG_LAO,设AG=a(O<a<2)可知当。=1时，MN长最小值为变2此时历［；［,())，N„,又4(0,0,0),3(020),AM设平面AMN的法向量为川二(x，y,zj,比.AM比.AM=0in-MN=0可得,1-］芭 =0u令玉=2,可得加=(2,-1,2)设平面MNO的法向量为〃=(%,%/2)，n-DM=0n-MNn-DM=0n-MN=02可得1令马二2,可得3=(2,1,2)tnn・.cos〈肛ri)|=।.，।=tnnHtI：•sin(m：•sin(myn)=4V2则二面角A-MN-D的正弦值为逑.21.已知在A4BC中，8（-2,0）,C（2,0）,动点A满足=26，ZABC>90°,AC的垂直平分线交直线AB于点P.（1）求点尸的轨迹E的方程；（2）直线x=m（机>6）交x轴于。，与曲线E在第一象限的交点为Q,过点。的直线/3与曲线E交于M,N两点，与直线x=一交于点K,记QM,QN,QK的斜率分别为尤，k»勺，①求证：勺卢是定值.②若直线/的斜率为1,问是否存在力的值，使匕+&+勺=6?若存在，求出所有满足条件的机的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）.-尸=1卜>6）⑵①证明见解析；②存在；1n二巫2【分析】（1）利用几何知识可得|尸网-归4=26<忸。，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求占，k2,k},利用韦达定理证明；②根据①结合题意求。的坐标，代入双曲线方程运算求解.【详解】（1）：NBAC>90。，：.AC的垂直平分线交BA的延长线于点P.连接PC,则|PC|=|B4|,：.\P^-\PC\=\PB\-\PA\^\A^=2y[3<\BC\,由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以B（-2,0）,C（2,0）为焦点，实轴长为2石的双曲线的右支（右顶点除外），c=2,a=>/3,则-a2=1».•.E的方程是^--/=l（x>>/3）.（2）①证明：由已知得。（八O）, 满足胃x=ty+m联立,X22J' y=13”2mtk %一%1Xj-m ty{同理—;嚷,/+网=2,对x="+机，令》=1mtmJh+k2=2%,1一2是定值②假设存在m的值由①知，K+匕=2则用+&+%=3kA~:.《3=2,直线QK的方程为J令工二3，m得％=2（，—m）+直线/的斜率为1,3令％=一,得人=-m：・2（3一m]+）,0=-._ 3・・%=m ,m代入三一y：=i，彳纵J—3）y2+2/n<y+"/-3=0,m2-3心=产_3，_=1_A，小JL+_l]=2_2k.x+g="®4^=2（1+-^]，iy2）tty%ttm2-3 m2-3）3俎 3-疝m tmITT-3k->，1+tm_my0.1L 3 -33+〃m m使勺+&+&=6勺，：6,^-y0=2（x-m）,%;直线/的方程