2022届中考数学压轴题押题含答案解析

2022年中考数学压轴题1.如图①，在锐角△48C中，AB=5,tanC=3. 于点D,BD=3,点尸从点/出发,以每秒1个单位长度的速度沿48向终点8运动.过点P作PE〃4C,交BC于点、E,以PE为边作RtZXPE尸，使NE/N=90°,点尸在点尸的下方，S.EF//AB,设/\PEF与△4BD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S>0）,点P的运动时间为“秒）（f>0）.（1）求线段1C的长.（2）当APE尸与△480重叠部分图形为四边形时，求S与，之间的函数关系式.（3）若边EF与边AC交于点、Q,连接尸。，如图②.①当尸。将尸的面积分成1：2两部分时，求力尸的长.②直接写出PQ的垂直平分线经过△XBC的顶点时/的值.解：(1)在RtZXBZJC中，tanNC=^=3,,:BD=3,：.CD=\,在RtZ\48O中，由勾股定理得：AD=>JAB2-BD2=V52-3Z=4,.'.AC=AD+CD=4+l=5；(2)由题意得：AP=t,当E尸经过点。时，如图2,\'PE//AC,EF//AP,四边形PADE是平行四边形，：.DE=AP=t,"：AB=AC=5,：.Z.C=Z.ABC,•：EF//AB,NABC=4DEC,

・•・ZD£C=ZC,:.DE=DC,t=1；①当0«1时，如图3,△尸£尸与△N8O重置部分图形的面积为四边形尸GO”的面积,VZ£PF=90°,PE//AC,：.ZPGC=90°,■:BDLAC,：.ZADB=90°,:./ADB=NPGC=/EPF=9G,・•・四边形PG。〃是矩形，pnpr在RtZX/PG中，&11/4=器=常，e3_P£.•二=»5t：.PG=y,，/G=y,4t:・GD=AD~AG=4—:，:・S=S矩形尸go〃=0G・GO=笄（4—,）=—黄乎+等亡；②当尸在/C边上时，如图4,4 4AF=gZ,CF=5—百/由£F=C/得：（=5—*25'=T；25当§士《5时，如图5,△「£尸与△力5。重叠部分图形的面积为四边形尸户HG的面积，♦：PE〃AC,:.△BPGs^BAD,.P£PG•.=,ABAD.PG5-t•.—>4 5

4・PG=g(5-t),:PE=PB=5-t,：.GE=5-t-^(5-t)=|(5-Z),:EF〃AB,:・/EHG=NABD,：.tanZABD=tanZEHG=粽=*.4亏―GH'3：.GH=^(5-/),4 5—r同理得：T=3PFPF=3(：力,T,:.S=S标%pfhg=3(GH+PF)•尸G=/扁(5-/)+1(5-z)]-1(5-r)=£(5-f)18180 Of-(3)①PE=BP=5-t,尸产=式5—亡)，PG=y,当当S&PQF：S^PQE=1：1 3*5T)* 2即i 3 =：，2(5T)N(5T)3当S^pqf：S〉pqe=2：什Sapqe22时'百=『解得：=弃4P4,Sapqe_1'S^PEF3'TOC\o"1-5"\h\z1 71即1 3 =；，E(5T>w(5T)3L *r则AP的长是蒋或意:②分两种情况：/）当尸0的中垂线过点4时，如图7,即4E是尸。的中垂线,•••四边形PAQE是平行四边形,AELPQ,...口以便是菱形,

:・PE=PA,•\/=5-t,ii)当PQ的中垂线过B时，如图8,连接£0,贝I尸8=8。=5-人•:CQ=EQ=t、：.QD=CQ-CD=t-1,在RtZk800中,32+(r-1)2=(5-/)2,解得：仁竽，515综上所述，夕。的垂直平分线经过△ABC的顶点时f的值是［或LO

B图5图4

BSi2.等腰△8CD中，NDC8=120°,点£j^^£NDEC=60°.(1)如图1,点E在边80上时，求证：ED=2BE；(2)如图2,过点5作。E的垂线交OE的延长线于点尸，试探究QE和EF的数量关系,并证明；(3)若NDEB=15O：直接写出8£,DE和EC的关系.(1)证明：如图1中,图1•・,等腰△BCO中，NOC8=120°,:・BC=CD,・・・NB=ND=30°,•：NDEC=60°=NB+/ECB,:・/ECB=30°,:,BE=CE,△OEC中，ZDC£=180°-30°-60°=90°,VZD=30°,：・ED=2EC,:・ED=2BE；(2)解：结论：DE=2EF.理由：如图2中，作OHJ_EC交EC的延长线于“，连接VZ£)//£=90°,NDEH=60°,：.ZEDH=30°,■:CD=CB,ZBC£>=120°,:・/CBD=/BDC=30°,:・NBDC=/EDH,:・/BDF=/CDH,•；BFtDF,:・/BFD=NH=90°,：・4DFBsRDHC,.DBDF••=,DCDH.DBDC•—，DFDH：/BDC=NFDH,：・ABDCs/\FDH,；・/DBC=NDFH=30°,:NDEH=NEFH+NEHF=60°,:・/EFH=NEHF=3G,:.EF=EH,在RtADEH中,•:/EDH=30°,:・DE=2EH,：.DE=2EF.(3)解：结论：B#=ED,EC.理由：如图3中，图3ZBED=\50°,ZDEC=60°,：.ZBEC=3600NBED-NDEC=360°-150°-60°=150°,:・/BED=/BEC,：・/EBD+NEDB=3G0,•:/EBD+/EBC=3G0,・•・/BDE=/EBC,:.XDEBsRBEC,・DEBE

•• - 1BEEC：.BE2=DE'EC.3.如图，在RtA48C中，N/C8=90°,以斜边上的中线CD为直径作O。，与8c交于点M,与48的另一个交点为E,过M作A/N_L/8,垂足为M(I)求证：A/N是。。的切线；(2)若OO的直径为5,sin8=工，求£7)的长.3•：OC=OM,：.ZOCM=ZOMCf在RtZ^ZBC中，CD是斜边45上的中线,:・CD=3AB=BD,：./DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：.OM//BD,:MN上BD,：・OMLMN,OM过。，・・A/N是OO的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2・・。。是OO的直径，；・NCED=90°,ZZ）A/C=90°,BPDMVBC,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,•・〃为BC的中点，3VsinB=引4/.cos8=耳,在 中，BM=BD・cosB=4,・・・8C=28M=8,Q9在RtAC£5中，BE=BC'cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=考-5=g.4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点/,B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点48之间的优弧上，NMPN=80°,求N4C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，NNP8的度数应为多少？请说明理由：（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.M图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接04OB,M图1'：PA,尸8为。。的切线，:.NPAO=NPBO=90°,•.•N4P8+NHONP80+408=360°,尸8+408=180°,VZJP5=80",，NZ08=100°,AZACB=50°:(2)如图2,当4P8=60°时，四边形/P8c是菱形,连接04OB,由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,VZJP5=60°,.♦.408=120°,：.ZJCB=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，'：PA,尸8为。。的切线，：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgdBPC(SAS),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZJPC=ZJCP=30°,：.AP=AC,:・AP=AC=PB=BC,・・・四边形ZP8C是菱形；(3)・・・。。的半径为八：,OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-N力尸0=60°,而的长度=6：M=^r,low3...阴影部分的周长=%+PO+丽=百出+枭=(V3+l+^)r.5.如图，均为。。的切线，PBC为。。的割线，尸于点O,△4OC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD."：OALAP,AD^OP,由射影定理可得：PA2=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB'PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）NPDB=NPCO=NOBC=ZODC,NPBD=Z.COD,:.△PBDsRcOD,PDBDCDPDBDCD-OD…(15分)：.BD'CD=PD-OD=AD1,.BDAD・・布=击又NBDA=NBDP+%°=NODC+90。=/ADC,:ABDAs△ADC,:・/BAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圆的切线，:・NBAE=/ACB.6.如图，点/为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y=1x2于尸，0两点.（1）求证：NABP=NABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且N尸8。=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线P。的函数解析式为夕=6+3并设尸，。的坐标分别为（.xp,yp）,Cxq,yo）.由仅=々X+tx—kx—t=0,于是Xp%q=-2 即t=-^xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2r2 2日BC yP+t /jXp2—xPXQ -Xp(xp-XQ) XpJ7-ti- =2 =2 2 =2 =-*'BD %+t -%Q24-t ^XQ2--XpXQ -xq(xq-xp) xqPC孙BCPC又因为 =——»所以 = .QDxQBDQD因为NBCP=NBDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故N4BP=N4BQ；（2）解：设尸C=a,DQ=b,不妨设a2b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4C=8q-2,AD=2-y[3b.因为尸。〃。0,所以△4CPs44O0..口PCACn