2022-2023学年南京市高二下期中考试数学模拟试卷及答案

2022-2023学年南京市高二下期中考试数学模拟试卷一.选择题（共8小题）（2020春•鼓楼区校级期中）若A=20,则〃的值为（）nTOC\o"1-5"\h\zA.2 B.3 C.4 D.5（2020春•鼓楼区校级期中）若kF-x-12。恒成立，则实数%的取值范围是（ ）A.（-8,1]B.（0,1] C.（0,+8） D,[L+8）（2021春•南京期中）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）A.60 B.125 C.240 D.243（2021•沂水县校级模拟）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史"，“几何原本"，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）A.60种 B.78种 C.84种 D.144种（2021•连云港一模）定义方程/（x）=f（x）的实数根xo叫做函数/（x）的“保值点”.如果函数g（x）=》与函数〃（x）=ln（x+1）的“保值点”分别为a,p,那么a和。的大小关系是（ ）A.a<p B.a>p C.a=p D.无法确定（2021春•秦淮区校级期中）如图，空间四边形048C中，区*=二瓦点=%,~QC=~C'点M为。/的中点，点N在线段8c上，且CN=2NB,则而（ ）ItIt,1字，2TB. bH C3 2 3ItA. Q 02 3TOC\o"1-5"\h\zc.——a bH c d. oH bH c3 2 3 2 3 35（2021春•盐城期中）设随机变量X〜8（2,p）,若P（x<1）=一，则E（X）=（ ）9\o"CurrentDocument"2 1 4A.— B.— C.— D.13 3 3（2021春•鼓楼区校级期中）有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋友至少获得一件，共有（ ）种不同的分法.A.72 B.36 C.24 D.12二.多选题（共4小题）（多选）9.（2021春•兴化市校级期末）若复数z满足（z+2）i=3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A.z的虚部为3 B.|z|C.z的共物复数为2+3i D.z是第三象限的点（多选）10.（2021春•南京期中）已知函数/（x）的导函数，（x）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A.函数在x=l处取得极大值B.函数/（x）在x=-1处取得极小值/（x）在区间（-2,3）上单调递减/（x）的图象在x=0处的切线斜率小于零（多选）11.（2020春•连云港期末）为弘扬我国古代的“六艺文化"，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.贝！I（ ）A.某学生从中选3门，共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D.课程“乐"不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法TOC\o"1-5"\h\z（多选）12.（2020秋•襄阳期中）己知函数/（x）=-j^+Zx2-x,若过点尸（1,/）可作曲线y=/（x）的三条切线，贝h的取值可以是（ ）1 1 1A.0 B.—— C.—— D.——27 28 29三.填空题（共4小题）（2020春•鼓楼区校级期中）六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.T 1（2021春•南京期中）已知/（A）=zeH he.g（x）=-x2-2x-1+a,若存在eX1GR,X2G（-1,+8）,使得/（XI）＜g（X2）成立，则实数a的取值范围是.（2021春•盐城期中）从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为:（2021春•鼓楼区校级期中）（3-2r）（x+1）5展开式中含x?项的系数为.四.解答题（共6小题）（2020春•鼓楼区校级期中）设复数zi=2-山（a6R）,Z2=4-3i.（1）若Z[+Z2是实数，求Z1・Z2；（2）若三是纯虚数，求的共枕复数.Z（2021春•南京期中）10件不同厂生产的同类产品：（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？（2021•香洲区校级模拟）已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且S〃=2斯-1,w€N”.数列步〃｝是公差大于0的等差数列，历=。3,且b”b2,以成等比数列.（1）求数列｛如｝和出“｝的通项公式；（2）若北=。仍1+。2b2+。3的+,•♦+an-ibn-i+anbnT求力＞.*r»y(2021春•秦淮区校级期中)已知椭圆E：——h/-=l(a>b>0邢］离心率为一，ab 2兀过椭圆的左、右焦点尸2分别作倾斜角为一的两条直线，且这两条直线之间的距离为3方.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过尸2与坐标轴不垂直的直线/与椭圆交于/，8两点，过点Z作与x轴垂直的直线与椭圆交于点。，求证：直线。8过定点.(2021春•盐城期中)已知函数f(x)=lnx-加/+(1-2m)x+1.(1)若m=l,求/(x)的极值；(2)若对任意x>0,f(x)W0恒成立，求整数机的最小值.(2021春•鼓楼区校级期中)(1)已知(/Z+—)”的展开式中，第6项与第4项的7& 2X二项式系数之比为21：10.①求〃的值；②求展开式的常数项，并写出展开式中二项式系数最大的项是第几项？(2)求和：C1+2C2+3C3+—+ACk+-+mCn.nnn n n2022-2023学年南京市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析选择题（共8小题）（2020春•鼓楼区校级期中）若A=20,则〃的值为（ ）nA.2 B.3 C.4 D.5【考点】排列及排列数公式.【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算.【分析】根据排列数的公式直接计算即可.【解答】解：因为A=n（n-1）=20；解得：n—5故选：D.【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目.（2020春•鼓楼区校级期中）若A/-X-120恒成立，则实数%的取值范围是（ ）A.（-8,1]B.（0,1] C.（0,+8） D.[1,+8）【考点】利用导数研究函数的最值.【专题】转化思想；分析法：构造法；导数的综合应用.【分析】化简不等式，利用构造法，结合函数的导数，求解函数的最值，然后求解人的范围即可.【解答】解：由题意得k之一!―恒成立，就是人大于等于表达式的最大值；XeTOC\o"1-5"\h\zI+1 x令g（B）= ，g'（T）=―二=0，解得x=0,\o"CurrentDocument"X Xe e当x>0,g'（x）<0,函数是减函数，当xVO时，g'（x）>0,函数是增函数，则X=0,g（X）max=g（0）=1,故心1.故选：D.【点评】考查恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于基础题.（2021春•南京期中）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）A.60 B.125 C.240 D.243【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法：排列组合；数学运算.【分析】根据题意，分析可得每位同学有3种选择，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每位同学有3种选择，贝IJ5名同学有3X3X3X3X3=243种选择，故选：D.【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数的区别，属于基础题.（2021•沂水县校级模拟）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）A.60种 B.78种 C.84种 D.144种【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题：转化思想：转化法；排列组合：数学运算.【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4四门选修课程为3组，②将分好的三组安排在三年内选修，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将4四门选修课程分为3组，若分为2、1、1的三组，有C4?=6种分组方法，C1若分为2、2、0的三组，有—=3种分组方法，若分为3、1、0的三组，有C43=4种分组方法则一共有6+3+4=13种分组方法，②将分好的三组安排在三年内选修，有433=6种情况，第6页共21页则有13X6=78种选修方式，故选：B.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.(2021•连云港一模)定义方程/(x)=/(x)的实数根xo叫做函数/(x)的“保值点”.如果函数g(x)=》与函数力(x)=ln(x+1)的“保值点”分别为a,p,那么a和。的大小关系是( )A.a<p B.a>p C.a=p D.无法确定【考点】对数函数的图象与性质.【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.【分析】根据新定义，求出方程g(x)=g'(x)与h(x)=h'(x)的实数根a,p,然后利用反证法进行判断求解即可.1【解答】解：由题意可得，g'(x)=1,f(x)= 1+11所以a=l,In(p+1)= ,3+1i假设则。+1》2,则 <—,3+1—2-11所以历(P+1)= W—=ln3+12所以贝邨<1，这与矛盾故假设不成立，所以故a>0.故选：B.【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题..(2021春•秦淮区校级期中)如图，空间四边形O48C中，瓦彳=二万5=%,~QC=~C'点M为。/的中点，点N在线段8c上，目CN=2NB,则而( )

—a—a b c2 3 3b. a-\ bH c3 2 3TOC\o"1-5"\h\z1—» 2 Itd. a-\ bH c\o"CurrentDocument"2 3 3【考点】空间向量及其线性运算.【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；数学运算. > 1-4 > -4 -» > 1TT【分析】根据条件可得出MA=—a,AB=b—a,BN=—(c—b；，然后代入百方=花彳+彳江十瓦?进行向量的数乘运算即可.【解答】解：；用为04的中点，点N在线段8c上，且CN=2N8,且0A=a,0B=b,0C=C'—OA=—a,AB=0B-0A=b-a2 21TTT1TT—1TTT1TT—a-\-b—a-\ (c—b；TT.2r.It a-\ bH c-2 3 3故选：D.【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题.5.(2021春•盐城期中)设随机变量X〜8(2,p),若P(XW1)=—，则E(X)=( )TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"14A.— B.— C.— D.13 3【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型.【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.5【分析】由随机变量X〜8(2,p),p(%<1)=_,列出方程，解得p,由此能求出9E(X).5【解答】解：•..随机变量X〜8(2,p),P(X<1)=―，9二尸(XWI)=p(x=o)+p(X=1)=c°(l-p)2+c'p(l-p1=—>9解得p=—,3故选：c.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(2021春•鼓楼区校级期中)有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋友至少获得一件，共有( )种不同的分法.A.72 B.36 C.24 D.12【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题：方程思想；转化思想：综合法：排列组合：数学运算.【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4件玩具分成3组，②将分好的3组分给三名小朋友，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将4件玩具分成3组，有C42=6种分组方法，②将分好的3组分给三名小朋友，有433=6种情况，则有6X6=36种不同的分法，故选：B.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题.二.多选题（共4小题）（多选）9.（2021春•兴化市校级期末）若复数z满足（z+2）i=3+4i（,•为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A.z的虚部为3 B.|z|=/宜C.z的共匏复数为2+3i D.z是第三象限的点【考点】复数的运算.【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.【解答】解：；（z+2）i=3+4i,.•.z=2±iL-2=（3+4ihi）—2=2—3i,i -i2虚部为-3,|z|=0g.共施复数为2+33是第四象限点.故选：BC.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.（多选）10.（2021春•南京期中）已知函数/（x）的导函数，（x）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A.函数在x=l处取得极大值B.函数/（x）在x=-1处取得极小值/（x）在区间（-2,3）上单调递减/（x）的图象在x=0处的切线斜率小于零【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.【分析】可借助导函数/(x)的图象判定/(x)>0,f(x)<0的解集，从而确定函数的单调区间及极值，进而得出结论.【解答】解：由导函数/(x)的图象可知，当比(-8,-2)时，/(x)>0；当X6(-2,+3)时，/(x)《0：即函数在(-8,-2)上单调递增，在(-2,+8)上单调递减，故C正确；根据函数极值点的定义，可知，函数在x=-2处取得极大值，故48错误；根据函数导数的几何意义，可知，函数在x=xo处的导数，即为函数在点(xo,/(xo))处的切线斜率，因为/(0)<0,所以函数在x=0处的切线斜率小于0,故。正确.故选：CD.【点评】本题主要考查函数导数的综合应用，属于基础题.(多选)11.(2020春•连云港期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则( )A.某学生从中选3门，共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题：方程思想：转化思想：综合法：排列组合：数学运算.【分析】根据题意，依次分析选项中计算是否正确，综合即可得答案.【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于某学生从中选3门，6门中选3门共有°=2C种，故Z错误；对于8,课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有AA=480种排法，故8错误；对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有AA=144种排法，故C正确：对于。，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有455种排法，若课程“乐”不排在最后一周，有C/C4/44种排法，则共有A-YCCA=504种排法，故。正确.故选：CD.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.(多选)12.(2020秋•襄阳期中)已知函数/(X)=- -X,若过点尸(1,Z)可作曲TOC\o"1-5"\h\z线y=/(x)的三条切线，贝h的取值可以是( )1 1A.0 B.—— C.— D.——27 28 29【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】方程思想：综合法；导数的概念及应用；数学运算.【分析】可设出切点坐标M(xo,川)，求得/(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入(1,力，整理可得2x(/-5xo2+4xo-1-r=0,再借助函数的导数判断单调性与极值，确定其有三个解的条件即可.【解答】解：f(x)=-4+2X2-x的导数为，(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1).设切点为M(xo，jo)，可得切线的斜率为k=-3xo2+4xo-1,切线的方程为y-yo=(-3xo2+4xo-1)(x-xo)>即y-(-xo3+2xo2-xo)=(-3xo2+4xo-1)(x-xo)，代入(1,1),可得f-(-xo3+2xo2-xo)=(-3xo2+4xo~1)(1-xo),化简整理可得2xo3-5xo2+4xo-1-/=0,过点尸(1,Z)可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数Z所满足的条件.设g(xo)=2x()3_5xo2+4xo-1-6则g'(xo)=6xo2-lOxo+4,2由g'(xo)=0,得xo=—或xo=l,32由g（X0）在（-8, ）,（1,4-00）上单调递增，在（ ,1）上单调递减.32可得g（xo）的极大值点为一，极小值点为1,3f2—则关于xo方程2x（/-5x（）2+4xo-1-，=0有三个实根的充要条件是4 3 ,g（D<0即为彳27 ，—t<01解得o<rv——，27故选：CD.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查转化思想和方程思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题.三.填空题（共4小题）（2020春•鼓楼区校级期中）六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有2同种（请用数字作答）.【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算.【分析】分甲在最右边以及乙在最右边，两种情况分别求解即可.【解答】解：分类讨论，①甲在最右边A=120；②乙在最右边，甲在除了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下四个进行排列c\•A：=96：4 4・••不同的排法共有120+96=216故答案为：216.【点评】本题主要考查排列组合，需要对特殊元素的位置分类讨论，属于基础题.上1（2021春•南京期中）已知1e"H 1-e，g（x）=-x2-2x-1+a,若存在eX1WR,x2e（-1,+8）,使得/（xi）Wg（X2）成立，则实数〃的取值范围是一（e2,十第13页共21页oo)【考点】利用导数研究函数的最值.【专题】转化思想：综合法：函数的性质及应用：导数的综合应用：数学运算.【分析】存在xiCR,X2G(-1,+8),使得/(xi)<g(X2)成立，等价于：xiGR,xiE(-1,+8),使得f(xi)加Kg(X2)加以成立.利用导数研究函数f(x)的单调性，可得函数/(X)的值域：利用二次函数的单调性可得g(X)值域，进而得出结论.【解答】解：存在X16R,x2e(-1,+8),使得/(XI)Wg(X2)成立，等价于：X1GR,X2G(-1,+8),使得/(XI)minWg(X2)wax成立，f(X)=(X+1)，，...函数/(x)在xe(-1,+8)上单调递增，xg(-°°,-1)上单调递减，；.x=-1时，函数/(X)取得极小值即最小值，11,,f(x)习(-1)=--+―+e2=e2.eeg(x)=-X2-2x-l+a=-(x+1)2+a,可得函数g(x)在(-1,+°°)上单调递减，；.g(x)<g(-1)=a.'.e2<a.因此实数a的取值范围是(e2,+°°).故答案为：(/,+8).【点评】本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(2021春•盐城期中)从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次1抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为_—一：2【考点】条件概率与独立事件.【专题】计算题；概率与统计.【分析】记“抽出2张，第一张为奇数”为事件儿记“抽出2张，第2张为偶数”为事件8,计算尸(4B)和P(A)后代入条件概率公式求解可得.【解答】解：记“抽出2张，第一张为奇数”为事件/,记“抽出2张，第2张为偶数”为事件B,TOC\o"1-5"\h\zc\c\ Q a\a\ 3则P(AB)=」一^=f-,P（A）=」_，=则P(AB)A： 10 A； 53则P(5|J)P（AB）10则P(5|J)P（A）2_251故答案为：_L.2【点评】本题考查了条件概率与独立事件，属中档题.（2021春•鼓楼区校级期中）（3-2r）（x+1）5展开式中含x3项的系数为10.【考点】二项式定理.【专题】计算题：对应思想；定义法；二项式定理；数学运算.【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解：（x+l）5的通项公式：Tr^\=W，令r=3,或/*=2,（3-2x）（x+1）5展开式中含一项的系数3c53-2C5』30-20=10.故答案为：10.【点评】本题考查了二项式的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.四.解答题（共6小题）（2020春•鼓楼区校级期中）设复数zi=2-山（a€R）,z2=4-3i.（1）若Z1+Z2是实数，求Z「Z2；（2）若三是纯虚数，求zi的共规复数.Z【考点】复数的运算.【专题】对应思想；定义法：数系的扩充和复数：数学运算.【分析】（1）由已知求得。，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z「Z2；(2)利用复数代数形式的乘除运算化简土，再由其实部为0且虚部不为0求得。值，进Z一步得到Z1的共枕复数.【解答】解：(1)zi=2-ai(a€R),Z2=4-3i,・・zi+z2=6-(a+3)i为实数,.\a=-3,：.zrz2=(2+3D(4-3Z)=17+6z；、z2-ai8+3。+(6—4a)iTOC\o"1-5"\h\z(2)——= = ,z4-3i 25.•二是纯虚数，zj8+3a=0 8・( ，即Q= .6—4q¥0 38二z=2 i-3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.(2021春•南京期中)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】排列组合.【分析】(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，问题得以解决.(2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有46?种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，根据分步计数原理可得.【解答】解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有加4=1680(种).(2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有46?种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有种方法，共有462484=50400(种).【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题.(2021•香洲区校级模拟)已知数列｛斯｝的前“项和为S，且S”=2qh-1,〃WN”.数列出〃｝是公差大于0的等差数列，历=。3,且b”bl，04成等比数列.(1)求数列｛如｝和｛与｝的通项公式；(2)若。,="仍1+42岳+。3历+・•♦+an-\hn.\+anbn，求力;.【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合.【专题】方程思想：作差法；等差数列与等比数列：数学运算.【分析】(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式可得即；由等差数列的通项公式求得首项和公差，可得加：(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和.【解答】解：(1)由％=2斯-1,可得〃=1时，ai=S\=2a\-1,解得ai=l；”22时，an=Sn~Sn.\=2an-1-2an-1+1>化为On=2an-1»则斯=2"%数列也〃｝是公差d大于0的等差数列，由历=。3,可得历=4,由加，bl，成等比数列，可得历2=6104，即有16=8历，即从=2,则d=4-2=2,所以仇=2+2(n-1)=2"；Tn=u\b\+0262+0363+•，,+an-\bn-\+anbn=1*2+2*2^+3*2^+...+n*2n>2Tn=\-22+2•23+3•24+...+w2n+l,上面两式相减可得-Tn=2+22+23+24+...+2n-W2n+I,2(1-2°)

化简可得Tn=2+（n-1）•Z"+'.【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.XV（2021春•秦淮区校级期中）已知椭圆E： |~乙=l（a>b>0的离心率为一，ab 27t过椭圆的左、右焦点/I，尺分别作倾斜角为一的两条直线，且这两条直线之间的距离为3后（1）求椭圆E的标准方程；（2）过尸2与坐标轴不垂直的直线/与椭圆交于48两点，过点4作与x轴垂直的直线与椭圆交于点。，求证：直线08过定点.【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程.【专题】方程思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】（1）由两条直线的距离可得sinE=4W=渔，解得c,由离心率公式和a,32c2b,c的关系，解得a,b,可得椭圆方程；（2）设4（xi，yi）,B（X2，J2），直线/的方程为x=my+l,则0（xi，-ji）,与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得直线。8的方程，由直线恒过定点的求法，可得结论.X【解答】解：（1）因为过椭圆E的左右焦点的倾斜角为——3所以sin-±=-^亘=口@,所以c=l,32c21 =—»解得。=2,1 =—»解得。=2,a2又因为椭圆的图心率为e——=a\\o"CurrentDocument"2 2nry所以椭圆的方程为——■+/一=1;4 3（2）证明：设彳（xi，y\）,B（X2，”），直线/的方程为 ,则0（xi，-yi）,因为直线/与坐标轴不垂直，

y+y所以直线QB的方程为八yi=—! —(x-Xi),叼一、匚“、1+力 叼当+%力 ％+为 2my1y2+y1+y2吃一吃x2~xi m(y2-yl)m(y2-yl)(2 2xy 1 cr由<4 3 ，可得(4+3加2)丁+6叩-9=0,x=my+1TOC\o"1-5"\h\z「一 6m 9所以6取=- ,巾”=- ，3m2+4 3m2+46所以y= (x-4),(3/+4)仇-力)所以直线。8过定点(4,0).【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.(2021春•盐城期中)已知函数/(x)=阮「加+(1-2m)x+1.(1)若m=l,求/(x)的极值；(2)若对任意x>0,/(x)<0恒成立，求整数机的最小值.【考点】利用导数研究函数的最值：利用导数研究函数的极值.【专题】函数思想；参数法；导数的综合应用；逻辑推理.【分析】(1)当加=1时，f(x)=lnx-x2-x+1.对/(x)求导，分析导数的正负，f(x)的单调性，进而得出/(x)极值.+8)上恒成立.设Inn?+x+1(2)根据题意问题可以转化为m2 +8)上恒成立.设x-\-2x，几①①+1F(1)= ,对F(x)求导，分析F'(x)的正负，F(x)的单调性，只x-\-2x需推出mN(尸(x))即可.【解答】解：(1)当加=1时，/(x)=Inx-x2-x+1产的——2-=—S+D(2,7X X

当OVcV」■时，f(x)>0,则/(X)在(0»—，上单调递增;TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2当 —时，f(x)<0,，则