2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）

专题1.29《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）

（专项练习）一、单选题.如图，菱形O4BC的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3,4）.将菱形OABC绕点。逆时针旋转，每次旋转90°,则第2022次旋转结束时,点B的坐标为（A.（-8,-4）B.（-9,-4） C.（-9,-3） D.（-8,-3）.如图，在边长为4的菱形A8CO中，ZABC=60°,将aAB。沿射线8力方向平移,得至ibEFG,连接EC、GC.则EC+GC的最小值为（ ）A.26 B.473 C.2瓜 D.476.如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,四边形OA8C是菱形，NAOC=60。,以08为边作菱形OBBG，使顶点用在OC的延长线上，再以。片为边作菱形OB/26，使顶点当在oq的延长线上，再以O打为边作菱形OB/jG，使顶点4在OG的延长线上，按照此规律继续下去，则8畋1的坐标是（A.(-3,0",0)A.(-3,0",0)C.(-(6严',0)2 2铲237011D.(---,—)2 2

4.如图，点H,尸分别在菱形A8CO的边A£>,8c上，点E,G分别在84,0c的延长线上，且A£=A7/=CG=C。连结E”，EF,GF,GH,若菱形ABCD和四边形EFGHAUTOC\o"1-5"\h\z的面积相等，则黑的值为（ ）ADA.； B.立 C.@ D.12 2 25.如图，矩形ABCQ中，AB=8,40=4,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为OF中点，连接尸8,则PB的最小值是（ ）A.4 B.8 C.4夜 D.2&.如图，在矩形ABC。中，AB=\,AO=6，。是对角线的交点，过C作CE_LB£>于点E,EC的延长线与Nfl4£>的平分线相交于点“，A4与BC交于点F.给出下列四个结论：①A尸=尸〃；②BF=BO；®AC=CH；④8E=3OE.其中正确结论有（ ）.A.1个2A.1个2个3个4个.如图，四边形4BC。是矩形纸片，AB=6,对折矩形纸片4BCQ,使AO与8c重合，折痕为EH展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在E尸上的点N,折痕为8M,再次展平，连接8N,MM延长MN交BC于点G.有如下结论:①NABN=60。；②AM=3：③△BMG是等边三角形；④EN=30；⑤P为线段BM上一动点，”是线段BN上的动点，则PN+P”的最小值是域.其中正确结论有（ ）A.①②@（§） B.（D@③④ c.（D@④⑤ D.①②③.如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点8落在8上的点M处，折痕为AP;再将△2•，△/WAf分别沿PM,AM折叠，此时点C,。落在4P上的同一点N处.下列结论不正确的是（ ）A.例是8的中点 B.MN±APC.当四边形APCZ）是平行四边形时，AB=®ND.AD//BC.如图，在△ABC中，ZACB=90°,分别以4C,8c为边向外作正方形ACCE与正方形8CFG,，为EG的中点，连接FH.记△尸G”的面积为S/,△8”的面积为52,若Si-S2=6,则4B的长为（TOC\o"1-5"\h\zA BA.276B.3& C.3百 D.4近.如图，正方形ABC。边长为4,点E是CO边上一点，且NABE=75。.P是对角线8。上一动点，则+的最小值为（ ）A.4 B.4夜 C.&+「 D.72+76.如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片A3CD的顶点A的坐标为（-1,3）,在纸片中心挖去边长为0的正方形AgCQi，将该纸片以。为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45。，则第298次旋转后，点C和点用的坐标分别为（ ）A.(-3,-1),(1,0) B.(-3,-1),(0,-1)C.(3,I),(0,-1) D.(3,1),(1,0).如图，将正方形纸片4BCC沿方折叠，使点8落在AO边的点P处（不与点A,点。重合），点C落在G点处，PG交DC于点H,连接BP,BH.BH交EF于点M,连接TOC\o"1-5"\h\zF） 5PM.下列结论：①P8平分NAPG；②P〃=AP+CH； ④若BE=-,AP=\,2 3则S-BEPM=g■，其中正确结论的序号是（ ）

A.①②③④ B.③ C.(D@④ D.①②④二、填空题.如在菱形ABC。中，BC=2,ZC=120°,E为A8的中点，P为对角线30上的任意一点，则A4+PE的最小值为..如图，已知aABC中，AB=AC=5,BC=8,将aABC沿射线BC方向平移机个单位得到")£尸，顶点A,B,C分别与O,E,F对应，若以4,D,E为顶点的三角形是等腰三角形，则根的值是..如图，在菱形ABC。中，ZABC=\20°,对角线AC、8。交于点O,BD=4,点E为。。的中点，点尸为AB上一点，且AF=3B凡点P为AC上一动点，连接尸£、PF,则.如图，在菱形ABC。中，NBAD=60。，点E在边BC上，将△A8E沿直线AE翻折180°,得到△ABE,点8的对应点是点Q.若BE=2,则8夕的长是.

D.如图，在矩形ABC。中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到A4庄,点F在矩形ABCO内部，延长A尸交CC于点G,AB=3,AD=4.当点E是BC的中点时，线段GC的长为；点£在运动过程中，当ACFE的周长最小时，BE的长为..如图，在等腰RhABC中，CA=BA,NC4B=90。，点M是48上一点，点尸为射线C4（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点。，若AM=1,BA/=3,ACPD的面积的最小值为..如图，在四边形A8C7）中，ABLBC,AD1,AC,AD=AC,NBAO=105。，点E和点F分别是4c和CQ的中点，连接BE,EF,BF,若CO=8,则aBEF的面积是..如图，点E是矩形ABCD的边A8的中点，点P是边AO上的动点，沿直线PE将

△APE对折，点A落在点尸处.已知AB=6,AD=4,连结CF、CE,当ACEF恰为直角三角形时，AP的长度等于..如图，在正方形ABCC中，E、尸分别是边BC、8上的点，ZEAF=45°,△ECF的周长为8,则正方形A88的边长为..如图，R/aABC中，ZABC=90°,ZC=30°,钻=1,点。为AC边上任意一点,将沿B£＞折叠，点C的对应点为点E,当NAOE=30。时，CO的长为..如图，正方形ABCD的边长为4,E,F,”分别是边BC,CD,A8上的一点,将正方形ABC。沿7折叠，使点。恰好落在BC边的中点E处，点A的对应点为点尸，则折痕F”的长为.

.图，正方形ABCD的边长为6,点E,尸分别在边AB,BC上，若尸是BC的中点,ZED尸=45。，则DE的长为.三、解答题4.直线y=-§x+4与x轴交于点A,与丁轴交于点8,菱形A8c。如图放置在平面直角坐标系中，其中点。在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C,交x轴于点E.（1）请直接写出点C,点。的坐标，并求出加的值；（2）点P（（V）是线段上的一个动点（点「不与。、B重合），经过点尸且平行于x轴的直线交A8于交CE于M当四边形NEDW是平行四边形时，求点尸的坐标：（3）点P（0/）是＞轴正半轴上的一个动点，。是平面内任意一点，，为何值时，以点C、。、尸、。为顶点的四边形是菱形？.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，A,8两点的坐标分别为40,。)，点B(b,0),且a.b满足:b+4=Va-4+>/4-a.点C与点B关于y轴对称，点P,点E分别是x轴，直线A8上的两个动点.(1)求点C的坐标；(2)连接R4,PE.①如图1,当点P在线段8。(不包括8,。两个端点)上运动，若VAPE为直角三角形，尸为R4的中点，连接EF,OF,试判断所与QF的关系，并说明理由；②如图2,当点P在线段OC(不包括O,C两个端点)上运动，若V"E为等腰三角形，M为底边AE的中点，连接MO,请直接写出与QM的数量关系..操作与证明：如图1,把一个含45。角的直角三角板EC厂和一个正方形A8C。摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、尸分别在正方形的边CB、CD上，连接AF;取AF中点M,EF的中点N,连接MO,MN.(1)连接AE,求证：ZkAEF是等腰三角形；猜想与发现：(2)在(1)的条件下，请判断M。、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1：DM、MN的数量关系是:结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：(3)如图2,将图1中的直角三角板EC尸绕点C顺时针旋转180。，其他条件不变，贝IJ(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.A 。 / D28.正方形ABCD的边长为6,点、E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点,过点⑴如图1,若BE=DF,求证：四边形AEGF是菱形;(2)如图2,在(1)小题条件下，若NEAF=45。，求线段。尸的长；(3)如图3,若点尸运动到DF=2的位置，且NE4尸依然保持为45°,求四边形AEGF的面积.参考答案A【分析】过点A作AEJ_OC于E,设第一次旋转点8的对应点为8/,作B/RLy轴于凡利用全等三角形的性质求出的坐标，根据循环性规律，得出第2022次旋转结束时，点B的坐标即可.解：过点A作AELOC于E,设第一次旋转点8的对应点为8/,作B//，），轴于尸，••,点4的坐标为（3,4）,OA=\lAE2+OE2=5'•.•菱形048c的顶点O与原点重合，AAB=OA=5,AB//OC,.,.点8的坐标为（8,4）,延长BA交y轴于“，:.BHLOF,:.NBHO=NBiFO=90。,'：ZBOB1=90°,ZBOH+ZFOBi=90°,ZBOH+ZOBH=90°,：.ZFOBi=ZOBH,'：OBi=OB,：AOBH沿4OBF,；.F8产OH=4,FOi=BH=S,8/的坐标为（48）；同理可求，第二次旋转点B的坐标为（-8,-4）,第三次旋转点8的坐标为（4,-8）,第四次旋转点8的坐标为（8,4）,四次一循环，V2022-4=505 2,故第2022次旋转结束时，点8的坐标（-8,-4）,故选：A.【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标变换，解题关键是熟练运用相关性质求出变换后点的坐标，发现规律求解.B【分析】连接AE,作点。关于直线AE的对称点”，连接OE,DH,EH,AH,CH.由平移和菱形的性质可证明四边形COEG为平行四边形，即得出HE=CG,从而可存出EC+GC=EC+HE>CH,即C”的长为EC+GC的最小值.最后根据等边：:角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可.解：如图，连接AE,作点。关于直线AE的对称点”，连接DE,DH,EH,AH,CH.由平移的性质可知AB=EG,AB\\EG.•.•四边形ABCO为菱形，AAB=CD,AB||CD,ZADB=ZABD=AABC=30°,:.CD=EG,EG//CD,/.四边形CDEG为平行四边形，：.GC=DE.由轴对称的性质可知=NDAE=NHAE,AH=AD,・•・HE=CG,，EC+GC=EC+HE>CH.即C”的长为EC+GC的最小值.VAB=EG,AB\\EG,...四边形ABGE为平行四边形，AE//BG,：.ZEAD=ZADB=30°,：.NHAD=2ZEAD=60°,•••血比为等边三角形，:.DH=AD=CD=4,ZADH=60°,：.NCDH=2ZADH=120°,二NHCD=30°,即△CD”为顶角是120。，底角为30。的等腰三角形，结合含30。角的直角三角形和勾股定理即可求C”=2x@CC=2x@x4=4>/L2 2故选B.【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30。角的宜角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强,为选择题中的压轴题.正确的作出辅助线是解题关键.A【分析】连接AC、BCh分别交08、OBi于点D、D1,利用菱形的性质及勾股定理即可得08的长，进一步在菱形088/。计算出过点8/作8/M_Lx轴于M,利用勾股定理计算出BiM,OM,从而得8/的坐标，同理可得比，B},B4,&,瓦，B7,Bs,Bv,Bio,Bn,8/2,根据循环规律可得出02/的坐标.解：如图所示，连接AC,BC,分别交08,。与与。、D、,•••点A的坐标为（1,0）,：.OA=\,:四边形OA8c是菱形，N4OC=60。，：.OC=OA=1,OB=2OD,NCOC=30°,ZCDO=90°,：.CD=-OC=-,2 2/.08=6,VZAOC=60°,AZB/OC/=90o-60o=30°,•••四边形088/。是菱形，NC\D、O=90°,OCX=OB=&OB]=2ODt,在/?/△OCiDi中CR=goC、=今,,*•。5= - =|>：.OBi^2ODi=3,过点8/作8/M_Lx轴于点M,在R/AOMBi中，。仞=1。瓦=之2 2..B,A/=^32-（j）2=|x/3同理可得员（0,3力）,仄（一小券），公（-|,竽），B5（-27,0）,B吟-哈,W%喳中。",&苧-苧），匹与，-亭），%（729,。），口,729』729、，12（ 7 »_），2 2由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的G倍即O纥=（6）”“，72021-12=168 5,••.82027的纵坐标符号与&的相同，则&02/在y轴的负半轴上，又O%1=（G严=¥°"二8202/的坐标为（-3叫0）,故选A【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键.D【分析】根据题意先证四边形EFG"是平行四边形，由平行四边形的性侦求出E//〃AC,进而由面积关系进行分析即可求解.解：连接”C、AF.HF、AC,，尸交AC于。，连接EG.••四边形ABC。是菱形，ND=NB,AB=CD=AD=BC,；AE=AH=CG=CF,：.DH=BF,BE=DG,在△£>，6和48F£中，DH=BF

<ND=NB,BE=DG:ADHGqABFE,：.HG=EF,NDHG=NBFE,,:BC〃AD,：./BFE=/DKF,：.ZDHG=/DKG,：.HG//EF,・・四边形EFG”是平行四边形.VAM=CF,AH//CF,・・四边形AHCF是平行四边形，JAC与”户互相平分，V四边形EFG〃是平行四边形，•・，”与EG互相平分，：.HF,AC.EG互相平分，相交于点0,,:AE=AH,DA=DC,BE//DC,：.ZEAH=ZD,，NAEH=NAHE=NDAC=NDCA,:.EH〃AC,：.S屈EH=SaEHO=SaAHO=!SaAHC=-S西，-EFGH=-S噌中ABCD,2 4 4：•SaAHC=g5 ABCD=SaADC,:.ad=ah9・A”•=1.AD故选：D.【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明E//〃AC是解题的关键.C【分析】取C。中点儿连接A",BH,根据矩形的性质题意得出四边形AEC”是平行四边形，可知然后根据.角形中位线的性质得用〃得出点P在A"上，然后判断8P的最小值，再求出值即可.解：如图，取CO中点“，连接A”，BH,设AH与£>E的交点为O,DHADHA E B,四边形A8CO是矩形，：.AB=CD=S,AD=BC=4,CD//AB,•••点E是A8中点，点，是CD中点，:.CH=AE=DH=BE=4,：.四边形AECH是平行四边形，/.AH//CE,••,点尸是。尸的中点，点”是CO的中点，...?”是4CO尸的中位线，...PH//CE,...点P在4H上，...当BRLAH时，此时点P与〃事合，BP有最小值，；AD=DH=CH=BC=4,:.NDHA=NDAH=NCBH=NCHB=45°,AH=BH=4无，ZA//B=90°,尸的最小值为4JL故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点?的位置是解题的关键.C【分析】利用矩形性质及勾股定理，3(T所对的直角边等于斜边的一半，可知NABO=60。，进步可行aAOB为等边三角形，得到80=84=1.再利用角平分线的性质可证明班'=3A=1.1 1 13故②正确；证明NCH4=N。4H=15。，即可知③正确；求出DE=-C£>=一，BE=2--=-,2 2 22即可知④正确；无法证明尸是A”中点，故①错误.解：・・・4BCO为矩形，AB=1,AD=6,：.ZDAB=90°,ZADB=30°,BD=2,,・"平分N£>AB,/.ZFAB=ZAFB=45Q,即叱=8A=1，VZA£>B=30°,:.ZABO=60°，••04=08,••△AOB为等边三角形，工30=84=1,：・BF=BO,故②正确；：aAOB为等边三角形,且N£4B=45。，•・NQ4〃=15。，同理：△COD为等边三角形，:CE1BD,N£CO=30。，:.ZC/M=15°,AZCHA=ZOAH=15°,BPAC=CH,故③正确；VZECO=30°,:.ZDCE=30。,,?CD=AB=l,:.de=-cd=-92 2,:DB=2,1 3:.BE=2——=一，22:.BE=3DE,故④正确；・・AC=C〃，但是无法证明/是A”中点，故①错误；综上所述：正确的有②③④.故选：C.【点拨】本题考查矩形性质及勾股定理，行所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形，角平分线，三角形外角的定义及性质.解题的关键是熟练掌握以上知识点，证明BO=BA=1,BF=BA=1；证明NC/Z4=NOV/=15°；求出DE=1C£>=L,2 2BE=2--=~.22C【分析】①首先根据£尸垂直平分A8,可得AN=BN,然后根据折叠的性质，可得A8=BM据此判断出AA8N为等边三角形，即可判断出NABN=60。；②首先根据N4BN=60。，NABM=NNBM,求出/ABAaNNBM=30。，然后在Rc48M中，根据4B=6,求出AM的大小即可；③求出NAM8=60。，得至IJN8MG=6O。，根据A0〃8C,求出N8GM=60。即可；④根据勾股定理求出EN即可；⑤根据轴对称图形的性质得到AP=PN,PN+PH=AH,且当A//L8N时，PN+PH最小,应用勾股定理，求出A”的值即可.解：如图，连接4N,垂直平分A8,:.AN=BN,根据折叠的性质，可得A8=BN,：.AN=AB=BN,.,.△ABN为等边三角形，...NA8N=60。，N尸8N=；x6(T=30。，即结论①正确;■:ZABN=60°,NABM=ZNBM,：.ZABM=ZNBM=-x60°=30°,2：.BM=2AM,•..AB=6,AB2+AM2=BM2>：.62+AM2=(2AM)2,解得AM=26，即结论②不正确；■:NAM8=90°-NA8M=60°,・•・ZBAfG=ZAA/B=60°,VAD//BC,：./M8G=NAMB=60。，，ZBGA/=60°,5MG是等边三角形；即结论③正确；：BN=AB=6,BN=3,EN=>jBN2-BE2=V62-32=3>/3即结论④正确；连接AMNBM关于8M轴对称，:・AP=NP,:.PN+PH=AP+PH,・・当点A、P、”三点共线时，AP+PH=AH,且当时4〃有最小值，:AB=6,ZABff=60°t:.N84/7=30。，:・BH=3,•AH=AB2—BH~=《62-3?=3G»・・PN+P〃的最小值是36，即结论⑤正确；故选：C.【点拨】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键.B【分析】由折叠的性质可得OM=MN,CW=MM即M是CO的中点；故①正确；ZB=ZAMP,NDAM=NMAP=ZMB,NOMA=NAMM4CMP=NPMN,ND=/ANM,NC=/MNP,由平角的性质可得ND+NC=180。，NAMP=90。,可证AZ)〃BC,由平行线的性质可得ND45=90。，由平行四边形和折叠的性质可得AN=PN,由直角三角形的性质可得AB=6PB=&MN.解：由折叠的性质可得：DM=MN,CM=MN,:,DM=CM,即M是CD的中点；故A正确；由折叠的性质可得：NB=NAMP,ZDAM=ZMAP=APAB,NDMA=NAMN,/CMP=/PMN,ND=NANM,4c=/MNP,VNMNA+NMNP=180。,AZD+ZC=180°,：.\D//BC,故D正确；AZB+ZDAB=180°,•.*ZDMN+ZCMN=180°,:.NOK4+NCMP=90。，：.ZAMP=90°f：.ZB=ZAMP=90°,AZDAfi=90°,若MN上AP,则ZADM=NMNA=NC=90。，则四边形48co为矩形及而题目中无条件证明此结论，故B不正确;VZD^B=90°,・•・ZDAM=NMAP=N"8=30。,由折叠的性质可得：AD=ANfCP=PN,・・・四边形APCD是平行四边形,:.ad=pc9:.AN=PN,又丁N4Mp=90。,:.MN*AP,VZ/MB=30°,ZB=90°,.\PB=^AP,・PB=MN.AB=^PB=6MN,故C正确:故选：B.【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键.A【分析】连接AC交EC于点M,连接BF交CG于点N,设AC=a,8C=%,分别求出瓜7=缶，AD=6a，DM=~a.CG=s[lb,FN=b,EG=s/2(a+b),HG=EH=,—(a+b),2 2 2CH力(b-a)，分别求得4,[||S「S2=6得，+82=24,由勾股定理可得结论.2解：连接交EC于点历，连接8F交CG于点N,,四边形ACDE,BCFG是正方形，:.AD±EC,BF±CG,AD=EC,BF=CG,DM=-AD,FN=-BF,2 2设AC=a,5C=。，,:zEAC=90°,AE=AC=a,EC=JAE2+AC2=42a：,AD=ypla，:.DM=—AD=—x\[2a=^La,2 2 2同理可证：CG=y/2h,FN=—h,2EG=EC+CG,•・EG=®a+b),・•〃为EG的中点，JHG=EH= 向a+b)=^(a+b),

:.CH=EH-EC=—(b-a)f:S\=S"G,H=-HGFN=誓^,邑=SMDH=1CH.DM=或券又•.•s—,.ab-^b2ab-cr/・ =6，4 4整理得，。2+从=24,VZ/1CB=90%--AB^\IaC2+BC2=V24=2x/6，故选：A.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.D【分析】连接AC,作PG_LB£,证明当AP+J8P取最小值时，A,尸，G.三点共线，且AGL8E,此时最小值为AG,再利用勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.解：连接AC,解：连接AC,作PGJ.5E」ABC。是正方形且边长为4,AZABO=45°,ACA.BD,AO=2&，ZABE=15°,:.NPBG=30。，/.PG=、BP,2.•.当AP+^BP取最小值时,A,P,G:点共线，W.AGYBE,此时最小值为AG,VZAB£=75°,AG±BE,：.Za4G=15°,VZ&4<9=45°,:.ZPAO=30°,设OP=b,则AP=»,.."2+(2&y=(2b)2,解得：b=当,设PG=a,则8P=2a,：80=20，:・2a+b=2五,解得：a=V2-—3***AG=AP+PG=2b+a=>/2+\/6，故选：D【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当+尸取最小值时，A,P,G.三点共线，WAGLBE,此时最小值为AG.C【分析】由该纸片以。为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45。，可得旋转一周360。:45。=8次，由298+8=37…2,可得第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90。,由正方形纸片对角线中点位于原点，可求点C(l,-3)山44=夜，根据勾股定理，求出8/(-1,0),连结0。与OC,过。作E£>_Lx轴于£,CF_Ly轴于凡可证△FOCgAEOO(AAS),可求点。(3,1),与点C/(0,-1)即可.解：•.•该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45。,.旋转一周3600+45。=8次,/298+8=37…2,.第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°,.•正方形纸片A8CO对角线中点位于原点，,.点A与点C关于点。成中心对称，.•点A(-1,3),点C(1,-3),/A4=&，又•：OA=OB\,根据勾股定理，OA^+OB；=^=2,OA,=OBt=1,：.Bi（-1,0）,连结。。与。C,过力作EOJ_x轴于E,CF_Ly轴于尸，绕点。逆时针旋转90。后点C位置转到点。位置，••四边形ABCO为正方形，od=oc,NFOE=COD=90P,：.ZFOC+ZCOE=ZCOE+ZEOD=90°,NFOC=NEOD,在△尸0c和△£»/）中，ZFOC=ZEODZCFO=ZDEO=90°,OC=OD.".△FOC^AEOD（A4S）,：.CF=DE=\,OF=OE=3,点。（3,1）,二点历转到a位置,点a（o,-i）,.•.第298次旋转后，点C和点片的坐标分别为（3,1）与（0,-1）.【点拨】本题主要考查坐标与旋转规律问题，涉及了正方形性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质等知识，熟练掌握正方形旋转性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质，根据旋转一周8次，确定旋转37周再转90°是解题关键.B【分析】根据折叠的性质，NEPG=NEBC=9Q、EB=EP，从而得至QNEPB=NEBP,根据直角三角形两锐角互余，得到NAPB=NfiPG,即可判定①；过点5作BQJ_PH,利用全角形的判定与性质，得到CH=QH,AP=PQt即可判定②；通过证明△BMP为等腰直角三角形，即可判定③；根据S四边形MPM=S〉BEP+S&BMP求得对应二角形的面积，即可判定④.解：由题意可得：NEPG=NEBC=90；EB=EP，/.NEPG=NEPB+NBPG=90,NEPB=NEBP，NEBP+NBPG=90，由题意可得：ZEBP+ZAPB=\^0--A=180-90=90»:.ZAPB=NBPG,・・PB平分NAPG；①正确；过点8作8。，尸从如下图：:.N8QP=/A=90在△APB和4尸打中，NA=NBQPNAPB=NQPBBP=BP；.△APB%QP8(AAS):・AP=PQ,AB=BQ・•四边形A8C。为正方形.・.AB=BC=BQ,又<BH=BH...RtA8C”gRtABQH(HL),/.CH=QH：.PH=PQ+QH=AP+CH,②正确；由折福的性质可得：EF是尸8的中垂线,/.PM=BM由题意可得：aBAP^aBQP,ABCHmABQH,：.NABP="PBQ,NCBH=/QBH,/.NPBQ+NQBH=NABP+NCBH=g/ABC=45。，/.NPBM=45°,NBPM=ZPBM=45",aBMP为等腰直角三角形，BM2+PM2=BP2,即25"=b尸，— ③正确；2若BE=2,AP=l,则PE=BE=3,3 3在R/aAPE中，AE2+AP1=PE2：.AE=^(1)2-12=1,AB=AE+BE=3,PB=y/AP^+AB2=VlO，：.BM=—BP=45,2Spq边形的“=S^bep+S^bmp=—^BExAP+-xBM~=—,④错误，故选B,【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.6【分析】连接AC,CE,则CE的长即为AP+PE的最小值，再根据菱形A8CO中，ZBCD=120°得出NABC的度数，进而判断出△ABC是等边三角形，故ABCE是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE的长.解：连接AC,CE,.•四边形是菱形，.'.A,C关于直线8。对称，...CE的长即为AP+PE的最小值，ZBCD=120°,二ZABC=60°,.•.△ABC是等边三角形，••E是A8的中点，CE±AB,BE=—BC=—x2=12 2CE=>/bC2-BE2=V22-l2=石•故答案为：丛.【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键.2514.3或5或88【分析】△AOE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：①当AO=AE时，AACE是等腰三角形.作垂足为M,利用勾股定理列方程可得结论；②当AO=OE时，四边形ABEC是菱形，可得加=5：③当AE=OE时，此时C与E重合，m=8.解：分3种情况讨论：①当AD=AE时，如图1,图1过4作AMJ_BC于M,；AB=AC=5,8M=gBC=4,."M=3,由平移性质可得AD=BE=m,.'.AE=m,EM=4-m,在R/4EW中，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2,/.ot2=32+(4-/n)2,25tn——,8②当OE=AO时，如图2,图2由平移的性质得A8〃£〉E,AB=DE,...四边形ABEC是菱形，：.AD=BE=ED=AB=5,即m=5；③当4。=。£时，如图3,此时C与E重合,图3m=8；25综上所述：当机=9或5或8时，AAOE是等腰三角形.O25故答案为：9或5或8.8【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键.1【分析】取08中点E,连接PE,作射线FE交AC于点P.则尸£=P£\当P与P重合，尸'、E、尸三点在同一直线上时，P尸-PE有最大值，即为尸E的长.解：如图，取08中点E,连接PE,作射线FE交AC于点K贝ijpe=PE,：.PF-PE=PF-PE<FE,当尸与P'重合，P、E、尸三点在同一直线上时,PF-PE有最大值，即为FE1的长，;在菱形ABC£>中，ZABC=120°,.../4B£>=60。，NDA8=60。，...△A8O为等边三角形..'.AB=BD=AD=4.：.OD=OB=2.•点E为08的中点，EB=\,AF=3BF,：.BF=^-AB=\,4■:ZABD=60°,广为等边三角形，:・EF=FB=L故尸尸-PE的最大值为1.故答案为：1.【点拨】本题考查了轴对称-最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键.2&【分析】根据菱形A8CD中，N8AO=60。可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可得=30°,求出乙488'=75。，可得NEB'8=NE88'=45。，则A8E8'是直角三角形，借助勾股定理求出89的长即可.解：,菱形4BCD,：.AB^AD,AD//BC,,:NBAC=60。，：.ZABC=\20°,'.'AB'JLBD,:.nbab、=Lnbad=30°,2,将△A8E沿直线AE翻折180°,得到△AB'E,；.BE=B'E,AB=AB',：./A88'=；x(180°-30°)=75°,ANEBB'=/ABE-ZABB'=120°-75°=45°,:.NEBB=NEBB'=45°,：.ZBEB'=90°,在RtZkBEB，中，由勾股定理得：88=疹k=20，故答案为：20.【点拨】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关犍.TOC\o"1-5"\h\z4,1 3一##1— —3 3 2【分析】连接GE,根据点£是8c的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC,然后利用证明aGFE和aGCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证尸G=CG,设GC=x,表示出4G、DG,然后在/?以4秒中，利用勾股定理列式进行计算即可得解：先判断出EF_LAC时，△G£F的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论.解：①如图，连接GE,,・任是8c的中点，：.BE=EC,:^ABE沿AE折叠后得到AAFE,：・BE=EF,:.EF=EC,;在矩形A8CD中，AZC=90°,AZEFG=90°,在Rt^GFE和Rt„GCE中，JEG=£G

[EF=EC：.AGFE^AGC£(/7L),：.GF=GC；设GC=x,则AG=3+x,DG=3—x,在氏△ADG中，42+(3-x)2=(3+x)2,4 4解得x=；，即GC=W；②如图：由折叠知，NAFE=NB=90。,EF=BE,，EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,.,.当Cf最小时，△CEF的周长最小，'：CF>AC-AF.当点4,F,C在同一条直线上时，CF最小，由折卷知，AF=AB—3,在RhABC中，AB=3,BC=AD=4,：.AC=5,：.CF^AC-AF^2,在用aCEF中，EF2+CF2=CE2,：.BE2+CF2=(4-BE)2,：.BE2+22=(4-BE)2,3二BE=~.2【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.6【分析】设点M是PZ)的中点，过点M作直线P'£)F射线CA、CB分别交于点产,。,得到百点例是PO的中点时，的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可.C设点M是PZ)的中点，过点M作直线PA叮射线CA、CB分别交手点P',。，则点M不是尸。’的中点当时，在上截取ME=用严，连接OE-,•ZPMP=ZDME.•.△PMPWdDME(SAS),S/CD，>S四边形fcde=Swd当MOvMy时，同理可得q>q心“8/。/CD•・当点M是P。的中点时，△(7尸。的面积最小如图，作〃则GHM%PAM.・.AM=MH,/DHM=ZPAM=90°,AP=DH"BHD=90。・・AM=1,BM=3:.AM=l=MH:.BH=2在等腰RtZVIBC中，C4=BA=3+1=4•.Zfi=45°=ZC•.NB=NBDH=45。：.BH=DH=2=AP.CP=AC+AP=4+2=6过点D作DKJ.PC交于K•・四边形AKQH是矩形:.DK=AH=AM+HM=2Srnp=-CPDK=-x6x2=6皿2 2故答案为：6【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练学握知识点是解题的关键.2G【分析】过点E作于4,利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明△是顶角为120。的等腰三角形即可解决问题.解：过点E作于”."：AD=AC,ZDAC=90°,CD=8,：.AD^AC^4y/2,:DF=FC,AE=EC,：.EF=^AD=2y/2.EFIIAD,：.NFEC=NDAC=9。。,VZABC=90°,AE=EC,:.BE=AE=EC=2a,：.EF=BE=2y/2,,/NBAA105°,ZDAC=90°,.,.ZBAE=105o-90°=15°,；.NEAB=NEBA=15°,/.NCEB=NEAB+NEBA=30°,ZFEB=9O°+3O°=12O°,二NEFB=NEBF=3。。,■:EHLBF,：.EH=^EF=y/2,FH=gE”=#，:.BF=2FH=2瓜,SaEFB=-BFEH=-x2卡7及=2&2 2故答案为26.【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.9丁或14【分析】分NCFE=90。和NCEF=90。两种情况根据矩形的性侦、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解.解：①如图，当NCFE=90。时，•..四边形A8CO是矩形，点E是矩形A8CC的边A8的中点，AB=6,AD=4,：.N弘E=NPFE=ZEBC=90°,AE=EF=BE=3,：.ZPFE+ZCFE=\S00,；.P、F、C三点一线，：.4EFg&EBC,：.FC=BC=4,EC=加+42=5,NFEC=NBEC,.,.ZPEF+ZFEC^O0,设AP=x,则PC=x+4,/.(x+4)2=x2+32+52,9解得尸J:4②如图，当NCEF=90。:.NCEB+2NPEA=90°,:.NCEB+/PEA=90°-ZP£A,延长PE、CB,二线交于点G,VAE=BEfZPAE=ZGBE=90°,NAEP=NBEG,:・AR\E/AGBE,：.PA=BG.NAEP=/BEG,：.ZG=90°-ZGEB=90°-ZPEA,NCEB+NPEA=90°-ZPEA,・•・ZG=NCEB+/PEA=NCEB+NGEB=/CEG,：.CE=CBC+BG=BC+AP,・・.5=4+AP,解得B4=l,故答案为:2或1.【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键.4【分析】将△加尸绕点A顺时针旋转90度到△血尸位置，根据旋转的性质得出NEA斤=45。，进而得出△FAE^^EAF',即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=2BC=S,求出BC口|J可.解：将AD4/绕点A顺时针旋转90度到ABAr位置, P尸，由题意可得出：△OAF丝△BA尸，：.DF=BF,NDAF=NBAF,/.ZE4FM50,在△初E和AE4户中，AF=AF'<ZFAE=ZEAF',AE=AE:.XFAE9t\EAF(SAS),：.EF=EF,「△EC厂的周长为8,/.EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=2BC=8,：.BC=4,即正方形的边长为4.故答案为:4.【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△用E0ZXEA尸是解题关键.3)【分析】根据翻折的性质和已知条件可得点尸和点A重合，过点。作。“J.8C,DG1AB,垂足分别为“，G,得四边形B//DG是正方形，设DG=DH=x,得走'X+x=l,求出x的值，3进而可以解决问题.解：如图,由折叠可知：ZE=ZC=30°,：.FE=FD,当ZADE=30。时，ZBFD=2ZE=60°1在中，•・・NABC=90。，NC=30。，/.ZA=60%.二点/和点A重合，如图，过点。作DG.LABt垂足分别为“，G,.DG=DH,「.四边形BHDG是正方形，设Z)G=DH=x,.八心小八厂6..AG=——DG=—x,3 3AB=AG+BG=AG+GD=—x+x,3,6 -.. X+X—1»3解得现=匕8,2:.CD=2DH=3-6.故答案为:3-6.【点拨】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.2y/5【分析】过点，作“GJ_C。于点G,连接CE,DE交FH于点、Q,得到NHGf=NHGC=90。，推出N”FG+/FHG=90。，根据正方形48C。中，4"C7>8C=4,NA=/ACC=/C=90。，得到四边形D4"G中，/A”G=90。，推出四边形D4"G是矩形，得至ljG”=A£>,GH=CD,根据折叠知，FHLDE,得到NDQF=90。，推出N。孙/Q£>F=90。，得至l]NGHF=NCDE,根据NHGF=NC=90。，推出△£>(?£：—△”GF(ASA),得到F4=OE,根据E是BC中点，得到CE=gBC=2,推出oe=y/cif+CE2=245，得至UFH=2小.解：过点H作“GLCO于点G,连接OE,DE交FH于点Q,则/”GF=///GD=90°,NHFG+NFHG=90°,•.,正方形ABC。中，AD=CD=BC=4,NA=NA£>C=NC=90。，二四边形D4HG中，ZAHG=90°,四边形D4//G是矩形，：.GH=AD,：.GH=CD,由折叠知，FH±DE,：.NDQ尸=90。，ZQFD+ZQDF=90°,:.NGHF=NCDE,•.,/HGF=NC=90°,二ADCE也△HGF(ASA),：.FH=DE,是8c中点,；.CE=；BC=2,DE=yJCDr+CE2=275，：.FH=2y[5故答案为2石.【点拨】本题主要考查了正方形，折叠，矩形，全等三角形，勾股定理.解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形.2M【分析】延长84到点G,使AG=C〃，连接DG,EF,利用SAS证明aADG/aCDF,得ZADG=ZCDF,DG=DF,再证明△G。金△FDE(SAS),得GE=FE,设AE=x,则BE=6—x,EF=x+3,再利用勾股定理即可解决问题.解：：如图，延长84到点G,使AG=b,连接。G,EF,四边形ABC。是正方形，AAD=CD,^DAG=^DCF=90°,ZADC=ABAD=ZABC=90°,在aA£)G和aCEJF中，AD=CDND4G=ZDCFAG=CF：./\ADG^CDF(SAS),:.ZADG=NCDF,DG=DF,'：ZEDF=45°,•・ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+NCDF=ZADC—/EDF=90°-45°=45°,JZ£DG=/EDF,在△GOE和VEDE中DG=DFINEDG=4EDFDE=DE：.AGDE^AFDE(SAS),:.GE=FE,设=・,正方形A3CQ的边长为6,尸是8c的中点,ABE=6-x,BF=CF=3,EF=EG=AE+AG=AE+CF=x+3f,:BE2+BF2=EF2(6-x)2+32=(x+3)2,解得x=2,/.AE=2f•・DEuy/ATf+AE2=用+22=2而，・・OE的长为2j记.故答案为：2屈.

G：、G：、【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键.27(3"=⑨或4或工O(l)C(-5,4),D(27(3"=⑨或4或工O【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，再利用勾股定理求出AB的长，再根据菱形的性质可得答案；（2）表示出设得MN=-；f+3-（f-9）=-1r+12,根据MN=OE,uj'得答案；（3）若点C、。、P、。为顶点的四边形是菱形，则aCDP是等腰•:角形，分CD=CP或。C=或PC= 三种情形，分别求出t的值.4解：（l）;y=-§x+4与x轴交于点a,与V轴交于点8,二当x=0时，y=4,当y=0时，x=3,OB=4»OA=3♦由勾股定理得,AB=5,•••四边形ABCD是菱形,..BC=AB=AD^5,：.OD=2,.•.£)(-2,0),C(-5,4),将C(-5,4)代入y=x+m得，-5+m=4,"7=9;(2)vm=99E(-9,0),:点尸(Oj)，.•.设m(-?+3,，，N(r—9,r),3 7...MN=——r+3-(r-9)=——r+12,4v7 4•・•四边形NEDM是平行四边形，:,MN=ED,7sr/.——r+12=7,4(3);•点C、D、P、。为顶点的四边形是菱形，.•.△CDP是等腰三角形，当CO=£>P时，•.-00=2,；6=后，t=5/21，当。=C尸时，则点8与尸重合，.，.，二4；当尸£)=PC时,则r+22=25+S-4)2,37解得，=?，O37综上：/=历或4或三•时，以点C、。、P、。为顶点的四边形是菱形.8【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键.26.⑴C(4,0)⑵①E尸=OF,EF10F,理由见分析；②尸A=【分析】(1)利用二次根式的被开方数是非负数求出。，b的值，可得结论.(2)①结论：EF=OF.利用直角三角形斜边中线的性质证明即可.②结论：PA=yflOM.如图2中，过点尸作尸〃_LAC于”，连接OH,PM.想办法证明=MH=42OM,可得结论.解：(1),.•+4=Ja-4+j4-a<\a-4..O又1i.O，a=4,b=4>A(0,4),8(-4,0),.•8,c关于y轴对称，C(4,0).故答案为：(4,0).图1理由：•.•ZA£P=ZAOP=90。，AF=FP,:.EF=-PA,OF=-PA,2 2EF=OF,.OA=O8=4,・・NOAB=45。，,:FA=FE=FO、，NFAO=NFOA,ZFAE=ZFEA,ZPFO=Z.FAO+ZFOA=2ZFAO,ZEFP=ZFAE+ZFEA=2ZFAE，：.AEFO=2AFAO+2^EAF=9(r,：,EFLFO.②结论：PA=y[2OM.理由：如图2中，过点尸作PH_LAC于“，连接M"，OH,PM.图2.・PA=PE,AM=ME,:.PM,OA=OB=OC,ZAOB=ZAOC=90°•./OAB=ZOAC=ZACO=45。，ZAMP=ZMAH=ZPHA=90°,・・四边形AMP"是矩形，：.AM=PH,PA=MH,・・NP〃C=90°,ZPCW=45°,\?HPC?PCH45?,：.PH=CH=AM,在^AOM和ACOH中，[AM=CH\NOAM=ZOCH,[AO=CO:.MOM^SCOH(SAS)t:,OM=OH,ZAOM=NCOH,•.ZMOH=ZAOC=90°,：.MH=42OM,:.PA=42OM.【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线